重庆市第一中学2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

重庆一中高届高二上期半期考试数学试题卷注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.作答时，务必将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共分.1.方程表示的曲线为（）A.线段B.椭圆C.双曲线D.不表示任何图形【答案】B【解析】【分析】表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断.【详解】表示点到点，的距离之和为，即，所以方程表示的曲线为椭圆.故选：B.2.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（）A.1B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为，第1页/共21页所以所求距离为.故选：C3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义即可求解．【详解】，又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以切线斜率，解得．故选：D．4.已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可.【详解】由等差数列前项和公式得：，因为，所以，即，因为，所以，又因为，可得，即，由，可知数列前6项为负，第7项开始为正，第2页/共21页因此当取得最小值时，.故选：C.5.已知数列是公差为的等差数列，则（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列的公比，进而求得答案.【详解】由数列是公差为的等差数列，得，则，因此数列是公比为的等比数列，所以.故选：A6.已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设出点坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率.【详解】椭圆的左顶点，设点，则，且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得，第3页/共21页故选：A7.已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（）A.12B.C.D.6【答案】B【解析】【分析】由题意可得，则可得，再利用三角形面积公式与勾股定理计算即可得解.【详解】，又，故，则，故，即，且有，故，即，故的周长为.故选：B.8.数列满足，数的最大值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】D【解析】第4页/共21页用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得.【详解】由，则，即，又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故；则，则，令，解得，故正整数的最大值为.故选：D.二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共分.9.已知直线，圆，则下列结论正确的是（）A.直线和圆总有公共点B.直线被圆截得的最短弦长为C.若圆与圆有且只有一条公切线，则实数D.当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1【答案】ABD【解析】【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断BC圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D.【详解】对于A，直线的方程为，第5页/共21页变形可得，令，解得，所以直线恒过定点，因为，所以定点在圆内部，则直线和圆总有公共点，故A正确；对于B，因为直线过定点，且点在圆内，则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，此时圆心到直线的距离为，所以最小弦长为，故B正确；对于C，圆的方程，即，其圆心为，半径为，需满足，若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切，则有，解得，故C错误；对于D，圆，其圆心为，半径为，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，依题意需满足.因为，，，满足，故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确.故选：ABD.10.已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若直线过焦点，则为钝角B.若，则直线的斜率为第6页/共21页C.若，则直线过定点D.若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为【答案】ACD【解析】【分析】根据条件写出，，选项A,证明，可得B,由的斜率；选项C,先设直线方程为，因为得到，代入直线方程得到恒过定点D,根据条件设圆心为抛物线的准线相切，所以有圆心到准线的距离等于半径.【详解】由题可知，设，直线过焦点，则设直线方程为，联立方程得到，即则所以，所以为钝角，选项A正确；直线的斜率为因为即得或者，所以，选项B错误；第7页/共21页设直线方程为直线方程得到，所以直线恒过定点，选项C正确；的顶点为，其外接圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线相切，所以有圆心到准线的距离等于半径，选项D正确；故选：ACD将数列所有项排成如下数阵：从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，成等差数列，若，，则下列结论正确的是（）A.B.C.位于第45行第89列D.4048在数阵中出现1次【答案】AB【解析】【分析】先分析数阵的行列项数规律，利用第一列的等差数列求出首项；再计算前9项和验证选项B；通过项数范围确定的位置；最后分解4048的形式判断其出现次数.【详解】首先分析数阵结构：第行有项，前行项数和为，故第行第1列的项为.第一列成等差数列，记为，其中.第8页/共21页选项A，已知，，等差数列公差，故，A正确.选项B，前9项对应前3行（项数和1行：；第2行（等比数列，公比2，和为；第3行（等比数列，公比2，首项，和为.前9项和为，B正确.选项C，前44行项数和为，第45行有项，对应项数到，故位于第45行第88列，C错误.选项D，当时，，当时，数阵中第行第列的项为.令：当时，，得，，符合条件；当时，，得，，符合条件.故4048至少出现2次，D错误.故选：AB三、填空题本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．【答案】14【解析】【分析】由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出．第9页/共21页【详解】等比数列的前n项和为，，，由等比数列的性质得：，，成等比数列，，4，成等比数列，，解得．故答案为14．，，也成等比数列．13.若直线与曲线相切，则________.【答案】【解析】【分析】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案.【详解】由得，设直线与曲线相切于点，则，解得，所以.故答案为：.14.双曲线（，上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围.第10页/共21页【详解】由双曲线的右焦点为，则，又由圆的圆心为，半径为，设圆上的一点，可得的中点坐标为，因为双曲线的渐近线方程为，可得，即，又因为直线与圆存在公共点，则圆心到直线的距离，即，可得，所以，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：.四、解答题本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，.（1）求点B到平面PCD的距离；第11页/共21页（2）若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可；（2）先求出平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可.【小问1详解】以为坐标原点，、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.由，，得，故，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，取，可得平面PCD的一个法向量为，又，所以点B到平面PCD的距离为；【小问2详解】由E为PB的中点，得.，，，设平面PBC的一个法向量为，则，第12页/共21页取，可得平面PBC一个法向量为.设直线DE与平面PBC所成角为，则，故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为.16.已知抛物线（）过点，其焦点为，若.（1）求的值以及抛物线的方程；（2）过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围.【答案】（1）的值为，抛物线的方程为（2）【解析】1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果；（2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可.【小问1详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，则，且点在抛物线（）上，则，即，联立方程，解得，即，所以的值为，抛物线的方程为.【小问2详解】第13页/共21页由题意可设：直线，，，且，联立方程，消去x可得，则，可得，，则，又因为点到直线的距离，则面积，构造函数，显然在内单调递增，且，，可知在内的值域为，所以面积的取值范围为.17.已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为.第14页/共21页（i）求；（ii）若，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，；（2i）ii）.【解析】1左右同除即可得的通项公式；（2i）借助错位相减法计算即可得ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解.【小问1详解】由，则，即有，又，故数列为以为首项，为公差的等差数列，则，故；【小问2详解】（i），则，，则第15页/共21页则；（ii），即，整理得，令，令，解得，又，故，则数列在时，单调递增，在时，单调递减，又，故的最大值为，故.18.若一个数列满足是公比为是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，.（1为数列的前.求数列是否为二级等比数列，请说明理由；（2是公比为3，？若存在，求出，；不存在，请说明理由.【答案】（1），且数列是公比为二级等比数列.（2）存在，.【解析】1）根据题意，求得，得到，进而求得，化简得到第16页/共21页，得到数列为等比数列，求得其通项公式，得到是公比为二级等比数列.（2）设，得到，根据题意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，进而得到答案.【小问1详解】解：由为数列的前项的和，满足，且，，当时，可得；当时，可得，解得，所以，当时，由，可得，两式相减，可得，即，所以，又，故，又由，则，符合上式，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，设，可得，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，即数列是公比为的二级等比数列.【小问2详解】第17页/共21页设，则，因，可得，则，解得，所以，所以当，，所以当时，，又，也满足该式，所以，故，因为，即，又因为，所以，即，所以，代入可得，即，即，解不等式，可得，因为函数为增函数，经计算，满足该不等式，而，均不满足，故，所以，此时，即存在，使得成立.19.已知双曲线（，.按照如下方式依次构造点作斜率为（为常数且的下支交于点为关第18页/共21页于轴的对称点，