2025 九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例证明示例课件

一、教学目标设计——明确方向，锚定核心演讲人目录01.教学目标设计——明确方向，锚定核心07.结语——数学之美，在于探索03.定理探究——猜想验证，逻辑建构05.总结提升——凝练核心，串联知识02.知识回顾——温故知新，搭建桥梁04.应用示例——以例促学，深化理解06.分层作业——巩固提升，因材施教2025九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例证明示例课件01教学目标设计——明确方向，锚定核心教学目标设计——明确方向，锚定核心作为九年级数学教师，我始终认为，一节数学课的价值不仅在于传递知识，更在于培养学生“用数学眼光观察世界”的思维能力。基于此，本节课的教学目标设计如下：1知识与技能目标STEP03STEP01STEP02理解相似三角形对应角平分线的定义及“对应”的几何含义；掌握“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”这一性质定理；能独立完成该定理的严谨证明，并能运用定理解决简单几何问题。2过程与方法目标通过“观察猜想—逻辑证明—应用验证”的探究路径，体验从特殊到一般的数学归纳思想；在定理证明中，深化对相似三角形判定（AA）、角平分线定义等核心知识的综合应用能力；借助尺规作图与比例计算，提升几何直观与代数运算的融合能力。3情感态度与价值观目标在合作探究中感受数学定理的简洁性与逻辑性，增强对几何证明的兴趣；01通过“从猜想走向证明”的过程，体会数学“有理有据”的学科本质，培养严谨的科学态度；02结合生活实例（如地图比例尺与地标建筑角平分线的关系），感受数学与现实的紧密联系。0302知识回顾——温故知新，搭建桥梁知识回顾——温故知新，搭建桥梁“不积跬步，无以至千里”，要探究相似三角形对应角平分线的比例关系，必须先夯实基础。让我们共同回顾相关知识：1相似三角形的定义与基本性质定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似比（k）为对应边的比值（k>0）。基本性质：①对应角相等（∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'）；②对应边成比例（AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k）；③周长比等于相似比（C△ABC/C△A'B'C'=k）；④面积比等于相似比的平方（S△ABC/S△A'B'C'=k²）。2角平分线的定义与性质定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线叫做角平分线。性质（角平分线定理）：在△ABC中，若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/DC。（该定理将在后续证明中作为关键工具）3知识衔接思考请同学们思考：相似三角形的对应角平分线，是否也存在某种比例关系？若存在，可能与相似比有何联系？（留出30秒思考时间，鼓励学生举手发言，预设答案：可能等于相似比）03定理探究——猜想验证，逻辑建构定理探究——猜想验证，逻辑建构“数学的真理，往往始于猜想，成于证明。”接下来，我们通过“实例观察—提出猜想—严谨证明”三步，探究相似三角形对应角平分线的比例关系。1实例观察：测量与计算活动设计：在黑板上画出△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2（AB=4cm，A'B'=2cm；∠BAC=60，∠B'A'C'=60）。分别作∠BAC和∠B'A'C'的角平分线AD、A'D'，测量AD=3cm，A'D'=1.5cm，计算AD/A'D'=2，恰好等于相似比k。再举反例验证：更换相似比k=3（AB=6cm，A'B'=2cm；∠ABC=90，∠A'B'C'=90），作∠ABC和∠A'B'C'的角平分线BE、B'E'，测量BE=4.5cm，B'E'=1.5cm，BE/B'E'=3=k。学生活动：以4人小组为单位，用尺规作图完成一组相似三角形（自定相似比），测量对应角平分线长度并计算比例。（5分钟操作，教师巡视指导作图规范）结论提炼：多组实例中，相似三角形对应角平分线的长度比均等于相似比，由此提出猜想：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。2严谨证明：逻辑推导“猜想需要证明，才能成为定理。”接下来，我们从一般情况出发，用数学符号语言完成证明。2严谨证明：逻辑推导2.1已知与求证已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k（即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k），AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。求证：AD/A'D'=k。2严谨证明：逻辑推导2.2证明思路分析要证明AD/A'D'=k，需找到包含AD与A'D'的相似三角形。由于△ABC∽△A'B'C'，对应角相等（∠BAC=∠B'A'C'），而AD、A'D'是角平分线，故∠BAD=∠B'A'D'=(1/2)∠BAC。若能证明△ABD∽△A'B'D'（或其他包含AD的三角形），则可通过对应边成比例得到结论。2严谨证明：逻辑推导利用角平分线定义，得出角的关系∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，1∴∠BAD=(1/2)∠BAC，∠B'A'D'=(1/2)∠B'A'C'。2又∵△ABC∽△A'B'C'，3∴∠BAC=∠B'A'C'（相似三角形对应角相等），4∴∠BAD=∠B'A'D'（等量代换）。5步骤2：利用相似三角形性质，得出边的比例关系6由△ABC∽△A'B'C'，得AB/A'B'=AC/A'C'=k（相似三角形对应边成比例）。72严谨证明：逻辑推导利用角平分线定义，得出角的关系步骤3：构造相似三角形，应用AA判定在△ABD和△A'B'D'中，已证∠BAD=∠B'A'D'；需证另一组对应角相等。观察△ABC与△A'B'C'的对应角，∠ABC=∠A'B'C'（相似三角形对应角相等），即∠ABD=∠A'B'D'。因此，△ABD∽△A'B'D'（AA相似判定：两角对应相等，两三角形相似）。步骤4：由相似三角形性质，得出角平分线比例∵△ABD∽△A'B'D'，相似比为AB/A'B'=k，∴AD/A'D'=AB/A'B'=k（相似三角形对应边成比例）。证毕。2严谨证明：逻辑推导2.4关键步骤强调030201角平分线的作用：将原角平分，转化为两组相等的小角（∠BAD=∠B'A'D'）；相似三角形的“对应”关系：必须明确顶点对应（A→A',B→B',D→D'），避免因顶点顺序错误导致比例关系混乱；AA判定的应用：通过两组对应角相等，快速锁定三角形相似，这是证明线段比例的常用策略。3定理拓展：特殊与一般的统一若相似比k=1，即△ABC≌△A'B'C'，则对应角平分线AD=A'D'，符合全等三角形对应线段相等的性质，验证了定理的普适性。04应用示例——以例促学，深化理解应用示例——以例促学，深化理解“学贵以致用”，接下来通过3个典型例题，帮助同学们掌握定理的应用方法。1基础应用：已知相似比求角平分线长度例1：如图，△ABC∽△DEF，相似比k=3，∠ABC的角平分线BG=9cm，求△DEF中对应角∠DEF的角平分线EH的长度。分析：根据定理，对应角平分线的比等于相似比，即BG/EH=k=3，故EH=BG/k=9/3=3cm。解答：∵△ABC∽△DEF，相似比k=3，∴BG/EH=k（相似三角形对应角平分线的比等于相似比），即9/EH=3，解得EH=3cm。易错提醒：注意“对应”关系，∠ABC与∠DEF是对应角，因此BG与EH是对应角平分线，若误将BG与△DEF的其他角平分线对应，会导致错误。2综合应用：结合角平分线定理与相似比例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2，AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。若BC=8cm，B'C'=4cm，求BD与B'D'的长度比。分析：由相似比k=2，得BC/B'C'=2，符合已知（8/4=2）；根据角平分线定理，在△ABC中，AB/AC=BD/DC；在△A'B'C'中，A'B'/A'C'=B'D'/D'C'；由△ABC∽△A'B'C'，得AB/A'B'=AC/A'C'=2，故AB/AC=A'B'/A'C'（比例的等比性质），因此BD/DC=B'D'/D'C'，即BD/B'D'=DC/D'C'=k=2；2综合应用：结合角平分线定理与相似比又BC=BD+DC=8，B'C'=B'D'+D'C'=4，设B'D'=x，则D'C'=4-x，BD=2x，DC=2(4-x)=8-2x，代入BD+DC=8，得2x+8-2x=8，恒成立，故BD/B'D'=2x/x=2。解答：由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，结合角平分线定理，得BD/B'D'=k=2。3拓展应用：实际问题中的几何建模例3：某城市规划图中，中央公园的平面图形是△ABC，比例尺为1:1000（即图上相似比k=1/1000）。图中∠BAC的角平分线AD长为2cm，求实际公园中对应角平分线的长度。分析：比例尺是图上距离与实际距离的比，即图上相似比k=1/1000，实际相似比为1000。根据定理，实际角平分线长度=图上长度÷k=2cm÷(1/1000)=2000cm=20m。解答：实际角平分线长度=AD图上长度×(1/k)=2cm×1000=2000cm=20m。05总结提升——凝练核心，串联知识总结提升——凝练核心，串联知识“学而不思则罔”，通过本节课的学习，我们完成了从观察猜想到严谨证明，再到实际应用的完整探究过程。现在，让我们共同梳理核心内容：1知识网络回顾STEP3STEP2STEP1核心定理：相似三角形对应角平分线的比等于相似比（AD/A'D'=k）；证明关键：利用角平分线定义得到角相等，结合相似三角形对应角相等，通过AA判定证明包含角平分线的三角形相似；应用场景：已知相似比求角平分线长度、已知角平分线长度求相似比、实际问题中的比例换算。2思想方法提炼归纳思想：从具体实例中归纳猜想，再通过一般证明验证；010203转化思想：将角平分线的比例问题转化为相似三角形的对应边比例问题；模型思想：建立“相似三角形—对应角平分线—比例关系”的几何模型，解决实际问题。3学习反思建议1注意“对应”的严谨性：相似三角形的顶点、角、边、角平分线必须一一对应；2强化证明过程的逻辑链：每一步推导都要有依据（如角平分线定义、相似三角形性质、AA判定等）；3联系已有知识：将本定理与相似三角形的周长比、面积比性质对比，形成完整的知识体系。06分层作业——巩固提升，因材施教分层作业——巩固提升，因材施教为满足不同学习层次学生的需求，作业设计如下：1基础巩固题（必做）已知△MNP∽△XYZ，相似比k=4，△MNP中∠N的角平分线长为12cm，求△XYZ中对应角平分线的长度。若两个相似三角形的一组对应角平分线分别为5cm和3cm，求它们的相似比。2能力提升题（选做）如图，△ABC∽△ADE，AD平分∠BAC交BC于D，AE平分∠DAE交DE于E。若AB=6cm，AD=4cm，求AE的长度。探究：相似三角形的对应中线、对应高线是否也存在类似的比例关系？尝试用本节课的方法证明。3实践应用题（兴趣选做）测量校园中两个相似三角形花坛（如圆形花坛的两个扇形截面）的对应角平分线长度，计算它们的相似比，并与