《向量在物理中的应用举例》教案

《向量在物理中的应用举例》教案教学目标及教学重点、难点教学目标1.通过对具体问题的讲解，让学生了解用向量方法解决物理问题的“三步曲”；2.通过对具体问题的讲解，让学生体会向量方法在力、位移、速度的合成与分解，功的计算问题中的应用；3．在用向量方法解决物理问题的过程中，让学生体会向量方法的程序化步骤，体会类比思想以及化归转化思想，提升逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.教学重点用向量方法解决物理问题的“三步曲”.教学难点将物理问题转化为向量问题.教学方法讲授式.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图回顾回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：回顾旧知，铺垫新课引入类比用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，考虑如下三个问题：1.为什么要用平面向量来解决物理问题？2.平面向量可以解决哪些物理问题？3.如何运用平面向量来解决物理问题？提出问题，明确主线.新课教师首先提问：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？分析上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清楚F,G,三者之间的关系（其中F为F1,F2的合力）,就得到了问题的数学解释．解不妨设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法则，力的平衡原理以及直角三角形的知识，可以得到|F1|=．通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．探究(1)q为何值时，最小，最小值是多少？分析当q=0时，取到最大值1.此时最小，最小值为.(2)能等于吗?为什么？分析当时，.因为，所以q=.(3)F1，F2的方向能在同一条水平线上吗？分析若F1,F2同向，且在同一条水平线上，则物体受力不平衡；若F1,F2反向，且在同一条水平线上，则F1，F2没有竖直方向的分力与G平衡.综上，F1,F2的方向不能在同一条水平线上.另外，从|F1|=来看，当时，分母.因此，从数学的角度来看，F1,F2也不能反向，且在同一条水平线上.由此归纳，用向量方法解决物理问题的“三步曲”：（1）把物理问题转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的有关解；（3）回到问题的初始状态，解决相关物理问题，解释相关物理现象.讲解实例，归纳方法.例题应用一用向量研究力的合成、分解例若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，求：(1)的大小；(2)与的夹角大小.分析由力的平衡，可知0，从而借助公式来计算的大小，利用来计算与的夹角大小.解(1)由力的平衡，知0，解得.所以.因为所以.(2)设与的夹角为.因为.所以.因为，所以q=.即与的夹角大小为.应用二用向量刻画位移例A,B两个粒子同时从原点O出发，粒子A先从O运动到P，再从P运动到Q停止，其位移依次是.粒子B从O运动到M停止，其位移为.当A,B两个粒子停止时，求：(1)粒子A从开始运动到停止的位移；(2)粒子B相对A的位移s.分析对于粒子A，其总位移为两次位移的和，因此考虑用向量的加法；而粒子B相对A的位移s为向量，因此考虑用向量的减法.解(1)依题意，有，从而.(2)依题意，.粒子B相对A的位移s.应用三利用向量进行功的计算例一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F=(4,−5)，求F对该物体所做的功.分析对功的计算，可以利用公式.其中F代表作用在物体上的力，代表物体的位移.解设物体在力F的作用下产生的位移为，F对该物体所做的功为.因为A(20,15)，B(7,0).所以.又因为F=，所以.即F对该物体所做的功为23.应用四速度的分解与合成例如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度10km/h，水流速度2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？思考:1.“行驶最短航程”是什么意思？直线外一点与直线上一点的连线中，垂线段最短；船的实际航行路线与河岸垂直.2.怎样才能使航程最短？船的实际航行方向与船的合速度方向一致；船的合速度与河岸垂直，即与水流速度垂直.解如图，设的合速度为.依题意，.所以.所用时间(min).答:行驶航程最短时，所用时间是3.1min.例如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度10km/h，水流速度2km/h，问行驶时间最短时，所用时间是多少？思考:1.“行驶时间最短”是什么意思？如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.2.怎样才能使行驶时间最短？我们分三种情况讨论：(1)当船速与水流速度成钝角时；(2)当船速与水流速度成直角时；(3)当船速与水流速度成锐角时.解设与的夹角为，与的合速度为.(1)当船速与水流速度成钝角，即为钝角时，小船朝着合速度的方向航行.设合速度在AB(垂直于河岸方向)上的分速度为，则小船行驶的时间.注意到也相当于船速在AB上的分速度.因为船速与分速度的夹角为，所以.从而小船行驶的时间().值得注意的是，当船速与水流速度成钝角时，合速度并不一定与成钝角，但是合速度以及船速在AB上的分速度大小均为.(2)当船速与水流速度成直角，即为直角时，合速度在AB(垂直于河岸方向)上的分速度和船速相等.从而小船行驶的时间.(3)当船速与水流速度成锐角，即为锐角时，小船朝着合速度的方向航行.因为船速与分速度的夹角为，所以分速度的大小.从而小船行驶的时间().综上，小船行驶时间为，所以当，即船速与水流速度成直角时，小船行驶时间最短，为(min).进一步我们还知道，小船以最短路径过河时，过河时间不是最短，为3.1min.过河时间最短时，合速度的大小.设小船过河行驶的距离为，则，即510(m).分类讲解，多题归一.总结总结知识、提炼升华.作业一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行的速度的大小.布置作业、课堂延申.课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m,该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8m/s,此时每根绳子平均承受的拉力约为()A.200NB.400NC.600N D.800N答案B解析该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计,可以把该同学看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时,由牛顿第二定律有2F-mg=mv2L(式中F为每根绳子平均承受的拉力,L为绳长),代入数据解得F=410N,2.如图所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒,若轨道半径为R,人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为()A.0 B.gR C.2gR D.答案C解析由题意知F+mg=2mg=mv2R,故速度大小v=23.(多选)如图所示,用细绳拴着质量为m的物体,在竖直面内做圆周运动,圆周半径为R,则下列说法正确的是()A.小球过最高点时,绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度为零C.小球刚好过最高点时的速度是RgD.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反答案AC解析小球在最高点时,受重力mg、绳子竖直向下的拉力F(注意:绳子不能产生竖直向上的支持力),向心力为F向=mg+F,根据牛顿第二定律得mg+F=mv2R。可见,v越大,F越大;v越小,F越小。当F=0时,mg=mv2R,得v临界=Rg。因此,选项A、C正确4.如图,一长l=0.5m的轻杆,一端固定在水平转轴上,另一端固定一质量m=0.5kg的小球,轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω=4rad/s的匀速圆周运动,其中A为最高点,C为最低点,B、D两点和圆心O在同一水平线上,重力加速度g取10m/s2。则()A.小球在A点时,杆对小球的作用力方向竖直向下B.小球在B点时,杆对小球的作用力方向指向圆心C.小球在C点时,杆对小球的作用力大小为4ND.小球在D点时,杆对小球的作用力大小为41N答案D解析小球做匀速圆周运动,合力提供向心力,当小球在A点时,mg+FA=mω2l,解得FA=-1N,杆对小球的作用力方向竖直向上,A错误;小球在B点时,合力提供向心力,则杆对小球的作用力方向斜向右上方,B错误;当小球在C点时,FC-mg=mω2l,解得FC=9N,C错误;小球在D点时,杆对小球的作用力方向斜向左上方,FD=(mg)25.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动,若经最高点不脱离轨道的临界速度为v,则当小球以2v速度经过最高点时,小球对轨道的压力大小为()A.0 B.mg C.3mg D.5mg答案C解析当小球以速度v经内轨道最高点时,小球仅受重力,重力充当向心力,有mg=mv2r;当小球以速度2v经内轨道最高点时,小球受重力mg和向下的支持力FN,如图所示,合力充当向心力,有mg+FN=m(2v)2r;又由牛顿第三定律得到,小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等,FN'=FN。由以上三式得到,FN6.如图所示,在圆柱形房屋的天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳,绳的下端挂一个质量为m的小球,重力加速度为g。已知绳能承受的最大拉力为2mg,小球在水平面内做圆周运动,当速度逐渐增大时,绳发生断裂,求绳断裂瞬间小球的速度v1。答案3解析小球在绳断前瞬间受力如图所示由牛顿第二定律得竖直方向上,有FTmcosθ-mg=0水平方向上,有FTmsinθ=mv由几何关系得r=Lsinθ又知FTm=2mg联立解得v1=3gL等级考提升练7.如图所示,乘坐游乐园的翻滚过山车时,质量为m的人随车在竖直平面内旋转,下列说法正确的是()A.人在最高点时处于倒坐状态,全靠保险带拉住,没有保险带,人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力等于mgD.人在最低点时对座位的压力大于mg答案D解析人过最高点时,FN+mg=mv2R,当v≥gR时,不用保险带,人也不会掉下来,当v=2gR时,人在最高点时对座位产生的压力为mg,A、B均错误;人在最低点具有竖直向上的加速度,处于超重状态,故人此时对座位的压力大于mg,C8.(多选)如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g。下列说法正确的是()A.小球通过最高点时的最小速度vmin=gB.小球通过最高点时的最小速度vmin=0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球在最高点时,由于管道内侧能提供支持力,其通过的速度可以为零,选项A错误,选项B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力FG的合力提供向心力,即FN-FG=mv2R+r,因此,外侧管壁对球一定有作用力,而内侧管壁对球无作用力,选项9.某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器,滚筒内表面粗糙,直径为D。工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动。为使栗子受热均匀,要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则(重力加速度为g)()A.滚筒的角速度ω应满足ω<2B.滚筒的角速度ω应满足ω>2C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关D.若栗子到达最高点时脱离滚筒,栗子将自由下落答案A解析栗子在最高点恰好不脱离时,有mg=mD2ω2,解得ω=2gD,要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则ω<2gD,故A正确,B错误;栗子脱离滚筒的位置与其质量无关,故C错误;若栗子到达最高点时脱离滚筒,由于栗子此时的速度不为零,10.如图所示,可视为质点的木块A、B叠放在一起,放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO'匀速转动,木块A、B与转轴OO'的距离为1m,A的质量为5kg,B的质量为10kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2,B与转台间的动摩擦因数为0.3,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10m/s2。若木块A、B与转台始终保持相对静止,则转台角速度ω的最大值为()A.1rad/s B.2rad/sC.3rad/s D.3rad/s答案B解析由于A和A、B整体受到的静摩擦力均提供向心力,故对A,有μ1mAg≥mAω2r,对A、B整体,有(mA+mB)ω2r≤μ2(mA+mB)g,解得ω≤2rad/s,故选项B正确。11.如图所示,一位同学做