2025年CFA一级《数量分析》专项练习

2025年CFA一级《数量分析》专项练习考试时间：______分钟总分：______分姓名：______题目一：假设一个投资组合包含两种资产，资产A的期望收益率为12%，标准差为15%；资产B的期望收益率为8%，标准差为10%。如果资产A和资产B之间的相关系数为0.4，投资组合中资产A和资产B的投资比例分别为60%和40%，请计算该投资组合的期望收益率和标准差。题目二：根据历史数据，某只股票的月收益率服从正态分布，其平均月收益率为1.5%，标准差为4%。请问该股票在一个月内收益率超过10%的概率是多少？又请问该股票在一个月内收益率低于-5%的概率是多少？题目三：某公司正在考虑是否投资一个新项目。如果项目成功，公司预期获得1000万美元的收益；如果项目失败，公司预期将损失200万美元。根据市场分析，项目成功的概率为60%，失败的概率为40%。请计算该项目的期望收益。题目四：从一个包含100个元素的总体中随机抽取一个包含30个元素的简单随机样本。如果总体均值已知为50，总体标准差未知但假设为10。请计算样本均值的标准误差。题目五：某分析师想检验一个股票的月收益率是否显著高于市场平均水平。他选取了该股票过去60个月的月收益率数据作为样本，样本均值为1.8%，样本标准差为5%，市场平均月收益率为1%。假设股票月收益率服从正态分布，请计算该股票月收益率高于市场平均水平的95%置信区间。题目六：假设你正在使用简单指数平滑法预测下一个月的销售量。上个月的实际销售量为1500件，上个月的预测值为1400件。请计算下个月的预测值（使用α=0.2）。题目七：比较以下三种不同的价格指数计算方法：拉斯贝尔指数、帕氏指数和费雪指数。请简要说明每种方法的定义和主要特点，并指出哪种方法通常被认为是最理想的。题目八：假设一个简单线性回归模型用于分析某股票的月收益率（因变量）与其一个宏观经济指标（自变量）之间的关系。得到了以下回归结果：截距项系数为0.5%，斜率项系数为1.2%，R²为0.35，样本量为100。请解释斜率项系数的经济含义。如果该宏观经济指标下个月预期增长1%，请预测该股票下个月的月收益率（假设其他因素不变）。题目九：定义什么是抽样分布。为什么理解抽样分布对于统计推断（如参数估计和假设检验）非常重要？题目十：解释中心极限定理的内容。该定理在投资分析中有哪些重要的应用？试卷答案题目一：*期望收益率：0.60*12%+0.40*8%=7.2%+3.2%=10.4%*投资组合方差：*(0.60)^2*(15%)^2+(0.40)^2*(10%)^2+2*0.60*0.40*0.4*15%*10%*=0.36*0.0225+0.16*0.01+2*0.60*0.40*0.4*0.15*0.10*=0.0081+0.0016+0.0036=0.0133*投资组合标准差：√0.0133≈11.53%题目二：*计算Z分数：*Z(10%)=(10%-1.5%)/4%=2.25*Z(-5%)=(-5%-1.5%)/4%=-1.75*查标准正态分布表或使用计算器：*P(收益率>10%)=P(Z>2.25)=1-P(Z≤2.25)≈1-0.9878=0.0122*P(收益率<-5%)=P(Z<-1.75)≈0.0401题目三：*期望收益=(1000万*60%)+(-200万*40%)*期望收益=600万-80万=520万题目四：*样本均值的标准误差=总体标准差/√样本量*标准误差=10/√30≈1.8257题目五：*假设检验：*H₀:μ≤1%(股票收益率不高于市场平均)*H₁:μ>1%(股票收益率高于市场平均)*显著性水平α=1-95%=0.05*自由度df=n-1=60-1=59*查t分布表得临界值t(0.05,59)≈1.671*检验统计量t=(样本均值-总体均值)/标准误差*标准误差=σ/√n=5/√60≈0.6455*t=(1.8%-1%)/0.6455≈1.55*置信区间计算：*上限=样本均值+(临界值*标准误差)*上限=1.8%+(1.671*0.6455%)≈2.78%*下限=样本均值-(临界值*标准误差)=0%(通常置信区间不包含小于0的收益率，此处按计算)*结论：95%置信区间约为[0%,2.78%]。由于1%不在区间内（或t统计量1.55小于临界值1.671），不能拒绝原假设，即没有足够证据表明股票收益率显著高于市场平均水平。题目六：*预测值=α*实际值+(1-α)*预测值*预测值=0.2*1500+(1-0.2)*1400*预测值=300+0.8*1400=300+1120=1420题目七：*拉斯贝尔指数(LaspeyresIndex):*定义的基期加权计算报告期价格水平。*计算方法：以基期消费量作为权数，计算报告期价格相对于基期的变化。*特点：反映了维持基期消费水平所需的报告期成本变化，通常偏高于费雪指数。常用。*帕氏指数(PaascheIndex):*定义的报告期加权计算基期价格水平。*计算方法：以报告期消费量作为权数，计算基期价格相对于报告期的变化。*特点：反映了以报告期消费结构购买基期商品所需的成本变化，通常偏低于费雪指数。较少使用。*费雪指数(FisherIndex):*定义：是拉氏指数和帕氏指数的几何平均数。*计算方法：(LaspeyresIndex*PaascheIndex)^(1/2)*特点：兼顾了基期和报告期的权数，被经济学家普遍认为是最理想的指数计算方法，因为它更符合经济学中的“理想指数”概念，即考虑了消费结构的变化，且具有时间互换检验和因子互换检验的优良特性。计算相对复杂。题目八：*斜率项系数(1.2%)的经济含义：表示当宏观经济指标每增加一个单位时，该股票的月收益率预计平均增加1.2%。这是一个正向关系，表明宏观经济指标与股票收益率正相关。*预测值计算：*预测收益率=截距项系数+(斜率项系数*宏观经济指标变动量)*预测收益率=0.5%+1.2%*1=1.5%*注意：该预测值是基于线性关系的理想估计，实际收益率还会受到其他未包含在模型中的因素的影响。题目九：*抽样分布定义：抽样分布是指从一个总体中重复抽取所有可能的样本（样本量为n）时，样本统计量（如样本均值、样本比例）的分布。*重要性：*参数估计：基于抽样分布，我们可以构建置信区间来估计总体参数的范围。*假设检验：假设检验中的检验统计量其分布是基于抽样分布推导出来的，通过该分布我们可以计算p值或确定拒绝域，从而判断是否拒绝原假设。*提供推断基础：抽样分布使我们能够了解样本统计量的变异性，并据此对总体进行推断，即使我们没有总体数据。题目十：*中心极限定理内容：如果从任何具有均值μ和有限方差σ²的总体中随机抽取大小为n的样本，当样本量n足够大时（通常n≥30），样本均值的分布将趋近于一个以总体均值μ为中心、标准差为σ/√n的正态分布。即使原始总体不是正态分布，样本均值的分布也趋近于正态分布。*投资分析应用：*估算总体均值：通过计算多个大样本的均值，可以更准确地估计总