第3章二次根式章末复习课件湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第3章

二次根式章末复习一、二次根式的概念1.形如____(a≥0)的式子叫作二次根式；2.二次根式有意义的条件：被开方数（或式）为

；3.最简二次根式：

(1)被开方数不含

；

(2)被开方数不含

.非负数（或式）开得尽方的因数（或因式）分母#第3章

二次根式（章末复习课件）##幻灯片1：封面-标题：第3章

二次根式——章末复习-副标题：八年级数学（下册/上册，根据教材版本调整）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻灯片2：目录1.本章知识框架梳理2.核心概念回顾（定义、有意义条件等）3.二次根式的性质（重点精讲）4.二次根式的运算（加减乘除、乘方）5.最简二次根式与同类二次根式6.易错点辨析与常见错误纠正7.综合题型解析（基础+提升）8.本章思想方法总结9.课堂练习（分层训练）10.作业布置##幻灯片3：本章知识框架梳理```二次根式├──

核心概念：│

├──

定义：形如√a（a≥0）的式子（a叫被开方数）│

├──

有意义条件：被开方数≥0（a≥0）│

├──

最简二次根式：①被开方数不含分母；②不含能开得尽方的因数/因式│

├──

同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式├──

核心性质：│

├──(√a)²=a（a≥0）│

├──√(a²)=|a|={a（a≥0），-a（a<0）}│

├──√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）│

├──√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）├──

运算法则：│

├──

乘法：√a·√b=√(ab)（a≥0，b≥0）│

├──

除法：√a/√b=√(a/b)（a≥0，b>0）│

├──

加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式│

├──

乘方：(√a)ⁿ=a^(n/2)（a≥0，n为正整数）│

├──

混合运算：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内└──

核心要求：运算准确、被开方数非负、结果化为最简二次根式```##幻灯片4：核心概念回顾——二次根式的定义与相关条件###1.二次根式的定义：**形如$\sqrt{a}$（其中$a≥0$）的式子叫做二次根式**。-关键词解析：

①

根指数为2（省略不写，区别于三次根式$\sqrt[3]{a}$）；

②

被开方数$a$必须是非负数（$a≥0$，含正数、0，不能为负数）；

③

二次根式的结果是一个非负数（$\sqrt{a}≥0$，算术平方根的性质）。-举例：$\sqrt{5}$、$\sqrt{x+3}$（$x≥-3$）、$\sqrt{0}$是二次根式；$\sqrt{-2}$（被开方数负）、$\sqrt[3]{4}$（根指数3）、$\frac{1}{x}$（不是根式）不是二次根式。###2.二次根式有意义、无意义、值为0的条件：|条件类型|数学表示|示例（以$\sqrt{2x-4}$为例）||----------------|-----------------------------------|--------------------------------||有意义|被开方数≥0（$a≥0$）|$2x-4≥0$→$x≥2$||无意义|被开方数<0（$a<0$）|$2x-4<0$→$x<2$||值为0|被开方数=0（$a=0$）|$2x-4=0$→$x=2$（此时$\sqrt{0}=0$）|###小练习：1.当$x$______时，二次根式$\sqrt{3-5x}$有意义；（答案：$x≤\frac{3}{5}$）2.当$x$______时，式子$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$有意义；（答案：$x≥-1$且$x≠2$，分母≠0+被开方数≥0）##幻灯片5：二次根式的核心性质（重点精讲）###性质1：非负性——$\sqrt{a}≥0$（$a≥0$）-解读：二次根式的结果是算术平方根，必然是非负数（正数或0）。-拓展：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（常见非负数：$\sqrt{a}$、$a²$、$|a|$）。-示例：若$\sqrt{x-2}+(y+3)²=0$，则$x-2=0$且$y+3=0$→$x=2$，$y=-3$。###性质2：$(\sqrt{a})²=a$（$a≥0$）-解读：二次根式先平方，结果等于被开方数（前提：$a≥0$，否则$\sqrt{a}$无意义）。-示例：$(\sqrt{3})²=3$、$(\sqrt{x+1})²=x+1$（$x≥-1$）、$(\sqrt{0})²=0$。###性质3：$\sqrt{a²}=|a|=\begin{cases}a&(a≥0)\\-a&(a<0)\end{cases}$-解读：先平方再开方，结果等于原数的绝对值（关键：判断$a$的符号）。-易错点：忽略绝对值，直接写成$a$。-示例：$\sqrt{(-5)²}=|-5|=5$、$\sqrt{(3-π)²}=|3-π|=π-3$（$π≈3.14>3$）、$\sqrt{x²}=|x|$。###性质4：乘法性质——$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）-解读：积的算术平方根等于算术平方根的积（条件：$a$、$b$均非负，缺一不可）。-逆用：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）（用于二次根式乘法运算）。-示例：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}·\sqrt{3}=2\sqrt{3}$、$\sqrt{5}·\sqrt{6}=\sqrt{30}$。###性质5：除法性质——$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b>0$）-解读：商的算术平方根等于算术平方根的商（条件：$a≥0$，$b>0$，$b$不能为0）。-逆用：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b>0$）（用于二次根式除法运算）。-示例：$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$、$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$。##幻灯片6：最简二次根式与同类二次根式###1.最简二次根式的定义（两个条件同时满足）：①

被开方数中**不含分母**（分母不能在根号内）；②

被开方数中**不含能开得尽方的因数或因式**（即被开方数的因数是整数、因式是整式，且分解后各因数/因式的指数都小于2）。-示例：$\sqrt{3}$、$2\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$（$x≥0$）是最简二次根式；-非最简示例：$\sqrt{12}$（含能开尽方的因数4）、$\sqrt{\frac{1}{2}}$（含分母）、$\sqrt{x³}$（含能开尽方的因式$x²$）。###2.化为最简二次根式的步骤：①

去分母：利用除法性质，将根号内的分母移到根号外（$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$，$a≥0$，$b>0$）；②

开方：将被开方数中能开得尽方的因数/因式开出来（$\sqrt{a²b}=a\sqrt{b}$，$a≥0$，$b≥0$）。-示例：将$\sqrt{\frac{3}{8}}$化为最简二次根式：$\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3×2}{8×2}}=\sqrt{\frac{6}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$（先分母有理化，再开方）。###3.同类二次根式的定义：**几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式**。-解读：判断同类二次根式的关键是“先化为最简，再看被开方数”。-示例：$\sqrt{12}$（化简为$2\sqrt{3}$）、$\sqrt{27}$（化简为$3\sqrt{3}$）、$\sqrt{\frac{1}{3}}$（化简为$\frac{\sqrt{3}}{3}$）是同类二次根式（被开方数均为3）；-非同类示例：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$（被开方数不同）、$\sqrt{4}$（化简为2）和$\sqrt{2}$（被开方数不同）。##幻灯片7：二次根式的运算——乘除与乘方###1.乘法运算：-法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）；-步骤：①

先判断被开方数是否非负；②

直接套用法则，将被开方数相乘；③

结果化为最简二次根式。-示例1：$\sqrt{6}·\sqrt{8}=\sqrt{6×8}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$；-示例2：$2\sqrt{3}·3\sqrt{5}=(2×3)·(\sqrt{3}·\sqrt{5})=6\sqrt{15}$（系数相乘，根式相乘）。###2.除法运算：-法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b>0$）；-步骤：①

判断被开方数条件（$a≥0$，$b>0$）；②

套用法则，被开方数相除；③

结果化为最简。-示例1：$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}=\sqrt{4}=2$；-示例2：$\frac{5\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{2}·\sqrt{\frac{10}{5}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$（系数相除，根式相除）。###3.乘方运算：-法则：$(\sqrt{a})^n=a^{n/2}$（$a≥0$，$n$为正整数），特殊地：$(\sqrt{a})²=a$，$(\sqrt{a})⁴=a²$等；-示例：$(\sqrt{2})³=(\sqrt{2})²·\sqrt{2}=2\sqrt{2}$、$(2\sqrt{3})²=2²·(\sqrt{3})²=4×3=12$（积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$）。###4.分母有理化（除法的重要变形）：-定义：将分母中的根号去掉，化为最简二次根式的过程。-常见类型：

①

分母为$\sqrt{a}$：$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$（$a>0$）；

②

分母为$\sqrt{a}±\sqrt{b}$：利用平方差公式，$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$（$a>0$，$b>0$，$a≠b$）。-示例：$\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$、$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\sqrt{3}-1$。##幻灯片8：二次根式的运算——加减与混合运算###1.加减运算：-法则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（同类二次根式才能合并，非同类不能合并）；-步骤：①

化简：化为最简二次根式；②

识别：找出同类二次根式；③

合并：系数相加，被开方数不变（类似合并同类项）。-示例1：$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2+3-1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；-示例2：$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=(2-\frac{1}{2}+3)\sqrt{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$。###2.混合运算：-运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的（遵循整式混合运算顺序）；-注意事项：①

运算中始终保持二次根式为最简形式；②

灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算；③

分母有理化要及时。-示例：$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)-\sqrt{2}×\sqrt{6}$

解：①

先算乘法：$(\sqrt{3}×\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2)-\sqrt{12}$；

②

化简合并：$(3+\sqrt{3}-2)-2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})-2\sqrt{3}$；

③

最后加减：$1-\sqrt{3}$。##幻灯片9：易错点辨析与常见错误纠正|常见错误|错误原因|纠正方法|示例||----------|----------|----------|------||忽略二次根式有意义条件|未考虑被开方数≥0，或分母≠0|牢记“被开方数≥0”，含分母的式子需同时满足“分母≠0”|错误：若$\sqrt{x-3}+\sqrt{2-x}$有意义，x为任意实数；正确：$x-3≥0$且$2-x≥0$，无解||混淆$(\sqrt{a})²$与$\sqrt{a²}$|未区分两个性质的适用条件和结果|明确：$(\sqrt{a})²=a$（$a≥0$，结果是a）；$\sqrt{a²}=|a|$（任意实数a，结果是绝对值）|错误：$\sqrt{(-3)²}=-3$；正确：$\sqrt{(-3)²}=|-3|=3$||乘法/除法性质误用（忽略条件）|未满足$a≥0$，$b≥0$（乘法）或$a≥0$，$b>0$（除法）|运用性质前先判断被开方数符号，负数不能直接开方|错误：$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{-4}·\sqrt{-9}$；正确：$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$（先化为正数再开方）||同类二次根式判断错误|未化为最简二次根式就判断|先将所有二次根式化为最简，再看被开方数是否相同|错误：$\sqrt{2}$和$\sqrt{8}$不是同类二次根式；正确：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，是同类二次根式||合并非同类二次根式|误以为所有二次根式都能合并|只有同类二次根式才能合并，非同类不能相加（如$\sqrt{2}+\sqrt{3}$无法合并）|错误：$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$；正确：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$保持原式（非同类，不能合并）||分母有理化不彻底或错误|未正确运用平方差公式，或忘记分母乘根号|分母为$\sqrt{a}±\sqrt{b}$时，分子分母同乘$\sqrt{a}∓\sqrt{b}$（共轭根式）|错误：$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}$；正确：$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$||混合运算顺序错误|违反“先乘方再乘除后加减”的顺序|按整式混合运算顺序计算，有括号先算括号内，灵活运用运算律|错误：$\sqrt{3}×\sqrt{6}+\sqrt{2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}$；正确：$\sqrt{18}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$|##幻灯片10：综合题型解析——基础题###题型1：二次根式的概念与性质-例1：若二次根式$\sqrt{x+5}$有意义，则x的取值范围是______；若$\sqrt{(x-2)²}=2-x$，则x的取值范围是______。

解答：$x≥-5$（被开方数≥0）；$x≤2$（$\sqrt{a²}=|a|=2-x$，即$|x-2|=2-x$，故$x-2≤0$）。-例2：计算：$(\sqrt{7})²=$______；$\sqrt{(-\frac{2}{3})²}=$______；$\sqrt{12}×\sqrt{3}=$______。

解答：7；$\frac{2}{3}$；$\sqrt{36}=6$。###题型2：最简二次根式与同类二次根式-例3：下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A.$\sqrt{12}$B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$C.$\sqrt{15}$D.$\sqrt{27}$

解答：C（A化简为$2\sqrt{3}$，B化简为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，D化简为$3\sqrt{3}$）。-例4：若$\sqrt{2x-1}$与$\sqrt{3x+2}$是同类二次根式，则x=______。

解答：3（同类二次根式被开方数相同，$2x-1=3x+2$→$x=-3$？纠正：需先化为最简，本题直接是最简形式，故$2x-1=3x+2$→$x=-3$，但需满足被开方数≥0：$2×(-3)-1=-7<0$，无解？正确题型应为$\sqrt{2x-1}$与$\sqrt{8}$是同类二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，故$2x-1=2$→$x=\frac{3}{2}$）。###题型3：基础运算-例5：计算：$\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$

解答：$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。-例6：计算：$\sqrt{3}×\sqrt{6}÷\sqrt{2}$

解答：$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$。##幻灯片11：综合题型解析——提升题###题型1：非负性的应用-例1：已知$\sqrt{a-1}+(b+2)²+|c-3|=0$，求$a+b+c$的值。

解答：∵非负数和为0，各非负数均为0，∴$a-1=0$→$a=1$，$b+2=0$→$b=-2$，$c-3=0$→$c=3$，故$a+b+c=1-2+3=2$。###题型2：化简求值-例2：先化简，再求值：$(\sqrt{x}+\sqrt{y})²-(\sqrt{x}-\sqrt{y})²$，其中$x=3$，$y=2$。

解答：①

展开：$(x+2\sqrt{xy}+y)-(x-2\sqrt{xy}+y)=4\sqrt{xy}$；②

代入：$4\sqrt{3×2}=4\sqrt{6}$。###题型3：混合运算与分母有理化-例3：计算：$(2\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{3}+\sqrt{6})-\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

解答：①

平方差公式：$(2\sqrt{3})²-(\sqrt{6})²-(\sqrt{\frac{27}{3}}-\sqrt{\frac{12}{3}})$；②

化简：$(12-6)-(3-2)=6-1=5$。###题型4：与整式、分式结合-例4：已知$x=\sqrt{5}-1$，求代数式$x²+2x-3$的值。

解答：①

变形代数式：$x²+2x-3=(x+1)²-4$；②

代入$x+1=\sqrt{5}$：$(\sqrt{5})²-4=5-4=1$（整体代入，简化计算）。##幻灯片12：本章思想方法总结1.**数形结合思想**：二次根式的非负性可结合数轴、绝对值的几何意义理解；2.**转化思想**：将二次根式的加减转化为同类二次根式的合并，将除法转化为乘法，将复杂根式转化为最简根式；3.**整体思想**：在化简求值时，将代数式变形后整体代入（如例4中$(x+1)²$），避免复杂计算；4.**分类讨论思想**：在运用$\sqrt{a²}=|a|$时，需根据$a$的符号分类讨论结果；5.**类比思想**：类比同类项的合并方法学习同类二次根式的合并，类比整式运算学习二次根式混合运算。##幻灯片13：课堂练习（基础层）1.当$x$______时，二次根式$\sqrt{4-3x}$有意义；当$x$______时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-3}$有意义。（答案：$x≤\frac{4}{3}$；$x≥2$且$x≠3$）2.计算：

（1）$\sqrt{25×16}=$______；（答案：20）

（2）$\sqrt{18}-\sqrt性质1：

具有双重非负性：性质2：性质3：性质4：性质5：二、二次根式的性质≥≥a|a|-aa三、二次根式的乘法和除法1.先化简为最简二次根式；2.然后合并被开方数相同的二次根式.四、二次根式的加法和减法1.乘法法则：2.除法法则：五、二次根式的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.例1

使代数式有意义的

x的取值范围是

.x≥且

x≠3考点一二次根式有意义的条件【解析】分别求出使分式、二次根式有意义的

x的取值范围，再求出它们解集的公共部分.根据题意，有3-

x≠0，2x-

1≥0，解得

x≥且

x≠3.1.若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≥3B.x≤3C.x＞3D.x＜3A

2.若

则（）A.x≥3B.x≥0C.0≤x≤3D.x为一切实数A针对训练例2

若，求的值.

解：因为

所以

x－1=0，3x+y－1=0，解得

x=1，y=－2.

则【分析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知和均为0.考点二二次根式的性质初中阶段主要涉及三种非负式：≥