湖南省湘西土家族苗族自治州2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘西土家族苗族自治州2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的实部为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】由题意，所以实部为7．故选：B.2.已知集合满足，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，又，，且，．故选：A．3.以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设的半焦距为，由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得，由椭圆的定义得，，所以椭圆的离心率．故选：B.4.若函数的图像的一条对称轴为直线，则可以取（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角函数图像的性质得，函数的图像的对称轴为直线，可得，得，当时，成立．故选：D.5.已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】设，则，，即，令，解得或，所以当或时，，当时，，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极大值点为．故选：B．6.若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，又两圆圆心所在直线的斜率为，所以它们的公切线的斜率为．故选：A.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】原式，又，所以，，故原式．故选：C.8.设某地海拔（单位：m）为处的大气压（单位：kPa）为，海拔为处的大气压为，且满足，其中都是大于零的常数，表示海拔的平均气温（单位：K），记该地海拔为0m处的大气压为，下表列出了不同季节的数据：季节春季夏季秋季冬季若某天该地海拔的平均气温为300K，海拔的平均气温为285K，该地海拔1000m处的大气压为90kPa，海拔2000m处的大气压为80kPa，则这一天的季节为（）附：，，．A.春季 B.夏季 C.秋季 D.冬季【答案】A【解析】由题意，将相应的数据分别代入，可得，，所以，整理得．根据参考数据可知，，所以，由于，故此时当地的季节为春季．故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平行四边形中，，，记，，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】对于A，，故A错误；对于B，，即，故B正确；对于C，，，若，则，即，故C正确；对于D，，由，得，所以，所以，故D正确．故选：BCD.10.已知样本数据5，6，5，8，5，的中位数与平均数相等，则（）A. B.这组样本数据的上四分位数为6C.这组样本数据的极差为7 D.这组样本数据的方差为13【答案】BC【解析】对于A，由题意知，该组数据的平均数为，当时，中位数为5，令，解得，符合题意；当时，中位数为，令，解得，不符合题意；当时，中位数为5.5，令，解得，不符合题意；综上所述，故A错误．对于B，，将样本数据从小到大排列为，第五个数为6，故B正确．对于C，最大的数为8，最小的数为1，极差为7，故C正确．对于D，，故D错误．故选：BC.11.已知函数，其中且，则下列说法正确的是（）A.有且仅有个零点B.存在，使得在定义域内单调递增C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，令，由，得，则方程有唯一解，即有个零点，故A正确；对于B，由题意知的定义域为．若，当从左边趋近于时，，，且，所以；当从右边趋近于1时，，，且，所以，因此不可能单调递增．若，当从左边趋近于时，，，且，所以；当从右边趋近于1时，，，且，所以，因此不可能单调递增．故B错误；对于C，，当时，，因为，所以，，则，即，故C正确．对于D，当时，显然成立；当时，因为，所以，易知，此时，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知各项均为正数的等比数列满足，，则______．【答案】【解析】设的公比为，则，得，所以．故答案为：.13.在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则______．【答案】3【解析】连接，相交于，则,由正棱柱的性质可知平面，平面，所以，又,平面，则平面，且,所以四棱锥的高为，其体积为，解得．故答案为：.14.已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为______．【答案】【解析】如图，设的左焦点为，连接，，，，，，．设的半焦距为，则，由对称性，可得，，，在中，由余弦定理得，又，即，联立两式，得，化简，得，故离心率．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.有6张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机抽取1张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为．（1）若有放回地抽取，记事件为“”，求；（2）若无放回地抽取，记，求的分布列与数学期望．解：（1）有放回地抽取两次，则不同的结果共有（种）．满足的有序数对有，，，共3种情况，故．（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，，，，，．所以的分布列为12345所以．16.记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）因为，是公差为的等差数列，所以，即．当时，，整理可得，所以，，，，，累乘得，所以（也满足该式），故．（2）由（1）知，所以，所以．17.如图，内接于圆柱的下底面圆，是圆柱下底面圆的直径，是圆柱的母线，，且，．（1）求点到平面的距离；（2）是圆柱上底面圆周上一点，若二面角的大小为，求．解：（1）是圆柱的母线，平面，又平面，，是下底面圆的直径，，又，、平面，平面，又，故点到平面的距离为2；（2）如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意知圆柱底面圆的半径为，可设，，由已知可得，，则，，设平面的法向量为，则，即，可取，易知平面的一个法向量为．二面角的大小为，，解得或（舍去），，或，若，则，若，则，故或．18.在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）．（1）证明：为定值；（2）证明：；（3）设为直线的交点，，求的最小值．（1）证明：由题意设直线的方程为，联立与直线的方程，消去，得，，设，，则，．，为定值．（2）证明：直线，与的方程联立，消去，得，或，，同理，．．又，，故．（3）解：由（2）知，是的中位线，分别是的中点．如图，取的中点，则，．，其中，，即，，，当时，取等号，的最小值为．19.已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点；（3）在（2）的条件下，证明：．（1）解：若，则，求导得，，又，所求的切线方程为．（2）证明：函数求导得：．当时，，，又，所以．当时，令，则，，则在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，且，，存在，使得．当时，，单调递减，当时，，单调递