上海科技版（沪科版）初中数学八年级下册整册教案

教学反思教学目标教学反思1.理解二次根式的乘法法则.2.理解积的算术平方根的性质.3.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.教学重难点重点：理解二次根式的乘法法则与积的算术平教学过程问题1运用运载火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度(第一宇宙速度),才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：V₁²=gR,其中g是重力加速度.请用含g,R的代数式表示出第一宇宙速度v1.问题2飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v₂=√2v₁,请结合问题1用含g,R的代数式表示出第二宇宙速度v₂.【答案】(1)第一宇宙速度V₁=√gR.活动1(自学提纲，生成问题)阅读教材P6的内容，完成下面的练习.【解】(1)√4×√9=2×3=6,√0.25×100=√25=5.教学反思√0.25×100.思考：(学生交流，教学反思你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?【师生总结】即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.【教师活动】你能对这条性质进行证明吗?行者无疆思者无域窃者无德_【学生活动】小组交流，在老师的指导下，写出证明过程.【教师活动】若是三个或三个以上的二次根式相乘，该法则是否适合?【教师活动】利用二次根式的性质进行计算时，应注意什么问题?【学生活动】学生根据二次根式有意义的条件，进行小组总结.即利用二次根式的性质进行计算时，注意被开方数必须是非负数.【教师活动】根据等式的基本性质，二次根式的乘法法则如何写?【学生活动】可以写成√ab=√a·Vb.即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么?【学生活动】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数.【师生总结】通过上面的计算可得出下面的结论：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.例题讲解【例1】计算：【教师活动】指导学生第三小题使用先使用乘法结合律，再运用乘法法则进行计算.【学生活动】利用二次根式的乘法法则进行计算，总结规律.归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘.【教师活动】(引导学生思考)要利用二次根式的乘法法则进行计算. 【例2】计算：(1)2√3×3√7;(2)行者无疆思者无域_窃者无德【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术【学生活动】根据老师的指导独立完成计算过程次根式乘法的计算方法.【师生总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即mVanvb=(mn)Vab(a≥0,b≥0).跟踪训练2.计算：【例3】化简：【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么?【学生活动】根据积的算术平方根等于算术平方根的积进行运算，交流在做题中的注意事项，对此类题的解题方法进行总结.【题后总结】(学生总结，老师点评)运用性质进行二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数)”,用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外，从而对二次根式进行化简跟踪训练3.化简：解)(5)14-×4(-62-1692-√134×569二1413-159=12【总结】1.把被开方数分解因式(或因数).的积.出来，将二次根式化简.课堂练习2.下列运算正确的是()C.√(-4)×(-16)=√-4×√-16=行者无疆_思者无域窃者无德_第16章二次根式16.2二次根式的运算第2课时二次根式的除法与商的算术平方根1.理解二次根式的除法法则；理解商的算术平方根的性质.2.会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算.3.理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简.4.了解比较两个不含字母的二次根式的大小.重点：理解二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质，理解最简二次根式.难点：会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算.复习巩固两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.2.积的算术平方根积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.3.二次根式的性质a≥0,即二次根式的被开方数非负；√a≥0,即二次根式的值非负.(2)Ja²的性质：活动1阅读教材P7的内容，完成下面的练习.计算：通过上面的计算，你有什么发现?【解】发现：【教师活动】提问：你能用字母表示你所发现的规律吗?【学生活动】计算每个式子的结果，进行比较试着用字母表示规律.【教师活动】(引导学生思考)类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算；巡视学生做题情况，及时纠正错误.【学生活动】在老师的指导下，利用二次根式的除法法则进行计算.跟踪训练1.计算：【探索思路】(引导学生思考)利用二次根式的除法运算意什么?解：(1)【题后总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数.【例2】化简：③【解】(1)(2)方法1:方法2:(3)方法1:方法2:【教师活动】(引发学生思考)利用商的算术平方根的性质进行计算，分别用两种不同的方法计算.【学生活动】小组内同学分两部分，分别用不同的方法，计算结束后交流做题结果，总结做题过程中注意的问题【师生总结】(学生总结，老师点评)商的平方根是二次根式除法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数.跟踪训练2.化简：行者无疆_思者无域窃者无德_【学生活动】化简二次根式，交流化简的结果发现每一小题化简后被开方数分别相同.探究新知探究点一同类二次根式活动2(合作探究，归纳总结)根据活动1可得(1)中各式化简后得到2√2,3√2,【教师活动】观察上述(1)(2)的结果，总结同类二次根式的定义.探究点二二次根式的加减活动3阅读教材P10的内容，完成下面的练习.(学生互学)【教师活动】在运算过程中，每一个二次根式先化简成最简二次根式，仿照实数的运算性质进行运算.【学生活动】仿照实数的合并同类项进行运算.【师生总结】二次根式加减法运算步骤：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.所以【教师活动】指出”+/3m-2n的指数和被开方数分别是什么?若两个二次根式能够合并，则这两个二次根式是同类二次根式.【学生活动】根据同类二次根式的定义列方程组求解【师生总结】确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2,列关于待定字母的方程求解即可.跟踪训练1.如果最简二次根式√3a-8与√17-2a是同类二次根式，那么要使式子有意义，求x的取值范围.【探索思路】(引发学生思考)要利用同类二次根式的定义进行计算.解：由题意，得3a-8=17-2a,2.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的有哪些?解：与√2是同类二次根式的有3√2,√8,-√2.行者无疆思者无域_窃者无德4.下列二次根式，不能与√12合并的是(填序号).5.已知一个长方形的长为√48,宽为√12,则其周长为6.三角形的三边长分别为√20,√40,√45,则这个三角形的周长为.7.计算：(1)5√2+√18=;参考答案课堂小结(学生总结，老师点评)合并布置作业教材第12页练习第3,4题.第3课时二次根式的加减式称为同类二次根式.一般地，二次根式加减时，先把各个二次根类二次根式合并.行者无疆_思者无域窃者无德_第16章二次根式1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.重点：掌握二次根式的混合运算的运算法则.难点：会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.复习巩固(2)如果被开方数中含有分母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分母“配”成完全平方，再将它们“开方”出来.(3)化简的关键是把被开方数中的完全平方因数(或因式)开出来.根式称为同类二次根式.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最同的二次根式进行合并.导入新课问题1单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?问题2多项式与单项式的除法法则是什么?讲授新知探究点二次根式的混合运算运算顺序、运算法则仍然适用.例题讲解【解】(1)(√2+3)(√2-5)【教师活动】(引发学生思考)(1)利用多项式乘以多项式计算；(2)利用平方差公式进行计算；(3)利用完全平方公式计算，再合并同类二次根式.【学生活动】在老师的指导下，类比多项式的乘法进行计算，小组内交流计算结果，分析平方差公式和完全平方公式的应用，总结做题技巧，对于出现错误的同学，小组长及时给予纠正.【师生总结】计算二次根式的混合运算时，完全平方公式与平方差公式对于二次根式的运算同样适用.【探索思路】(引发学生思考)利用完全平方公式与平方差公式进行计算，再合并同类二次根式.【例2】计算：(1)(√8+√3)×√6;【教师活动】(引发学生思考)(1)类比单项式乘多项式法则计算；(2)类比多项式除以单项式法则计算；(3)先算乘除，再算加减.【学生活动】先分析题目中存在的运算，确定好运算的顺序，自己独立完成后，在小组内交流，纠正.【师生总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的混合运算时，单项式乘多项式，多项式除以单项式法则对于二次根式的运算同样适用.行者无疆思者无域窃者无德意识.教学重难点导入新课设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为(5-2x)m,长表示为(8-2x)m,则方程列为(8-2x)(5-2x)=18,整理得2x²-13x+11=0【变式】桌上有一张矩形纸片，长25cm,宽15cm,在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm²,那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米?则无盖方盒的底面的长为(25-2x)cm,宽为(15-2x)cm.根据题意，可列方程为(25-2x)(15-2x)=300,问题情境2如图，一个长为B行者无疆思者无域_窃者无德_少个队参加比赛?【师生活动】教师同时出示情境2,3问题，引导学生思考、交流后，学生代探究新知(3)x²+12x-15=0;(4)x²-x-56=0.观察四个方程有什么共同特点?类比一元一次方程，之处?【师生活动】学生先独立思考，然后小组内讨论、交流，汇报.引导学生得【归纳总结】(1)都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数);(2)只含一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.【教师追问1】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义?【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.次数是2的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a【教师追问2】为什么要求二次项系数a≠0?b和c能不能是0?【师生活动】学生独立思考并回答，教师进行强调.新知应用【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程?(1)x-2x²+√5=0;(2)4y²-3y-1=0;【解】(1)(2)(3)(4)(7)(8)是一元二次方程.【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件?【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.使方程等号右边为0,最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.【例2】a为何值时，下列方程为一元二次方程?(1)ax²-x=2x²;(2)(a-1)xla+¹-2x-7=0.生共同总结解决这一类问题的方法.行者无疆思者无域窃者无德_即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a|+1=2,且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.【例3】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.【师生活动】教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答.【解】去括号，得3x²-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x²-8x-10=0其中二次项是3x²,系数是3;一次项是-8x,系数是-8;常数项是-10.【教师追问】解决此类问题需要注意什么?【师生活动】学生独立思考总结，并回答.【归纳总结】1.一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；2.系数和项均包含前面的符号.【例4】已知a是方程x²+2x-2=0的一个实数根，求3a²+6a+2019的值.【师生活动】先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考.【教师追问1】什么是一元一次方程的解?类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解?【教师追问2】下面哪些数是方程x²-4x+3=0的解?【师生活动】学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结.【解】由题意得=2025.【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到教学反思等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值.课堂练习1.判断下列是否为一元二次方程?(5)(m²+5)x²+7x-1=0.2.方程(2a-4)x²-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：(12x²=3x-1;(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.4.已知关于x的一元二次方程x²+ax+a=0的一个根是3,求a的值.行者无疆思者无域_窃者无德5.若关于x的一元二次方程(m+2)x²+5x+m²-4=0有一个根为0,求m的值.6.(只列方程)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242,这三个数分别是多少?参考答案1.解：(1)(5)是一元二次方程；(2)(3)(4)不是一元二次方程.2.解若(2a-4)x²-2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不若(2a-4)x²-2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次即当a=2,b≠0时，(2a-4)x²-2bx+a=0是一元一次方程.3.解：(1)2x²=3x-1化为一般形式为2x²-3x+1=0,∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,-3,1.(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为-x²+2x-4=0,∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1,2,-4.4.解：把x=3代入方程x²+ax+a=0,得3²+3a+a=0,5.解：将x=0代入方程m²-4=0,解得m=±2.综上所述，m=2.6.解设第一个数为x,则另两个数分别为x+1,x+2,依题意得方程x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2整理得x²+2x-80=0.先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括.m一元二次方程的根→使方程左右两边相等的未知数的值布置作业教材第21页练习17.1一元二次方程1.都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数);2.只含一个未知数；3.未知数的最高次数是2.二、一般形式三、一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.第17章一元二次方程教学反思教学目标教学反思1.会利用直接开平方法解形如x²=p(p≥0)的方程.2.初步了解形如(x+n)²=p(p≥0)方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.教学重难点重点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.难点：运用直接开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p(p≥0)的方程.教学过程行者无疆思者无域_窃者无德导入新课度移动，如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm²?表汇报展示，教师做出点评.在求解方程时学生存在困难，教师可提出如下问题.【教师追问】什么是平方根?【师生活动】学生根据教师提出的问题独立思考后进行回答.根据平方根的意义教师引导学生求出方程的解.【解】设xs后△PBQ的面积等于8cm²,则=8.根据平方根的意义，得x=±2√2,即x₁=2√2,解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x²=4;(2)x²=0;(3)x²【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程.【解】(1)根据平方根的意义，得x₁=2,x₂=-2.(2)根据平方根的意义，得x₁=x₂=0.(3)根据平方根的意义，得x²=-1.【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗?(12x²-8=0;(2)3x²=-9.【教师追问2】上述方程有什么共同点?你能归纳一下这类方程的解的情况吗?【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式x²=p,并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书.【归纳总结】一般地，对于方程x²=p,(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程x²=p有两个不等的实(3)当p<0时，因为任何实数x,都有x²≥0,所以方程x²=p实数根.新知应用行者无疆思者无域_窃者无德【例1】利用直接开平方法解下列方程：(1)x²=25;(2)x²-900=0.【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价.【解】(1)x²=25,(2)移项，得x²=900,直接开平方，得x=±5,直接开平方，得x=±30,X₁=5,x₂=-5.x₁=30,x₂=-30.【例2】对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)²=25?【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与x²=p没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程(x+2)²=25两边开平方，将它转化为两个一元一次方程x+2=5,或x+2=-5,可得x₁=3,x₂=-7.【教师追问】结合例1、例2思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤.【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书.【归纳总结】具备x²=p或者(mx+n)²=p(p≥0)形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.直接开平方法解一元二次方程的一般步骤先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解.(1)(x+2)²=7;(2)(2x+3)²=16;(3)2(1-3x)²-18=0.【师生活动】先让学生独立学习，选三名学生板演解方程过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题.【解】(1)∵x+2是7的平方根，(2)∵2x+3是16的平方根，X₁=-2-√7,x₂=-2+√7.(3)移项，得2(1-3x)²=18,两边都除以2,得(1-3x)²=9,【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题?【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评.【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)形式的方程，可得方程的根为x=±√p或mx+n=±√p.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程行者无疆思者无域_窃者无德_才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.课堂练习1.下列方程可用直接开平方法求解的是()A.x²=4B.4x²-4x-3=02.对形如(x+m)²=n的方程，下列说法正确的是()A.直接开平方得x=-m±√nB.直接开平方得x=-n±√mC.当n≥0时，直接开平方得x=-m±√nD.当n≥0时，直接开平方得x=-n±√m3.若(a²+b²-2)²=25,则a²+b²=4.关于x的一元二次方程x²+a=0没有实数根，则实数a的取值范围移项，得4(2x-1)²=25(x+1)².①小明的解答有无错误?若有，错在第_..步，原因是,写出正确的解答过程.教学反思参考答案直接开平方，得2(2x-1)=±5(x+1),所以x₁=-7,课堂小结学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架.概念→利用平方根的定义求方程的方法直接开平方法布置作业完成教材第23页练习1.一般地，对于方程x²=p,(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程x²=p有两个不等行者无疆思者无域_窃者无德的实数根x₁=-√P,x₂=√p(2)当p=0时，方程x²=p有两个相等的实数根x₁=x₂=(3)当p<0时，因为任何实数x,都有x²≥0,实数根.接开平方法只适用于能转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形式的方程，可得方程的根为x=±Vp或mx+n=±Vp第17章一元二次方程1.了解配方的概念.2.理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.4.通过配方法解方程进一步体会类比、转化、降次的数学思想方法.5.通过运用配方法解一元二次方程策略研究，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养.重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.导入新课(1)3x²-1=5;(2)(x-1)²-9=0;(3)x²+8x+16=9.【师生活动】教师设疑，先让学生尝试解决，前两个学生可利用直接开平问题进入新知探究.【解】(1)移项，得3x²=6,(2)移项，得(x-1)²=9,系数化为1,得x²=2,开平方，得x-1=±3,X₁=√2,x₂=-√2.x₁=4,x₂=-2.探究新知问题1你还记得吗?填一填下列完全平方公式.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.行者无疆思者无域窃者无德【师生活动】教师出示问题，学生先独立思考、合作学习，然后教师组织交流，进行汇报.如果学生对3,4小题有困难，教师可引导学生复习完全平方公式的特点：首平方，尾平方，积的2倍放中央.【教师追问】上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系?对于形【师生活动】学生独立思考后，小组合作探究，学生代表口答，师生共同归纳总结，教师板书.【归纳总结】对于二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.对于形如x²+ax的式子配成完全平方式应加上一次项系数一半的平方，即先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方的求解方法，叫做配方法.【教师追问】仿照上面的例题你能自己举一个例子吗?【师生活动】学生举例，学生点评，教师点评.问题2怎样解方程x²+6x+4=0?【师生活动】先让学生观察、尝试.如果学生有困难，教师可以通过如下问题引导学生思考.【教师追问1】我们已经会解哪一类一元二次方程?能将这个方程转化为会解的形式吗?【教师追问2】怎样把方程变成(x+n)²=p(p≥0)的形式?【师生活动】学生思考教师提出的问题，并根据配方的方法尝试把方程左边配成完全平方的形式，二次项系数为1,应该是加上一次项系数一半的平方，同学在练习本上进行解答，教师选取部分学生解答情况进行展示，师生共同规范步骤.配方【教师追问3】结合上述解答过程，你能说出解一元二次方程的具体步骤是什么吗?要注意什么问题?【师生活动】学生独立思考、讨论、总结，根据上面例题，教师引导学生得出配方法的具体步骤：【归纳总结】【教师追问3】结合上述解答过程，你能说出解一元二次方程的具体步骤是什么吗?要注意什么问题?【师生活动】学生独立思考、讨论、总结，根据上面例题，教师引导学生得出配方法的具体步骤：【归纳总结】一般步骤例：2x²+1=3x一移移项边，含未知数的项二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数左、右两边同时加的平方四开一元一次方程要注意保证变形的过程是恒等变形，配方时必须把二次项系数化为1.新知应用【例1】(1)x²+4x+4=0;(2)2x²-x-1=0;(3)3x²-6x+4=0.【师生活动】教师出示例题，学生独立完成，请学生板书，师生一块规范格式完成例题.这里要强调根据实际意义检验方程的根.【教师追问】通过解以上方程，你能归纳配方法解方程的思路吗?【师生活动】先有学生自己归纳，通过补充完善，得出配方法解方程的一般思路，教师板书.【解】(1)x²+4x+4=0.移项，得x²+4x=-4.配方，得x²+4x+2²=-4+22,(2)2x²-x-1=0.移项，得2x²-x=1.二次项系数化为1,得行者无疆思者无域_窃者无德(3)3x²-6x+4=0.移项，得3x²-6x=-4,二次项系数化为1,得.故无解.【归纳总结】把方程化为(x+n)²=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解.可化为(x+n)²=p的形式的一元二次方程的根.时，方程(x+n)²=p时，方程(x+n)²=p有两个相等的实数根：x₁=x₂=-n;无实数根.【例2】试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k²-4k+5的值必定大于零.【师生活动】学生先独立思考，教师组织进行交流，学生发表意见，教师引导学生要想确定代数式的值大于零应该化成完全平方的形式，所以先进行配方，根据配方的方法，二次项系数为1,应该加上一次项系数一半的平方，保持代数式不变性，再减去加的这个数，最后师生总结解决此类问题的方法.所以(k-1)²+1≥1,所以k²-4k+5的值必定大于零.类别求最值或证明恒正(或负)a(x+m)²+n的形式后，(x+m)²≥0,n为常数，当a>0时，可知其最小值；当a<0时，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知x²-2mx+16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16,即m²=16,m=±4利用配方法构成非负数和的则a²+(b-2)²=0,课堂练习1.将二次三项式x²-4x+1配方后得()A.(x-2)²+3B.(x-2)²-3行者无疆思者无域窃者无德2.已知x²-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的A.x²-8x+(-4)²=31B.x²-8x+(-4)3.若mx²+2(3-2m)x+3m-2=0的左边是一个关于x的完全平方式，则A.1(4)3x²+6x-9=0.出发分别沿ABC方向向点C匀速移动它们的速度都是1m/s问几后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?6.应用配方法求最值.(2)-3x²+12x-16的最大值.参考答案此方程无解.X₁=6,x₂=-2.X₁=-3,x₂=1.5.解：设xs即(x-7)²=25,解得x₁=12,x₂=2.但x₁=12不合题意，舍去.行者无疆思者无域_窃者无德所以当x=1时，有最小值为3.课堂小结定义→通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法方法四直接开平方五解两个一元一次方程应用→求代数式的最值或证明的形式.提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x²+px+q=0布置作业的形式.完成教材第25页练习1.配方法步骤：一移、二化、三配、四开、五解.当p<0时，方程无实数根.第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法行者无疆_思者无域窃者无德_1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练.2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.3.在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性.重点：会用公式法解简单系数的一元二次方程.难点：求根公式的过程.导入新课(1)3x²+6x-5=0;(2)4x²-x-9=0.【师生活动】学生利用上一节课学习的配方法独立完成，在练习本上写出解答过程，教师点评，师生共同复习配方法解一元二次方程的步骤.一般步骤一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1方四开程ax²+bx+c=0(a≠0).进行板演.如果学生有困难，教师可提出以下问题.【教师追问1】利用配方法解一元二次方程的步骤分哪几步?移项，得ax²+bx=-C,二次项系数化为1,得一元二次方程ax²+bx+c=0的根由方程的系数a,b,c确定，因此解一元时，将a,b,c代就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.新知应用行者无疆_思者无域窃者无德_(4)x²+(1+2√3)x+√3-3=0.6.已知关于x的方程x²+ax+a-2=0.该方程的另一个根.参考答案5.解：(1)移项，得0.3y²+y—0.8=0,a=0.3,b=1,c=—0.8,(2)原方程可化为6x²—13x+6=0,a=6,b=-13,c=6,△=b²—4ac=(-13)²—4×6×6=(3)原方程可化为x²+2x=0,a=1,b=2,c=0,6.解：∵1为原方程的一个根，解得的值为,方程的另一根为课堂小结教师请学生回顾本节课所学主要内容，师生共同归纳总结.布置作业完成教材第28页练习利用公式法解一元二次方程的步骤1化(一般形式)→2定(系数值)→3求(b²-4ac的值)→4代(求根公式计算).行者无疆思者无域_窃者无德第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.3.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体法一因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.导入新课1.什么是因式分解?2.因式分解有哪些方法?【师生活动】学生独立思考，并进行口答.教师点拨总结.【解】1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.2.提公因式法、公式法(完全平方公式、平方差公式)、十字相乘法.3.x₁=-3,x₂=5.探究新知把方程两边同除以x,得x-7=0所以x=7.怎么少了一个根?小亮的解法对吗?为什么?不对的话怎样解?【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题.【教师追问1】等式的基本性质2怎么规定的?【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，小亮把方程两边同除以x,而x有可能等于零，所以小亮的解法不对.【教师追问2】能不能用我们学过的方法解这个一元二次方程?教师进行评价，师生共同归纳总结.【归纳总结】不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式，因为含未知数的整式有可能为0.【教师追问3】除了用公式法、配方法，有没有更为简单的方法?【教师追问4】我们学习因式分解的方法有哪几种?号的左边可通过提公因式法进行因式分解x(x-7),即x(x-7)=0,所以x=0或x-7=0,将一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程得到一元二次方程的根.这种解方程的方法叫因式分解法.教师板书.【归纳总结】通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.【教师追问5】根据例题总结归纳利用因式分解法解方程的步骤.【师生活动】学生小组内相互交流总结，请一位学生发言，教师进一步概括归纳，方便记忆，把步骤口诀化.【归纳总结】因式分解法的基本步骤：1.移项：将方程的右边化为0(右化零).2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积(左分解).3.转化：方程转化为两个一元一次方程(两因式).4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解(各求解).新知应用【例1】用因式分解法解下列方程：(1)3x²-6x=-3;(24x²-121=0;(3)3(x-2)²-(x-2)=0.【解】(13x²-6x=-3.化为一般式为x²—2x+1=0.因式分解，得(x—1)(x—1)=0.从而x-1=0,所以x₁=x₂=1.(2)4x²-121=0.因式分解，得(2x+11)(2x-11)=0.(3)3(x-2)²-(x-2)=0.把方程的左边进行因式分解，得(x-2)(5-x)=0,【师生活动】学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用，如下：【归纳总结】几种常见的用因式分解法求解的方程：(1)形如x²+bx=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或x+b=(2)形如x²-a²=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(3)形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式(4)形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将其左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x₁=-a,【例2】用适当的方法解下列方程：(1)2(x-1)²-18=0;(2)x²+4x-1=0;(3)9(x+(4)9x²-12x-1=0.【师生活动】学生独立思考，尝试在练习本上写出解答过程.教师巡视指导，学生如果有困难，教师通过问题进行引导.【教师追问2】如何选择合适简单的方法解方程?【师生活动】学生根据教师的提示，进一步思考，小组内进行交流，学生代形式的才能用，因式分解法需要具备上述几种情况才能用，配方法和公式行者无疆思者无域_窃者无德_法对于任何一个一元二次方程都适用，具体用哪种方法简便需根据方程的特点选择.【解】(1)2(x-1)²-18=0.分析：出现了(x-1)²,并且一次项为0,考虑用直接开平方法.整理，得(x-1)²=9.开平方，得x-1=±3,(2)x²+4x-1=0.分析：出现了x²+4x,接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.原方程变形为x²+4x=1.配方，得x²+4x+2²=1+2²,即(x+2)分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.整理，得[3(x+1)]2-(2x-5)²=0.因式分解，得[3(x+1)+(2x-5)][3(x(4)9x²-12x-1=0.分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.【归纳总结】解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax²+c=0),应选用直2.若常数项为0(ax²+bx=0),应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax²+bx+c=0),先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.课堂练习1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是()A.(x-2)(x+5)=2B.(x-2)²=x²-4C.x²+5x-2=0D.12(2-x)²=32.一元二次方程x(x-3)+3-x=0的根是()3.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x²-4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是()4.用因式分解法解下列方程：(1)2(x-3)²=x²-9;(2)(3x+2)²-4x²=0;(3)5x(2x-3)=10x-15.5.已知三角形的两边长分别为3和7,第三边长是方程x(x-7)-10(x-7)行者无疆思者无域窃者无德=0的一个根，求这个三角形的周长.参考答案4.解：(1)2(x-3)²=x²-9,(2)(3x+2)²-4x²=0,2(x-3)²=(x+3)(x-3),(3x+2-2x)(3x+2(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,x+2=0或5x+2=0,解得x=3,x₂=9.解得x₁=-2,(5x-5)(2x-3)=0,解得x₁=1,5.解：解方程x(x-7)-10(x-7)=0,得x₁=7,x2=10,∴x=10不合题意，舍去.x=7.∴这个三角形的周长为3+7+7=17.布置作业完成教材30页练习第4课时因式分解法叫做因式分解法2.步骤：右化零→左分解→两因式→各求解.3.几种常见的用因式分解法求解的方程第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式1.会利用b²-4ac来判断一元二次方程根情况.2.会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.样性.行者无疆_思者无域窃者无德_1.理解根与系数关系的推导过程.2.掌握一元二次方程的根和系数的关系.3.体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路.通过公式的引入，培养教学重难点重点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关难点：理解一元二次方程的根与系数的关系.教学过程导入新课复习导入2.如何用判别式b²-4ac来判断一元二次方程根的情况?【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并口答.【教师追问】方程的两根x₁和x₂与系数a,b,c还有其他关系吗?学生带着问题进入新课学习.探究新知一元二次方程关系【师生活动】教师出示问题，学生先独立解方程，教师引导学生小组内讨论两根之间存在的关系.学生代表发表意见.猜想二次系数为1时，根与系数之间的关系.问题1若一元二次方程的两根为x₁,x₂,则有x-x₁=0,且x-x₂=0,方程(x-x₁)(x-x₂)=0(x₁,X₂为已知数)的两根是什么?将方程化为x²+px+q=0的形式，你能看出x₁,X2与p,q之间的关系吗?【师生活动】通过将(x-x₁)(x-x₂)=0的左边展开化为一般形式，得到方程x²-(x₁+x₂)x+x,x₂=0.这个方程的二次项系数为1,一次项系数为p=-(X₁+X₂),常数项q=x₁·X₂,学生独立观察并讨论后，发现两根猜想、验证一元二次方程根与系数的关系.教学反思那么,你可以发现什么结论?教学反思【师生活动】学生思考后，教师提出如下问题.【教师追问】如何证明这两者之间的关系呢?(利用一元二次方程的一般形式和求根公式).【师生活动】师生共同完成证明过程.行者无疆_思者无域窃者无德_【归纳总结】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x₁,X₂,那么注意：满足上述关系的前提是b²-4ac≥0.新知应用【例1】下列方程的两根和与两根积各是多少?(3)2x²+3x=0;(4)3x²=1.【师生活动】学生在解决问题时可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，也可能出现根与系数关系记忆不准确的情况，在(284)中可能没有整理成一般形式教师要及时引导学生进行订正.师生一块总结注意事【归纳总结】注意：在使用根与系数的关系时：(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用,“一”不要漏写.【例2】不解方程，求方程2x²+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.【教师追问1】回顾多项式乘法的完全平方公式.【教师追问2】两根的平方和以及倒数和与一元二次方程的根与系数之间存在什么关系?【师生活动】学生根据教师的追问进一步思考，由根与系数的关系可知：行者无疆思者无域窃者无德【例3】已知方程5x²+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.【师生活动】教师出示问题，学生独立思考，尝试解答，教师进行引导点拨.求出k的值和一元二次方程，然后解方程求得另一个根；另一种方法是利用根与系数之间的关系.最后师生一块归纳总结.设方程5x²+kx-6=0的两个根分别所以方程的另一个根是【归纳总结】求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值.课堂练习1.若x₁,X₂是一元二次方程x²+10x+16=0的两个根，则x₁+x₂的值是A.-10B.10C.-16A.2B.-2C.4则m的值为()5.已知一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=(2)若x₁,X₂满足x²+x²=16+x₁X₂,求实数k的值.参考答案行者无疆思者无域_窃者无德6.解(1)∵关于x的方程x²+(2k-1)x+k²-1=0有两个实数根x₁,X₂,∴△=(2k-1)²-4(k²-1)=-4k+5≥0.(2)∵关于x的方程x²+(2k-1)x+k²-1=0有两个实数根x₁,X₂,解得k=-2或k=6(不符合题意，舍去),∴实数k的值为-2.课堂小结布置作业完成教材39页练习17.4一元二次方程根与系数的关系行者无疆思者无域_窃者无德2.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率及销售问题的一个有效的数学模型.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.3.培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.导入新课问题情境青山村种得水稻每公顷产量的年平均增长率为x.第一年平均每公顷产8000kg;第二年种的水稻平均每公顷的产量为_;【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，完成教师出示的问题并回答.第二年种的水稻平均每公顷的产量为800(1+x)kg,第三年种的水稻平均每公顷的产量为800(1+x)²kg.探究新知问题1前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，求甲种药品成本的年平均下降率.【师生活动】学生先独立思考后，小组内进行交流.教师巡视指导，若发现学生存在困难，教师可追问.行者无疆思者无域_窃者无德【教师追问】第(2)问还有没有别的方法?【师生活动】学生小组内交流，进行解答.从题目不难看出从1月份到3月份经过了3次下降，根据题意和总结的规律不难得出第4个月生成成本为400(1-5%³.【例2】某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.【师生活动】教师展示问题，学生先独立思考，然后同桌师在巡视过程中，如果发现学生存在困难，可追问.【教师追问1】根据题意3月份的营业额是多少?【教师追问2】从3月份到5月份经过几次增长?【师生活动】根据追问，学生进一步思考，进行解答，发表意见：3月份的营业额为400×(1+10%),从3月份到5月份经过两次增长.【解】设从3月份到5月份每月平均增长率为x,可列方程400(1+10%(1+x)²=633.6.所以从3月份到5月份每月平均增长率为20%【例3】新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元.如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元，每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.【解】设每台冰箱降价x元.2900-150=2750(元).所以每台冰箱应定价为2750元.(1)利润=售价一.;(3)总利润=×销量.课堂练习1.一种药品原价为每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)²=25D.25(2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列关系式为()∴平均每次下调的百分率为20%.(2)小华选择方案一购买更优惠.理由如下：方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400(元);方案二所需费用为3.2×5000-200×5=15000(元).∴小华选择方案一购买更优惠.课堂小结教学反思教学反思布置作业完成课本44页练习第3题，45页习题17.5第4题注意：下降率不能超过1.第1课时平均变化率及销售问题销售率增长率平均变化率问题降低率60006000(1-y)第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用界的一个有效的数学模型.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.3.培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.行者无疆思者无域_窃者无德故上、下边衬的宽度为左、右边衬的宽度为7(cm).教师板书过程.教师追问4:如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题?【师生活动】学生先独立思考，同桌之间合作交流，然后在练习本上书写证明过程，教师用投影仪等设备进行展示.【例1】如图，某小区在一个长为40m,宽为26m的长方形草坪ABCD上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144m²,求甬路的宽度.【师生活动】教师出示问题，学生先尝试自己解决，并写出解答过程，然后小组内进行交流.找1~2位学生对题目进行分析，用长方形的面积减去三条路的面积加上重叠部分宽为x的两个小正方形的面积等于六块草坪的面积.若两位同学的方法一样，教师可引导学生寻求其他解题方法.【教师追问1】还有没有其他的解题思路?【师生活动】教师提出问题后，学生进行交流，分析，将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为xm明确解题思路，学生再进一步改正自己存在的问题.【教师追问2】比较两种解题方法，哪一种更为简单?总结解决此类应用题的方法?【师生活动】学生进行思考总结，交流后，请一位同学进行总结，教师补充板书.【归纳总结】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程更容易些.【例2】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m²时，求AB的长.行者无疆思者无域_窃者无德点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动点Q从点B开始沿BC边向参考答案5.解：设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.解得x₁=-10(不合题意，舍去),X₂=14.所以2x=2×14=28.答.当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m².6.解：设道路宽为x米，由平移得到图(2),则草坪宽为(20-x)x)米.列方程，得(20-x)(32-x)=540.解得x₁=50(不合题意，舍去),x₂=2.答：道路宽为2米.7.解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4cm².答：1s后，△PBQ的面积等于4cm².答：2s后，PQ的长度等于5cm.(3)设a秒后，△PBQ的面积等于7cm².此方程无解.∴△PBQ的面积不能等于7cm².课堂小结第二轮传染后患流感的人数：1+x+x(x+1).A第第第第第第第第第第第第第第第第第第第第【解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得1+x+x(x+1)=121,解方程，得x₁=10,x₂=-12(不合题意，舍去).答：平均一个人传染了10个人.注意：列一元二次方程解应用题要注意检验方程的根是否符合题意，要把不符合题意的根舍去思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?教学反思方法一：教学反思已知两轮传染后患流感的人数为121.则第三轮新增的患流感的人数为121×10.所以三轮传染后患流感的人数为121+121×10=1331.第一轮传染后患流感的人数：1+x.第二轮传染后患流感的人数：1+x+x(x+1)=(1+x)².第三轮传染后患流感的人数：1+x+x(x+1)+x[1+x+x(x+1)]=(1+x)³.答案三轮传染后患流感的人数是121(1+x)=121(1+10)=1331或(1+x)³=(1+10)³=1331.知识讲解1.传播问题与一元二次方程【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支.【解】设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1+x+x²=111.解得x₁=10,x₂=-11(不合题意，舍去).答：每个支干长出10个小分支.2.利用一元二次方程解决数字问题【例2】有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换位置后，得到新的两位数，该数比这两个数字的积大38,求这个两位数.分析：这是一个数字排列问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字与十位数字均可用同一个未知数表示，这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表示出来，然后根据后一个等量关系可列方程求解.【解】设原两位数的个位数字为x,则十位数字为14—x,两数字之积为x(14—x),两个数字交换位置后的新两位数为10x+(14—x).根据题意，得10x+(14-x)—x(14-x)=38.解得x₁=8,x₂=-3.因为个位上的数字不可能是负数，所以x=-3应舍去.行者无疆思者无域_窃者无德所以这个两位数是68.方法总结：(1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解.(2)注意数字只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个，且最高数位上的数字不能为0,而若所求得的为分数根、负数根，则不符合实际意义，必须舍去.【例3】两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.【解】设较小的数为x,根据题意，得x(x+4)=45.整理得x²+4x-45=0.解得x₁=5,x₂=-9.所以x+4=5+4=9或x+4=-9+4=-5.答：这两个数为5,9或-9,-5.练一练【解】设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x-1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为根据题意，可列出方程整理，得x²-x-56=0.解得x₁=8,x₂=-7(不合题意，舍去).答：应邀请8支球队参赛.2.一个两位数，它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.【解】设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为x-3,由题意，得x²=10(x—3)+x,解得x₁=6,x₂=5.答：这个两位数是36或25.课堂练习1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是()A.1+x²=81B.(1+x)²=81C.1+x+x²=81D.1+x+(1+x)²=812.一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共72张，此小组人数为()A.73.若两个连续整数的积是56,则它们的和是行者无疆思者无域_窃者无德4.一个两位数，个位数字比十位数字少1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这个两位数是5.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?参考答案解得x₁=12,x₂=-11(不合题意，舍去).答：这次会议到会的有12人.第一轮传染后的量=传染前的量×(1+传染速度)传染问题→{第二轮传染后的量=第一轮传染后的量×(1+传染速度)=传染前的量×(1+传染速度)²握手问题握手问题→数要除以2传播问题→送照片问题→甲送乙照片与乙送甲照片是两张照片，故总数不要除以2两位数=十位数字×10+个位数字数字问题→三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位布置作业教材第44页练习第1题，第45页习题17.5第2题.第3课时传播问题第第第第第第第第第第第第第第第第第第第第个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个第18章勾股定理问题2用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示?由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同?【教师活动】提出上述两个问题，巡视学生计算情况.【学生活动】学生先自己借助网格计算，小组合作交流结论.【师生互动总结】三角形的三边长a,b,c的平方问题3对于课本中的图18-1(1)(2)中的直角三角形，是否也满足这样的关系?【教师活动】观察学生活动并指导，让学生充分发表自己的见解，展示他们的思维过程，教师及时点拨，同时借助多媒体动态展示.【学生活动】在方格纸上把直角三角形的a²,b²,c²分别计算出了，验证a²+b²=c²是否成立.设计意图：此环节让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，发展学生的推理能力.问题4以上直角三角形的边长都是整数的情况，对于边长是小数的情况是否也成立?(例如两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度)【学生活动】学生动手在网格纸上画直角三角形，然后测量斜边的长度，进行计算.【教师活动】进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形的三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方，从而发现了勾股定理.(学生总结，教师点评)定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理.如果直角三角形的两直角边用a,b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a²+b²=c2.巩固练习教学反思下列说法中正确的是()教学反思B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方行者无疆思者无域_窃者无德D.在Rt△ABC中，∠B=90°,则a²+b²=c²典型例题【例1】如图，已知在Rt△ABC中，两直角边AC=5,BC=12,求斜边上的高CD的长.【教师活动】分析题目所给的条件，引导学生分析做题的思路，即根据CD是△ABC边上的高，要求CD的长，已知AB,BC的长，如果能求出三角形【学生活动】根据老师的分析，先自己写出证明过程，再小组合作交流，总结做题的方法.【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与12,求△ABC的周长.△ABC外两种情形；巡视学生做题，及时纠正学生做题过程中出现的错误.【学生活动】先小组交流、讨论，根据题意画出图形，写出证明过程.【解】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ACD中，由勾股定理，得∴△ABC的周长为25+20+15=60.当高AD在△ABC外部时，如图2.∴△ABC的周长为7+20+15=42.综上所述，△ABC的周长为42或60.行者无疆_思者无域窃者无德_【交流总结】题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解课堂练习1.某直角三角形的三边长分别为3,5,x,则符合条件的x的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.等腰三角形一腰长为5,这一腰上的高为3,则这个等腰三角形底边BB(2)求△ABC的面积参考答案2.C解析：分两种情况：(1)顶角是钝角时，