湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.故选：B3.已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式可得，解得，故选：D.4.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：在中，，又，，由正弦定理得：，所以，所以树的高度为，方法二：设树高为，则，则，故选：A.5.设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，，即，由对称性可知，对于圆，圆心，半径，，当且仅当A，C，三点共线时等号成立，由于，，则.故选A．6.在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，∴，，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，，平面，，．故选：A．7.如果，那么复数的三角形式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.8.如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】取BD中点O，连接AO，CO，，则，且，于是是二面角的平面角，显然平面，在平面内过点作，则，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，设二面角的大小为，，因此，，，于是，显然，则当时，，所以的最大值为.故选：B.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（）A.当点为三角形的重心时，B.当时，的最小值为C.当点在平面内时，的最大值为2D.当时，点到的距离的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，当点为三角形的重心时，，所以，又因为，所以，所以，故A错误；对于B，，因为，所以，则，当且仅当时取等号，所以，所以，所以的最小值为，故B正确；对于C，当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，则，又因为，所以，所以，因为，所以，所以的最大值为2，故C正确；对于D，当时，由A选项知，，在方向上的投影为，所以点到的距离，因为，所以，当且仅当时，取等号，所以点到的距离的最小值为，故D正确.故选：BCD.10.如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（）A.平面截正方体所得截面面积B.点F的轨迹长度为C.存在点F，使得D.平面与平面所成二面角的正弦值为【答案】AC【解析】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，而，，故梯形面积为，A正确；取中点M，中点N，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；取MN的中点F，则，∴，∵，∴，C正确；因为平面平面且，，∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．故选：AC.11.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A.圆上的点到原点的最大距离为B.圆上存在三个点到直线的距离为C.若点在圆上，则的最小值是D.若圆与圆有公共点，则【答案】BD【解析】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，即“欧拉线”为.由“欧拉线”与圆相切，到直线的距离，则圆的方程为：，圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；圆心到直线的距离为，圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，设过与圆相切的直线方程为，即，由，解得的最小值是，故C错误；的圆心坐标，半径为，圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确.故选：BD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】以向量为方向向量的直线的斜率为，则过点的直线的方程为，即，则点到直线的距离.故答案为：.13.若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可知直线经过的定点为则定点在圆内或者圆上的时候满足题意，所以，又表示圆，所以，解得或；综上，.故答案为：.14.已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_______．【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则圆关于对称的圆的方程为，要使值最小，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，其最小值为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；（2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.解：（1）由，解得；设该样本的60百分位数为，因为，，，，对应的频率分别为，所以60百分位数在这组数据内，由题意可得，解得，所以该样本的60百分位数为.（2）数学测试成绩的平均值为：分.16.在平面直角坐标系中，已知点，圆：.（1）过点M作圆C的切线，求切线的方程；（2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长.解：（1）很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：，即，圆心到直线的距离，满足题意时有：，解得：，则此时的直线方程为：，即，综上可得，直线方程为：或.（2）圆心到直线的距离：，则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：.17.如图，在直三棱柱中，，，为中点，为中点，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，，，.，平面的一个法向量为，，所以，又因为平面，所以平面.（2）解：，，设平面的法向量为，则令，则，故，因为，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：，，设平面的法向量为，则令，，，故，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C．（1）求曲线的方程；（2）设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点．（i）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积；（ii）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设，，因为点在圆上，所以①，因为为中点，所以，整理得，代入①式中，得，整理得，所以曲线的方程为；（2）（i）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即，则直线方程为，设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，，则，所以，，所以，所以四边形的面积为；（ii）设直线的方程为，即，设，，联立，得，则，，，因为曲线与轴交于，两点，所以，，则直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程得，故直线与直线的交点在定直线上.19.球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.（1）球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）；（2）与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为.①求球面的三个内角的余弦值；②求球面的面积.解：（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上，从而，故，设，则，从而，注意到到直线的距离均为，故，所以由知，所以，即，这得到，从而，又在两个互相垂直的大圆上，故，从而两两垂直，从而由在平面内交于点，可知垂直于平面，而在平面和平面内，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直，故由球面角的定义知，所以球面的内角和是.（2）①由已知条件，可设，如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设，设，则由.可知；；，故，不妨设，则，所以有，设平面法向量分别为，