2025年概率论b考试试题及答案

2025年概率论b考试试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设事件A与B满足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)的值为（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（）A.1B.2C.3D.43.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则P(X≤a,Y>b)等于（）A.F(a,b)B.F(a,+∞)-F(a,b)C.F(+∞,b)-F(a,b)D.1-F(a,b)4.设X~N(μ,σ²)，Y=2X-3，则Y的分布为（）A.N(2μ-3,4σ²)B.N(2μ-3,2σ²-3)C.N(μ-3,4σ²)D.N(2μ,σ²)5.设X₁,X₂,…,Xₙ为独立同分布的随机变量，E(Xᵢ)=μ，Var(Xᵢ)=σ²>0，记Sₙ=X₁+X₂+…+Xₙ，则当n→∞时，(Sₙ-nμ)/(σ√n)依分布收敛于（）A.N(0,1)B.N(μ,σ²)C.泊松分布P(λ)D.均匀分布U(0,1)二、填空题（每题5分，共25分）6.袋中有3个红球和2个白球，不放回地取两次，每次取一个。已知第一次取到红球，则第二次取到白球的概率为________。7.随机变量X服从参数p=0.3的几何分布，即P(X=k)=(1-p)ᵏ⁻¹p，k=1,2,…，则E(X)=________。8.设X~N(1,4)，则P(X≤3)=________（已知Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915）。9.二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如下：|Y\X|0|1||||||0|0.2|0.3||1|0.1|0.4|则P(X+Y≤1)=________。10.设X与Y独立，X~N(2,1)，Y~N(3,4)，则Var(2X-Y+5)=________。三、计算题（每题12分，共48分）11.某工厂有三条生产线，分别生产产品的30%、50%、20%，各生产线的次品率分别为2%、1%、3%。现从该厂产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若抽到次品，该次品来自第一条生产线的概率。12.设随机变量X的概率密度函数为：fₓ(x)={2x,0<x<1；0,其他}令Y=X²，求Y的概率密度函数fᵧ(y)。13.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)={6xy,0<x<1,0<y<1-x；0,其他}（1）求X的边缘概率密度fₓ(x)；（2）求E(XY)。14.某保险公司有10000份同类型保单，每份保单的年赔付额X（单位：万元）服从参数λ=0.1的指数分布，且各保单赔付相互独立。利用中心极限定理近似计算该公司年赔付总额超过1100万元的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）。四、证明题（7分）15.证明切比雪夫不等式：对任意随机变量X，若E(X)=μ，Var(X)=σ²，则对任意ε>0，有P(|X-μ|≥ε)≤σ²/ε²。答案及解析一、单项选择题1.答案：C解析：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB)=0.6+0.5-0.8=0.3，故P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6。2.答案：A解析：E[(X-1)(X-2)]=E(X²-3X+2)=E(X²)-3E(X)+2。泊松分布中E(X)=λ，Var(X)=λ，故E(X²)=λ²+λ。代入得λ²+λ-3λ+2=λ²-2λ+2=1，解得λ=1。3.答案：B解析：P(X≤a,Y>b)=P(X≤a)-P(X≤a,Y≤b)=F(a,+∞)-F(a,b)。4.答案：A解析：正态分布的线性变换保持正态性，E(Y)=2μ-3，Var(Y)=4σ²，故Y~N(2μ-3,4σ²)。5.答案：A解析：中心极限定理表明，标准化后的和收敛于标准正态分布。二、填空题6.答案：2/4=0.5解析：第一次取到红球后，袋中剩余2红2白，共4个球，故第二次取白球的概率为2/4=0.5。7.答案：1/p=10/3≈3.333解析：几何分布的期望E(X)=1/p=1/0.3=10/3。8.答案：Φ((3-1)/2)=Φ(1)=0.8413解析：X~N(1,4)，则(X-1)/2~N(0,1)，P(X≤3)=P((X-1)/2≤(3-1)/2)=Φ(1)=0.8413。9.答案：0.2+0.3+0.1=0.6解析：X+Y≤1的情况包括(0,0),(1,0),(0,1)，对应概率0.2+0.3+0.1=0.6。10.答案：2²×1+(-1)²×4=4+4=8解析：Var(2X-Y+5)=4Var(X)+Var(Y)=4×1+4=8（常数方差为0）。三、计算题11.解：（1）设Aᵢ表示“产品来自第i条生产线”（i=1,2,3），B表示“产品是次品”。P(A₁)=0.3，P(A₂)=0.5，P(A₃)=0.2；P(B|A₁)=0.02，P(B|A₂)=0.01，P(B|A₃)=0.03。由全概率公式：P(B)=ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。（2）由贝叶斯公式：P(A₁|B)=P(A₁)P(B|A₁)/P(B)=0.3×0.02/0.017≈0.3529。12.解：Y=X²的取值范围为(0,1)（因X∈(0,1)）。当y∈(0,1)时，Y的分布函数Fᵧ(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=P(X≤√y)=∫₀^√y2xdx=[x²]₀^√y=y。对y求导得fᵧ(y)=dFᵧ(y)/dy=1（0<y<1），其他情况fᵧ(y)=0。13.解：（1）X的边缘密度fₓ(x)=∫₋∞^∞f(x,y)dy。当0<x<1时，y的范围是0到1-x，故：fₓ(x)=∫₀^(1-x)6xydy=6x·[y²/2]₀^(1-x)=3x(1-x)²（0<x<1）；其他情况fₓ(x)=0。（2）E(XY)=∫∫xy·f(x,y)dxdy=∫₀¹∫₀^(1-x)xy·6xydydx=6∫₀¹x²[∫₀^(1-x)y²dy]dx=6∫₀¹x²·[(1-x)³/3]dx=2∫₀¹x²(1-x)³dx令t=1-x，则x=1-t，dx=-dt，积分变为2∫₀¹(1-t)²t³dt=2[∫₀¹(t³-2t⁴+t⁵)dt]=2[(1/42/5+1/6)]=2[(15/6024/60+10/60)]=2×(1/60)=1/30≈0.0333。14.解：每份保单赔付X~Exp(λ=0.1)，则E(X)=1/λ=10，Var(X)=1/λ²=100。设总赔付S=X₁+X₂+…+X₁₀₀₀₀，由中心极限定理，S近似服从N(nμ,nσ²)=N(10000×10,10000×100)=N(100000,1000000)。要求P(S>1100)=P(S>1100)=P((S-100000)/√1000000>(1100-100000)/1000)但此处单位可能有误，实际应为年赔付总额超过1100万元，即S>1100（万元），而n=10000份，每份期望10万元，总期望为10000×10=100000万元=10亿元，显然题目中“1100万元”应为“11000万元”（1.1亿元）更合理，可能是笔误。假设题目为“超过11000万元”，则：标准化后Z=(S-100000)/√(10000×100)=(S-100000)/1000P(S>11000)=P(Z>(11000-100000)/1000)=P(Z>-89)≈1（显然不合理，说明题目参数可能应为每份赔付额X的期望为0.1万元，即λ=10）。修正假设：X~Exp(λ=10)，则E(X)=1/10=0.1，Var(X)=1/100=0.01。总期望nμ=10000×0.1=1000万元，总方差nσ²=10000×0.01=100，标准差=10。要求P(S>1100)=P((S-1000)/10>(1100-1000)/10)=P(Z>10)≈0（仍不合理）。可能题目中“参数λ=0.1”指的是均值为0.1，即X~Exp(θ=0.1)，此时E(X)=θ=0.1，Var(X)=θ²=0.01。总期望=10000×0.1=1000万元，总方差=10000×0.01=100，标准差=10。P(S>1100)=P(Z>(1100-1000)/10)=P(Z>10)≈0，显然题目参数设置有误。正确参数应为X~Exp(λ=0.1)表示速率参数，均值=1/λ=10，此时总期望=10000×10=100000万元=10亿元，题目可能要求超过101000万元（10.1亿元），则Z=(101000-100000)/√(10000×100)=1000/1000=1，P(Z>1)=1-Φ(1)=0.1587。综上，可能题目存在笔误，假设正确总赔付额超过101000万元，则概率约为0.1587。四、证明题15.