湖南省多所学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省多所学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即．故选：C.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在复平面内，复数对应的点分别为，则，得．故选：3.已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点.当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确.故选：C.4.在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（）A.2 B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】依题意，向量，在上的投影向量相等，所以，则，即，所以.故选：B.5.高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（）A.多4.8厘米 B.多5.6厘米 C.多7.2厘米 D.多8.4厘米【答案】A【解析】设男生平均身高为，女生平均身高为，则，总体平均身高为，则男生的平均身高减全班的平均身高为，故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米．故选：6.已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（）A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】直线，即，由解得，所以直线过定点，所以的最大值为．故选：7.若函数为奇函数，为偶函数，则（）A.最小值为，无最大值B.的最大值为，无最小值C.的最小值为，最大值为D.既没有最小值，也没有最大值【答案】A【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以，，即，，解得．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，无最大值．故选：A.8.椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为抛物线的焦点为，则抛物线方程可写为，若，则，由椭圆的定义得，所以，，由抛物线的定义得，所以点的横坐标，代入抛物线方程得，，所以，即，所以.所以椭圆的离心率.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.C.在单调递增 D.在的值域为【答案】ABD【解析】,对于A，故A正确；对于B的对称轴方程为:，即，当时，关于对称，即，故B正确；对于C，由，得的单调递增区间为，但不是上述区间的子集，故C错误；对于，故D正确．故选：10.已知曲线，则（）A.曲线表示一个圆B.点在曲线上C.曲线被直线截得的弦长为D.曲线与所有平行于轴的直线都有交点【答案】BD【解析】对于A，由圆的一般方程可知，圆的方程中无项，故A错误；对于B，代入点得，因此点在曲线上，故B正确；对于C，联立，整理得，因此直线与曲线的交点分别为，弦长为，故C错误；对于D，设与轴平行的直线为，联立，整理得，，故正确．故选：11.若四面体各棱长为1或2，但不是正四面体，则下列说法正确的是（）A.四面体有可能是正三棱锥B.四面体中长为1的棱最多有4条C.若四面体恰有两条棱长为1，则有且仅有2条棱所在的直线互相垂直D.四面体体积的最大值为【答案】ACD【解析】对于A：当四面体的底面边长均为1，侧棱长均为2时，该四面体为正三棱锥，故A正确；对于B：假设四面体中长为1的棱有4条，如图，分三种情况讨论：若底面有一条边长为1，不妨设，则侧棱长均为1，此时，构不成三角形，该情况不成立；若底面有两条边长为1，不妨设，此时，构不成三角形，该情况不成立，若底面三条边均为1，则侧棱有一条为1，不妨设，此时，构不成三角形，该情况不成立，所以四面体中长为1的棱不可能有4条，故B错误；对于C：若两条相邻的棱长为1，则构不成三角形，该情况不成立；所以两条为1的棱只能为对棱，不妨设，其余四边长为2，此时所有的三角形三边均分别为，故共顶点的两边均不垂直，如图以点为原点，直线为轴建立空间直角坐标系：则，，设，则，两式相减得：，所以，所以，因为，所以，解得，所以，所以，，，，，，所以，，，故，此时有且仅有2条棱所在的直线互相垂直，所以C选项正确；对于D：根据B选项可知四面体的六条棱长可能为一条棱长为1，其余为2；两条棱长为1，其余为2；或三条棱长为1，三条棱长为2；易知第一种情况体积最大，不妨设，其他棱长为2，如图建立空间直角坐标系：则，，设，则，两式相减得：，所以，所以，因为，所以，解得，所以，所以，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，又，所以四面体体积为，所以四面体体积的最大值为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，，则________．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，又，所以，则.故答案为：.13.已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为___________．【答案】【解析】圆是以圆上一点为圆心，所以圆必经过原点，又因为圆经过原点，所以圆与圆交于原点，设为．当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，此时，而，所以．故答案：.14.若，，且对任意实数均有．则满足条件的有序实数对的个数为________．【答案】3【解析】要让对于任意实数均成立，只需函数与图象重合或为的常函数.当函数与图象重合时，所以，由于，可以取，；当为的常函数时，，此时可以取.综上，满足条件的有序实数对的个数为3个（，，）.故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别是，已知．（1）证明：；（2）若为边上一点，的面积是的面积的两倍，，求的周长．（1）证明：根据正弦定理，由可得：，即．在中，有，可以得到：，即.（2）解：由有.由可得：，即，解得：所以的周长为.16.在直角坐标系中，过圆上任意一点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，总有，设点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，且的面积为，求直线的方程．解：（1）设点，点，则点．由是的中点得：.因为点在圆上，所以将代入方程得：．故方程为：.（2）设直线的方程为：，，，联立，得解得；，所以或所以直线的方程为或.17.已知等差数列满足，，数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．（1）解：设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，，所以数列的通项公式；因为，所以，所以，又，适合上式，所以的通项公式为：；（2）证明：由（1）知和，得：；.两式相减得，所以，因，则，当时，，单调递增，又，所以.18.如图，在四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设是三棱锥外接球球面上的一动点，求的最小值．（1）证明：如图所示，在平面内，取的中点，连接，，，，因为，由勾股定理得，所以，在中，由，得.在中，，所以，由，平面,得平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，建立如图所示的坐标系，易知轴平行于，则，，设平面的一个法向量为，由得，取，则，，设平面的一个法向量为，由得，取，则，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：设球心为，半径为，易知，在中，，解得，所以在平面内取一点，满足，即，解得，则，，又因为，又，则19.已知双曲线：的离心率为2，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点．（i）证明：数列是等比数列；（ii）设的面积为，若，，，证明：．（1）解：双曲线的离心率