2026年湖南单招数学立体几何概率统计经典题精练附答案

2026年湖南单招数学立体几何+概率统计经典题精练（附答案）一、立体几何部分（共5题，每题6分，满分30分）注意：以下题目基于湖南单招考试特点，结合近年经典题型设计，侧重空间想象能力、计算能力及知识应用。1.（6分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的边长分别为AB=3，BC=4，CA=5，侧面AA1B1B⊥底面ABC，且AA1=2。求（1）点A1到平面B1BC的距离；（2）直线A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值。解析：（1）首先，底面△ABC为直角三角形（勾股定理验证），且BC⊥AB。由侧面AA1B1B⊥底面ABC，得BC⊥AA1。取AC的中点D，连接A1D，则A1D⊥平面ABC，且A1D=AA1=2。在直角三角形A1BC中，B1为BC的中点，B1C=2，BC=4，所以A1到平面B1BC的距离为A1D=2。（2）设AC∩AB=E，连接A1E，则∠A1CE为直线A1C与平面ABB1A1所成角。在△A1CE中，CE=2.5，A1C=5，由勾股定理得A1E=√(A1C^2-CE^2)=√(25-6.25)=√18.75，sin∠A1CE=CE/A1C=2.5/5=0.5。2.（6分）已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，E为SC的中点。求（1）平面SAB与底面ABCD所成二面角的余弦值；（2）点E到平面SAD的距离。解析：（1）连接SB的中点F，连接AF，则AF⊥SB（正四棱锥性质），且AF⊥平面SBC。在△SAF中，SA=3，AF=√2（正方形对角线一半），tan∠SAF=AF/SA=√2/3，cos∠SAF=√(1-tan^2∠SAF)=√(1-(2/9))=√(7/9)=√7/3。（2）设AD的中点为G，连接EG，则EG⊥AD（正四棱锥性质），且EG⊥平面SAD。在直角三角形EFG中，EG=√(AF^2+FG^2)=√(2+1)=√3，点E到平面SAD的距离为EG=√3。3.（6分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。点E为棱PC的中点。求（1）直线BE与平面PAD所成角的正弦值；（2）三棱锥E-ABD的体积。解析：（1）连接BC中点F，连接AF，则AF⊥BC（矩形对角线垂直性质），且AF⊥平面BCDP。在△BAF中，AF=√2，BF=√(1^2+1^2)=√2，tan∠BAF=AF/AB=√2/1=√2，sin∠BAF=1/√(1+tan^2∠BAF)=1/√3。（2）设BD的中点为M，连接EM，则EM⊥BD（中位线性质），且EM⊥平面ABCD。EM=1，三棱锥E-ABD的体积V=1/3×底面积×高=1/3×(1×2)×1=2/3。4.（6分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA1=3。点D为棱BC上靠近C的三等分点。求（1）直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值；（2）点C1到平面A1BD的距离。解析：（1）设AB中点为E，连接A1E，则A1E⊥平面ABC，且A1E=3。在△A1DE中，DE=√3（等边三角形高），tan∠A1DE=A1E/DE=3/√3=√3，sin∠A1DE=√3/2。（2）设BD与A1C1交于点F，连接CF，则CF⊥平面A1BD（三棱柱性质）。在直角三角形C1FC中，C1F=√(CC1^2+CF^2)=√(3^2+(√3)^2)=√12，点C1到平面A1BD的距离为C1F=√12。5.（6分）在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，AA1=1。点E为棱CC1的中点。求（1）直线B1E与平面ABB1A1所成角的余弦值；（2）点D1到平面A1BE的距离。解析：（1）设A1B1中点为F，连接EF，则EF⊥平面ABB1A1（中位线性质）。在△B1EF中，B1F=1，EF=√3（菱形对角线垂直平分），cos∠B1EF=EF/B1F=√3/1=√3。（2）设A1B与BE交于点G，连接D1G，则D1G⊥平面A1BE（平行六面体性质）。在直角三角形D1AG中，D1A=√3，AG=√(1+3)=2，点D1到平面A1BE的距离为D1G=2。二、概率统计部分（共5题，每题6分，满分30分）注意：以下题目结合湖南单招考试特点，侧重概率计算、统计分析及实际应用。6.（6分）某校高三（1）班进行篮球投篮比赛，规则如下：每次投篮命中得2分，未命中得0分。已知某选手每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮结果相互独立。求该选手投篮3次至少得6分的概率。解析：设命中次数为X，X～B(3,0.6)，P(X≥3)=P(X=3)=C(3,3)×0.6^3×0.4^0=0.216。7.（6分）某公司招聘员工，需要从5名男性和3名女性中随机抽取3人参加培训。求（1）抽到的3人中恰好有2名男性的概率；（2）抽到的3人中至少有1名女性的概率。解析：（1）P(2男1女)=C(5,2)×C(3,1)/C(8,3)=10×3/56=15/28；（2）P(至少1女)=1-P(0女)=1-C(5,3)/C(8,3)=1-10/56=46/56=23/28。8.（6分）某城市交通部门统计了某路段每日的汽车流量（单位：辆/小时），数据如下：40,45,50,55,60,65,70。求（1）样本的中位数；（2）样本的平均数。解析：（1）排序后中位数为55；（2）平均数=(40+45+50+55+60+65+70)/7=53.57。9.（6分）某工厂质检员检查产品合格率，随机抽取10件产品，记录合格件数如下：8,9,7,8,10,9,8,7,9,8。求样本方差。解析：样本均值=8.4，方差S^2=[(8-8.4)^2+...+(8-8.4)^2]/10=1.96。10.（6分）某班级进行数学测试，成绩服从正态分布N(80,16)。求（1）成绩在70分至90分之间的概率；（2）若成绩排名前10%的学生可以获得奖励，则获奖分数线是多少？解析：（1）P(70≤X≤90)=Φ(1.25)-Φ(-1.25)=0.7946；（2）临界值μ+1.28σ=80+1.28×4=86.32。答案与解析立体几何部分：1.（1）2；（2）0.52.（1）√7/3；（2）√33.（1）1/√3；（2）2/34.（1