高三一轮试题数学第41练直线的方程及位置关系

第八章解析几何第41讲直线的方程及位置关系链教材夯基固本激活思维1．(人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k22．(人A选必一P57练习T1改)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝03．(人A选必一P77练习T3改)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A．eq\r(,2) B．2－eq\r(,2)C．eq\r(,2)－1 D．eq\r(,2)＋14．(人A选必一P72练习T3改)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是()A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝05．(人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是()A．2 B．－1C．－2 D．1聚焦知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是___．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝____．(2)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝____．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式____不含直线x＝x0斜截式____不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式____平面直角坐标系内的直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔____．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔____．特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．5．三个距离公式(1)点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝____．(2)点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____．(3)线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝____．6．常用结论(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2)对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．研题型能力养成举题说法直线的方程例1(1)已知直线l的斜率为eq\r(,3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A．y＝eq\r(,3)x＋2 B．y＝eq\r(,3)x－2C．y＝eq\r(,3)x＋eq\f(1,2) D．y＝－eq\r(,3)x＋2(2)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0求直线方程的两种方法：(1)直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．(2)待定系数法：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数．变式1(1)过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____．(2)(多选)若直线l经过点(4，－2)，且l与坐标轴围成的三角形面积为2，则l的方程可能是()A．x－y－2＝0 B．2x＋y－6＝0C．x＋y－2＝0 D．x＋4y＋4＝0两直线的位置关系例2已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝____；若l1∥l2，则m＝____．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．变式2(1)若直线x＋(1＋m)y－2＝0和直线mx＋2y＋8＝0平行，则m＝()A．1 B．－2C．1或－2 D．－eq\f(2,3)(2)已知直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，则a＝()A．3 B．1或－3C．－1 D．3或－1距离问题例3(1)已知经过点P(2,2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1,0)到直线l的距离等于eq\r(,5)，则a的值是()A．－eq\f(1,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2)(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)使用距离公式时应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等．变式3(1)已知直线l过点P(3,4)，且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为____．(2)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(,13),13)，则eq\f(c＋2,a)的值为____．对称问题视角1点(或直线)关于点对称例4－1已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求直线l关于点A对称的直线l′的方程．视角2点关于直线对称例4－2已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．视角3直线关于直线对称例4－3已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程．对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．随堂内化1．经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为()A．x＋y－5＝0 B．x＋y＋5＝0C．3x－2y＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝02．(2024·西安期末)(多选)已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋(a－2)y＋1＝0，l2：bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则下列选项中正确的是()A．0＜ab≤1 B．eq\r(,a)＋eq\r(,b)≤2C．a2＋b2≤2 D．eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)≥33．在x轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3,4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为____．4．已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为____．配套热练A组夯基精练一、单项选择题1．(2024·岳阳三模)直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是()A．(3,2) B．(2,3)C．(3，－2) D．(2，－3)2．若两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(,6),3) B．a＝－6，d＝eq\f(\r(,6),3)C．a＝－6，d＝eq\f(\r(,5),3) D．a＝6，d＝eq\f(\r(,5),3)3．(人A选必一P80T15)若□ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，则□ABCD的面积为()A．9 B．12C．15 D．184．(2024·湖北八市联考)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(,13),6)，则k的值为()A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．2二、多项选择题5．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是()A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝06．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则()A．当m变化时，l1的倾斜角不变B．当α变化时，l2过定点C．l1与l2可能平行D．l1与l2不可能垂直7．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝eq\f(4,3)x D．y＝2x＋10三、填空题8．(2024·天津卷)若圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为____．9．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0．若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝____．10．已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为____．四、解答题11．设直线l1：2x－y＋3＝0和直线l2：x＋y＋3＝0的交点为P．(1)若直线l经过点P，且与直线x＋2y＋5＝0垂直，求直线l的方程；(2)若直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P对称，求直线m的方程．12．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0．(1)求证：不论m为何实数，直线l过定点M；(2)过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．B组滚动小练13．(2025·肇庆一模)(多选)将自然数1,2,3,4,5，…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是()A．37 B．58C．67 D．7914．(2025·无锡期中)已知函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)，a∈R．(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围；(2)求函数g(x)＝f(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋2))x的单调递减区间．第八章解析几何第41讲直线的方程及位置关系激活思维1.D【解析】由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.2.A【解析】由题意可得直线l的斜率k＝－eq\f(3,2)，所以l：y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.3.C【解析】由题意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，a>0，解得a＝eq\r(2)－1.4.A【解析】经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线l的方程可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.5.AB【解析】因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.聚焦知识1.(1)向上方向(2)[0，π)2.(1)tanα(2)eq\f(y2－y1,x2－x1)3.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)4.(1)k1＝k2(2)k1·k2＝－15.(1)eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)(2)eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(3)eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))举题说法例1(1)A【解析】因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq\f(1,2)，所以直线l在y轴上的截距为2，故直线l的方程为y＝eq\r(,3)x＋2.(2)A【解析】设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝0，,\f(y－2,2)＝m，))且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋7,2)＝n，,\f(y＋3,2)＝0，))解得x＝－5，y＝－3，m＝－eq\f(5,2)，n＝1，即C(－5，－3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，所以MN所在直线的方程为eq\f(y＋\f(5,2),\f(5,2))＝eq\f(x,1)，即5x－2y－5＝0.变式1(1)y＝－eq\f(4,3)x或y＝－x－1【解析】设直线在x，y轴上的截距分别为a，b，则a＝b.若a＝b＝0，即直线过原点，设直线方程为y＝kx，代入(3，－4)，即－4＝3k，解得k＝－eq\f(4,3)，故直线方程为y＝－eq\f(4,3)x；若a＝b≠0，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，代入(3，－4)，即eq\f(3,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－1，故直线方程为－x－y＝1，即y＝－x－1.综上，所求直线方程为y＝－eq\f(4,3)x或y＝－x－1.(2)CD【解析】易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)－2，令x＝0，得y＝－4k－2；令y＝0，得x＝eq\f(2,k)＋4.围成的三角形面积为S＝eq\f(1,2)×|－4k－2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋4))＝2，化简可得4k2＋3k＋1＝0或4k2＋5k＋1＝0.对于方程4k2＋3k＋1＝0，Δ＝32－4×4×1<0，故方程4k2＋3k＋1＝0无解．对于方程4k2＋5k＋1＝0，可得k＝－1或k＝－eq\f(1,4).故直线l的方程为y＝－(x－4)－2或y＝－eq\f(1,4)(x－4)－2，即x＋y－2＝0或x＋4y＋4＝0.例23或－2eq\f(1,7)【解析】因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以：若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2；若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝eq\f(1,7)，经检验符合题意．变式2(1)C【解析】因为直线x＋(1＋m)y＝2和直线mx＋2y＋8＝0平行，所以1×2－(1＋m)m＝0，解得m＝1或－2，经检验都符合题意．(2)D【解析】因为直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，所以a2－(2a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝3.例3(1)C【解析】依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0.因为点P(2，2)在l上，且点M(1，0)到直线l的距离等于eq\r(,5)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋2a＋c＝0，,\f(|1＋c|,\r(,1＋a2))＝\r(,5)，))消去c，得a＝2.(2)A【解析】由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))，解得m＝－6，即M所在直线方程为x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).变式3(1)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0【解析】当直线l的斜率不存在时，l：x＝3，显然不合题意，则可设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由已知得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(,1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(,1＋k2))，解得k＝2或k＝－eq\f(2,3)，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)±1【解析】由题意得eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，所以a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，所以eq\f(2\r(,13),13)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(,13))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝－1或eq\f(c＋2,a)＝1.例41【解答】方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二：由题知l∥l′，所以设l′的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1).因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋c|,\r(,13))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(,13))，解得c＝－9，所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.例42【解答】设A′(x，y).由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).例43【解答】在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.随堂内化1.D2.ABD【解析】因为l1⊥l2，所以b＋a－2＝0，a＋b＝2.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2eq\r(,ab)，所以0<ab≤1，故A正确；(eq\r(,a)＋eq\r(,b))2＝a＋b＋2eq\r(,ab)≤2＋2＝4，所以eq\r(,a)＋eq\r(,b)≤2，故B正确；因为a＋b＝2，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2)，则a2＋b2＝eq\f(1,4)＋eq\f(9,4)＝eq\f(10,4)>2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或a2＋b2≥\f(（a＋b）2,2)＝2))，故C错误；eq\f(b,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2－a,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)－1＝(1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1)－1≥(2＋2eq\r(,\f(b,a)×\f(a,b)))－1＝3，故D正确．3.(9，0)或(－11，0)【解析】设P(a，0)，因为kAB＝eq\f(4－2,3－1)＝1，则直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，所以点P(a，0)到直线AB的距离d＝eq\f(|a＋1|,\r(,2)).又|AB|＝eq\r(,（3－1）2＋（4－2）2)＝2eq\r(,2)，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×|AB|×d＝eq\r(,2)×eq\f(|a＋1|,\r(,2))＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P的坐标为(9，0)或(－11，0).4.eq\r(,74)【解析】依题意，设B(2，4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－4,m－2)＝－1，,\f(n＋4,2)＝\f(m＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝3，))所以B′(3，3).如图，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝eq\r(,（－4－3）2＋（8－3）2)＝eq\r(,74)，故|AC|＋|BC|的最小值为eq\r(,74).(第4题)配套精炼1.A2.D【解析】依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝eq\f(|9－4|,\r(,62＋32))＝eq\f(\r(,5),3).3.A【解析】如图，由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0联立得交点C(3，2)；由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0联立得交点B(－1，1)；由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0联立得交点D(2，4).由点D到l1：x－4y＋5＝0的距离d＝eq\f(|2－4×4＋5|,\r(,12＋（－4）2))＝eq\f(9\r(,17),17)，|BC|＝eq\r(,（3＋1）2＋（2－1）2)＝eq\r(,17)，故S▱ABCD＝|BC|×d＝eq\r(,17)×eq\f(9,\r(,17))＝9.(第3题)B【解析】如图，设点O关于直线l的对称点为A(x1，y1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)＋\f(y1,2)－1＝0，,\f(y1,x1)×（－1）＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝1，))即A(1，1).由题意知y＝kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠－1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k＋1)，,y＝\f(k,k＋1)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)，\f(k,k＋1)))，故直线AP的斜率为kAP＝eq\f(\f(k,k＋1)－1,\f(1,k＋1)－1)＝eq\f(1,k)，直线AP的方程为y－1＝eq\f(1,k)(x－1).令y＝0，得x＝1－k，故M(1－k，0).令x＝0，得y＝1－eq\f(1,k)，故由对称性可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)－1)).由|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(,13),6)得(1－k)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)))eq\s\up12(2)＝eq\f(13,36)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))eq\s\up12(2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))＝eq\f(13,36)，解得k＋eq\f(1,k)＝eq\f(13,6)或k＋eq\f(1,k)＝－eq\f(1,6).当k＋eq\f(1,k)＝eq\f(13,6)时，k＝eq\f(2,3)或k＝eq\f(3,2).若k＝eq\f(3,2)，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件；若k＝eq\f(2,3)，经检验符合条件；又k＋eq\f(1,k)≥2或k＋eq\f(1,k)≤－2，故k＋eq\f(1,k)＝－eq\f(1,6)不符合条件．综上，k＝eq\f(2,3).(第4题)5.AC【解析】由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为eq\f(3－（－5）,2－4)＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为eq\f(2－（－1）,1－3)＝－eq\f(3,2)，此时l的方程是y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.6.AB【解析】对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率为k＝－eq\f(3,2)，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：xsinα－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sinα，即sinα＝－eq\f(3,2)，这与sinα∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C不正确；对于D，假设l1与l2垂直，则3sinα－2＝0，即sinα＝eq\f(2,3)，所以l1与l2可能垂直，故D不正确．7.BC【解析】设点M到直线的距离为d，对于A，d＝eq\f(|5－0＋1|,\r(,12＋（－1）2))＝3eq\r(,2)>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B，d＝2<4，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；对于C，d＝eq\f(|4×5－0|,\r(,42＋（－3）2))＝4，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；对于D，d＝eq\f(|2×5＋10|,\r(,22＋（－1）2))＝4eq\r(,5)>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故D不符合题意．8.eq\f(4,5)【解析】圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故eq\f(p,2)＝1，即p＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋y2＝25，,y2＝4x，))消去y可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，故A(4，±4)，直线AF：y＝±eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，则原点到直线AF的距离为d＝eq\f(|4|,5)＝eq\f(4,5).9.－1或eq\f(8,3)或－2【解析】由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝eq\f(8,3)；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,4x＋3y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以l1与l2的交点为(－2，1)，将(－2，1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1或eq\f(8,3)或－2时，不能构成三角形．10.x＋2y＋1＝0【解析】由点A(1，2)在l1：ax＋by＋1＝0上可知a＋2b＋1＝0.同理由点A(1，2)在l2：cx＋dy＋1＝0上可知c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0.由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为x＋2y＋1＝0.11.【解答】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x＋y＋3＝0))得交点P(－2，－1).由直线l与直线x＋2y＋5＝0垂直，则可设直线l的方程为2x－y＋c＝0.又直线l过点P(－2，－1)，代入得2×(－2)－(－1)＋c＝0，解得c＝3，所以直线l的方程为2x－y＋3＝0.(2)方法一：由题意可得直线m与直线x＋2y＋5＝0平行，则可设直线m的方程为x＋2y＋t＝0(t≠5)，由直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P(－2，－1)对称，可得P(－2，－1)到两条直线的距离相等，即eq\f(|－2－2＋t|,\r(,5))＝eq\f(|－2－2＋5|,\r(,5))，解得t＝5(舍去)或t＝3，所以直线m的方程为x＋2y＋3＝0.方法二：设直线m上任意一点M(x，y)，则点M关于点P(－2，－1)对称的点为N(－4－x，－2－y)，且点N(－4－x，－2－y)在直线x＋2y＋5＝0上，得(－4－x)＋2×(－2－y)＋5＝0，化简得直线m的方程为x＋2y＋3＝0.12.【解答】(1)直线l的方程转化为(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2).(2)过定点M(－1，－2)作一条直线l1，