2025 年大学理学（数学（概率论与数理统计））试题及答案

2025年大学理学（数学（概率论与数理统计））试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填入括号内）1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定2.已知随机变量X和Y相互独立，且它们的分布函数分别为F_X(x)和F_Y(y)，则Z=max(X,Y)的分布函数F_Z(z)为（）A.F_X(z)F_Y(z)B.F_X(z)+F_Y(z)C.1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))D.F_X(z)-F_Y(z)3.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)为（）A.λ/nB.λC.nλD.λ²4.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有（）A.F(-a)=1-∫_0^af(x)dxB.F(-a)=1/2-∫_0^af(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-15.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度f_X(x)为（）A.∫_{-∞}^∞f(x,y)dyB.∫_{-∞}^∞f(x,y)dxC.f(x,y)D.16.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，样本方差S²=1/(n-1)∑_{i=1}^n(X_i-X̅)²，则(n-1)S²/σ²服从（）A.N(0,1)B.N(μ,σ²)C.χ²(n-1)D.χ²(n)7.设随机变量X和Y的方差分别为D(X)=2，D(Y)=3，且X与Y的协方差Cov(X,Y)=1，则D(X+Y)为（）A.5B.6C.7D.8E.8.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则θ的矩估计量为（）A.2X̅B.X̅C.nX̅D.X̅/29.设随机变量X服从指数分布E(λ)，则P{X>E(X)}为（）A.1/eB.1-1/eC.eD.e-110.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(μ_1,μ_2,σ_1²,σ_2²,ρ)，则X与Y相互独立的充要条件是（）A.μ_1=μ_2B.σ_1²=σ_2²C.ρ=0D.ρ=1二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案填入括号内，少选、多选、错选均不得分）1.在下列关于概率的性质中，正确的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(Ω)=1C.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)D.P(A̅)=1-P(A)E.若A⊂B，则P(A)≤P(B)2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列说法正确的有（）A.F(x)单调递增B.F(-∞)=0C.F(+∞)=1D.P{X≤x}=F(x)E.P{X>x}=1-F(x)3.对于总体X的参数估计，下列说法正确的有（）A.点估计是用一个具体的数值估计总体参数B.区间估计是给出总体参数的一个取值范围C.无偏估计是指估计量的数学期望等于被估计的参数D.有效估计是指在所有无偏估计中，方差最小的估计量E.相合估计是指当样本容量n趋于无穷大时，估计量依概率收敛于被估计的参数4.设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则下列说法正确的有（）A.X+Y服从正态分布N(0,2)B.X²+Y²服从χ²(2)分布C.X/Y服从F(1,1)分布D.P{X>0,Y>0}=1/4E.E(XY)=05.在假设检验中，下列说法正确的有（）A.原假设H_0和备择假设H_1是相互对立的B.显著性水平α是犯第一类错误的概率C.拒绝域是使得原假设被拒绝的样本值的集合D.P值是在原假设成立的条件下，检验统计量出现当前值及更极端值的概率E.当P值小于α时，拒绝原假设三、判断题（总共10题，每题2分，请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”）1.必然事件的概率为1，概率为1的事件一定是必然事件。（）2.若随机变量X与Y相互独立，则它们一定不相关。（）3.总体均值μ的无偏估计量是唯一的。（）4.二维正态分布的边缘分布一定是正态分布。（）5.设X是连续型随机变量，则P{X=a}=0，其中a为任意实数。（）6.样本容量n越大，样本均值X̅越接近总体均值μ。（）7.若随机变量X服从参数为n,p的二项分布B(n,p)，当n很大，p很小时，X近似服从参数为np的泊松分布。（）8.对于两个随机变量X和Y，若Cov(X,Y)=0，则X与Y相互独立。（）9.假设检验中，当原假设H_0不成立时，作出接受H_0的决策，这是犯了第二类错误。（）10.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则样本均值X̅与样本方差S²相互独立。（）四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答下列问题）1.简述正态分布的性质及其在实际中的应用。2.说明参数估计的两种方法（点估计和区间估计）的基本思想，并举例说明如何进行总体均值的点估计和区间估计。3.阐述假设检验的基本步骤，并举例说明如何进行一个总体均值的假设检验。五）综合题（总共2题，每题15分，请解答下列综合问题）1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={2,0<x<1,0<y<x;0,其他}，求：(1)X的边缘概率密度f_X(x)；(2)Y的边缘概率密度f_Y(y)；(3)X与Y的协方差Cov(X,Y)。2.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，样本均值X̅=10，样本方差S²=4，n=25。(1)求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间；(2)检验假设H_0:μ=9，H_1:μ≠9，显著性水平α=0.05，写出检验统计量及拒绝域，并判断是否拒绝原假设。答案：一、选择题1.C2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.A9.A10.C二、多项选择题1.ABCDE2.ABCDE3.ABCDE4.ABDE5.ABCDE三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.正态分布性质：关于x=μ对称，在x=μ处取得最大值等。应用：在自然科学、工程技术、社会科学等诸多领域用于描述大量随机现象，如测量误差、产品质量等。2.点估计用样本统计量估计总体参数值，如用样本均值估计总体均值。区间估计给出总体参数取值范围，如总体均值的区间估计。以正态总体均值为例，已知样本均值、方差等，利用t分布构造置信区间。3.假设检验步骤：提出假设、确定检验统计量、确定显著性水平和拒绝域、计算检验统计量值并判断。如检验总体均值，已知样本数据，选合适检验统计量，与临界值比较判断是否拒绝原假设。五、综合题1.(1)f_X(x)=∫_0^x2dy=2x,0<x<1，其他为0。(2)f_Y(y)=∫_y^12dx=2(1-y),0<y<1，其他为0。(3)E(X)=∫_0^1x·2xdx=2/3，E(Y)=∫_0^1y·2(1-y)dy=1/3，E(XY)=∫_0^1∫_0^xxy·2dydx=1/4，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/4-2/3×1/3=1/36。2.(1)已知t_{α/2}(n-1)=t_{0.025}(24)=2.064，置信区间为(X̅