沪科版（2024）七年级下册数学第8章 整式乘法与因式分解 知识要点梳理

沪科版(2024)七年级下册数学第8章整式乘法与因式分解知识要点梳理一整式的乘法1.同底数幂的乘法一般有：am·an=am+n(m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相(1)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如am·an·aP=am+n+p(m,n,p都是正整数).(2)在今后的计算中注意公式的逆用：am+n=aman(3)幂的底数a可以是单项式，也可以是多项式，如a·a²=a¹+2=(2)xn·xn+1.xn-1·x;(2)原式=xn+n+1+n-1+1=x³n+1;(3)方法一：原式=(x-2y)²·[-(x-2y)]³=-(方法二：原式=(2y-x)²·(2y-x)³=(2y-x)⁵第2页共9页一般有(am)n=amn(m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n(m,n都是正整数).例14.2下列运算中正确的是()答案D积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n=anbn(n为正整数)。cn(n为正整数).例14.3已知am=4,an=10,求a²m+n的值.第4页共9页例14.6计算：(1)(5mn²-4m²n)(-2mn)(2)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1).二乘法公式1.平方差公式公式中的字母a和b可以是数，也可以是式子(包括单项式、多项式等),只2.完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b².即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.公式中的字母a和b可以是数，也可以是式子(包括单项式、多项式等).完全平方公式有如下变形：a²+b²=(a+b)²-2ab或3.添括号法则a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c).即：添括号时，如果括号前面是正号，添括号后，括号中的各项都不变符号；如果括号前面是负号，添括号后，括号中的各项都改变符号.三因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.因式分解时应注意以下几点：结果一定是积的形式，分解的对象是多项式。每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原多项式的次数。分解因式必须分解例14.7下列式子中，从左到右变形属于因式分解的是()解析根据因式分解的概念，只有B选项满足：等号左边是多项式，等号右边是几个整式的积的形式，并且经检验运算过程正确，故选B.答案B2.因式分解的方法(1)提公因式法.①公因式：我们看多项式ma+mb+mc,它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫作这个多项式各项的公因式.公因式m既可表示单项式，也可表示多项式.常用的变形：-a+b=-(a-②提公因式法：把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商，像这种分解因式的方法叫作提公因式法.提取公因式后，括号内的各项是用公因式去除这个多项式的各项得到的商，特别注意不漏掉1.在因式分解的过程中，常常把含有相同字母且字母次数相同的多项式作为公因式提出来，此时要特别注意字母的排列顺序的变化和其指数的奇偶性.例14.8若代数式x²+ax可以分解因式，则常数a不可以取()解析因为代数式x²+ax可以分解因式，所以常数a不可以取0.(2)公式法.①平方差公式法：a²-b²=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.能用平方差公式分解因式的多项式的特点：①应是二项式或视作二项式的多项式，②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方.③二项异号.②完全平方公式法：a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)²即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.①运用完全平方公式分解因式的条件：a.应是三项式；b.其中两项同号，且各为一整式的平方；c.还有一项可正可负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.②分解因式时首先考虑有无公因式，之后再考虑用运用公式法分解.例14.9下面分解因式正确的是()解析根据因式分解的概念，A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式，但错误，应是m²-2mn+n²=(m-n)²答案C3.因式分解的步骤(1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法，即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果，必须是几个整式的积(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止.例14.10把下列各式分解因式：(4)9(x+a)²+30(x+a)(x(2