高一数学（人教A版）学案必修二6-2-3第1课时向量的数乘运算

6．2.3向量的数乘运算第1课时向量的数乘运算——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．逐点清(一)向量的数乘的概念[多维理解]定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0λa的方向与a的方向________λ＝0λa＝________λ＜0λa的方向与a的方向________[微点练明]1．要得到向量－2a，可将()A．向量a向左平移2个单位长度B．向量a向右平移2个单位长度C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍2．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是()A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的eq\f(2,3)倍C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量3．(多选)已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是()A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同4．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a逐点清(二)向量的线性运算[多维理解]1．数乘运算的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝______；(2)(λ＋μ)a＝______；(3)λ(a＋b)＝______.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的______________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________.[微点练明]1．化简eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))的结果是()A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a－b2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是()A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝bD．若ma＝na，则m＝n3．若a，b为已知向量，且eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.4．化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]；(3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)(x，y∈R)．逐点清(三)向量共线定理[多维理解]1．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．|微|点|助|解|向量共线定理中规定a≠0的原因(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．2．向量共线定理的推论在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(―→))＝xeq\o(OB,\s\up6(―→))＋yeq\o(OC,\s\up6(―→))(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1.[微点练明]1．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是()A．a∥b B．向量a，b方向相反C．|a|＝3|b| D．b＝－3a2．已知e1和e2不共线，a＝λe1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则λ的值为()A．1 B．2C．3 D．43．已知向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝－3a＋b，则下列结论正确的是()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线4．对于非零向量a，b,“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课下请完成课时跟踪检测四6．2.3向量的数乘运算第1课时向量的数乘运算[逐点清(一)][多维理解]向量相同0相反[微点练明]1．选D根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D.2．选ABC2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确．－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向．∵－a与a反方向，∴－2a与3a反方向．又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，∴－2a的模是3a的模的eq\f(2,3)倍，故B正确．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的，故D错误．3．选ABC由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误．故选A、B、C.4．选B当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确；显然λ2>0，故B正确；|－λa|＝|λ||a|，由于|λ|与1的大小关系不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．[逐点清(二)][多维理解]1.(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λb2.加、减、数乘λμ1a±λμ2b[微点练明]1．选B原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(－3a＋6b)＝2b－a.2．选ABm(a－b)＝ma－mb，A正确；(m－n)a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误．3．解析：∵eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝eq\f(8,3)a－2c＋15c－12b＝0，化简得13c＝12b－eq\f(8,3)a，∴c＝eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a.答案：eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a4．解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.(3)原式＝(x－y)a＋(x－y)b－(x－y)a＋(x－y)b＝2(x－y)b.[逐点清(三)][多维理解]1.b1.b＝λa[微点练明]1．选ABD因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误．2．选B由题意，有a＝μb，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4μ，,2μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2).))3．选A∵向量eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝2a＋4b，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b，∴eq\o(BD,\s\up6(―→)