高考数学三轮冲刺重难点练习题型07 圆锥曲线（解析版）

预测07圆锥曲线考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程.一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为焦点三角形面积：（其中）二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，也叫通径．2、与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）一．选择题1．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为2，则p＝（）A．1 B．2 C．22 D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（p2，0）到直线y＝x+1的距离为2可得|p2−0+1|2=2．点（3，0）到双曲线x2A．95 B．85 C．65【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216−y29=0，即3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点（3，0）到直线3x3．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）A．72 B．132 C．7 【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，所以e=ca=4．设B是椭圆C：x25+y2＝1的上顶点，点P在CA．52 B．6 C．5 【解答】解：B是椭圆C：x25+y2＝1的上顶点，所以B（0，1），点P在C上，设P（5cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以|当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为525．已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在CA．13 B．12 C．9 D．6【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，所以|MF1|•|MF2|≤(|MF1|+|MF2|26．（压轴）设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若CA．[22，1） B．[12，1） C．（0，22] 【解答】解：点B的坐标为（0，b），设P（x0，y0），则x02a2+y02b2故|PB|2＝x02+（y0﹣b）2＝a2（1−y02b2）+（y0﹣b）2=−c2b2y02﹣2by0+a2+b2又对称轴y0=−b3c2＜0，当−b3c2≤−b时，即b≥c时，则当y0＝﹣故只需要满足−b3c2≤−b，即b2≥c2，则a2﹣c2≥c2，所以e=ca当−b3c2＞−b时，即b＜c时，则当y0=−b3c2时，|PB|2最大，此时|PB|2=b4c2+a2+b2≤4b2，则a4﹣4a2c2+4c4≤0，解得a=2c二．多选题7．已知直线l：ax+by﹣r2＝0与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解答】解：∵点A在圆C上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|a2∵点A在圆C内，∴a2+b2＜r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|a2∵点A在圆C外，∴a2+b2＞r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|a2∵点A在直线l上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|a2故选：ABD．8．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝32 D．当∠PBA最大时，|PB|＝32【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），∴过A、B的直线方程为x4+y2=1，即x+2y﹣4＝0，圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5），圆心到直线x+2∴点P到直线AB的距离的范围为[1155−4，1155+4]，∵∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大），此时|BC|=(5−0)2+(5−2)2=25+9=三．填空题（共5小题）9．已知双曲线C：x2m−y2＝1（m＞0）的一条渐近线为3x+my＝0，则C【解答】解：根据题意，双曲线C：x2m−y2＝1（m＞0）的一条渐近线为3x则有m3=m，解可得m＝3，则双曲线的方程为x23−y2故答案为：4．10．已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率【解答】解：∵双曲线的方程是x2a2又∵离心率为e=ca=2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得由此可得双曲线渐近线为y=±3x故答案为：11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为x=−32【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（p2，p），kOP＝2，PQ⊥OP所以kPQ=−12，所以PQ的方程为：y﹣p=−12（x−p2|FQ|＝6，所以5p2−p2=6，解得法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2=p2×6因此，抛物线的准线方程为：x=−32．故答案为：x12．已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形【解答】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a＝8，所以m2+2mn+n2＝64，因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48，即m2+n2＝48，所以mn＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8．故答案为：8．四．解答题13．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca=6所以a=3，则b2＝a2﹣c2＝1，故椭圆的标准方程为x（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my+2则圆心O（0，0）到直线MN的距离为d=2m2+1联立方程组x=my+2x23+所以|MN|=1+下面证明充分性，当|MN|=3时，设直线MN的方程为x＝ty+s此时圆心O（0，0）到直线MN的距离d=|s|t2+1=1，则s联立方程组x=ty+sx23+y2=1，可得（t2+3）y则Δ＝4t2s2﹣4（t2+3）（s2﹣3）＝12（t2﹣s2+3）＝24，因为|MN|=1+t2⋅24t2因为直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切，所以s＞0，则s=2则直线MN的方程为x=ty+2恒过焦点F（2，0），故M，N，所以充分性得证．综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=314．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得lPA：y=x设lAB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴Δ＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=1+k2∴S△PAB=又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)2而yp＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S15．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±2p根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，2p因为OP⊥OQ，故1+2p抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得∠POx＝∠QOx＝45°，因此点P，Q的坐标为（1，±1），由题意可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），可得p=1因此抛物线C的方程为y2＝x．而圆M的半径为圆心M到直线l的距离为1，可得⊙M的方程为（x﹣2）2+y2＝1．（2）很明显，对于A1A2或者A1A3斜率不存在的情况以及A2A3斜率为0的情况满足题意．否则：设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得|2k|1+k2=联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，此时有，|2+y1y同理，由对称性可得，(y所以y2，y3是方程(y则y2依题意有，直线A2A3的方程为x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（−17，0），F2（17，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为x2根据题意c=172a=2c∴C的方程为x2（2）设T(12，t)，直线AB的方程为y=k1(x−12)+t，A（x1，y1），B将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，(16−k由韦达定理有，x1又由A(x1，同理可得|BT|=1+∴|AT||BT|=(1+k设直线PQ的方程为y=k2(x−同理可得|PT||QT|=(1+又|AT||BT|＝|PT||QT|，则1+k12又k1≠k2，则k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．一．选择题1．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线3x﹣2ay﹣11＝0对称，则圆C中以(aA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依题意可知直线过圆心（1，﹣2），即3+4a﹣11＝0，a＝2．故(a圆方程配方得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，（1，﹣1）与圆心距离为1，故弦长为25−1故选：D．2．已知椭圆x225+y29=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是A．2 B．4 C．8 D．3【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2＝8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|＝4，故选：B．3．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，直线l：y＝2xA．1 B．2 C．5 D．4【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y＝±bax，直线l：y＝2x﹣2与x轴交点为（1，0），则双曲线的一个顶点为（1，0），即a＝1，若直线l平行于双曲线4．设F是双曲线x24−y212=1的左焦点，AA．5 B．5+43 C．7 D．9【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|＝2a＝4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|＝5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A（0，−3），若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MFA．43 B．53 C．23【解答】解：由题意，F（1，0），|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d﹣1，由三角形相似，可得d−11=2−d2，∴d6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝8．过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M故选：B．7．已知椭圆E：x24+y2b2=1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝2|F1BA．x24+y23C．x24+4y【解答】解：由题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵AF2⊥x轴，∴|AF2|=b22，∴A点坐标为（c设B（x，y），由|AF1|＝2|F1B|，∴（﹣c﹣c，−b22）＝2（x+c，y），∴−2c=2x+2c则B（﹣2c，−14b2），代入椭圆方程可得c2+116b2=1，又∵b则椭圆方程为x24+8．（压轴）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于AA．直线AB与OM垂直 B．若直线方程为y＝2x+2，则|AB|=C．若直线方程为y＝x+1，则点M坐标为(1D．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x122两式作差得：y1+y2x1+x2×y1对于A，kAB×kOM＝k×y0x0=−2，故直线AB对于B，若直线方程为y＝2x+2，联立方程组y=2x+2x22+y24=1，得6x2+8x＝0，解得x1＝0，x2=−对于C，菲直线方程为y＝x+1，故可得y0x0×1＝﹣2，即y0又y0＝x0+1，解得x0=−13，y0=23，即M（对于D，若点M坐标为（1，1），则11×k=−2，则k又AB过点（1，1），则直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故D正确．故选：D．二．多选题（多选）9．以下四个命题表述正确的是（）A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+2=C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，【解答】解：由（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，得3x+4y﹣3+m（x+3）＝0，联立x+3=03x+4y−3=0，解得x=−3∴直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，3），故A错误；∵圆心（0，0）到直线l：x﹣y+2故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线l：x﹣y+2=0的距离等于1，故两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C1：x2+y2+2x＝0化为标准式（x+1）2+y2＝1，曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化为标准式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，圆心距为(2+1)2+42=5=1设点P的坐标为（m，n），∴m4+n2=1，以OP为直径的圆的方程为x2+y2两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝1，消去n得，m（x−y2）+2令x−y2=0，2y﹣1＝0，解得x=14，y=12，故直线AB经过定点（110．（压轴）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为FA．离心率的取值范围为(0，B．当离心率为24时，|QF1|的最大值为2+C．不存在点Q，使得QF→D．4|QF【解答】解：由题设，a＝2，则x24+y2b2=1，又P(2，1)当e=24时，有b2∴由|QF1|+|QF2|＝4，则|QF1由c2﹣b2＝4﹣2b2＜0，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得QF→1⋅由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（4|QF1又|QF1|+|QF2|＝4，所以4|QF1|+1|Q11．（压轴）已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（）A．1ABB．若AF⋅BF=43pC．OA→D．四边形ACBD面积的最小值为16p2【解答】解：由题意显然直线AB，CD的斜率存在且不为0设直线AB的斜率为k，因为AB⊥CD，所以直线CD的斜率为−1k，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的方程可得焦点F（p2，0），则直线AB的方程为y＝k（x−p2），k＞0，联立y=k(x−p2)y2=2px，整理可得：k2x2﹣则x1+x2＝p•k2+2k2，x1x2=14p2，所以弦长|AB|＝x1+x2+p＝同理可得：|CD|＝2p（1+k2），则有1|AB|+1B中，若AF⋅BF=43p2，则（x1+p2）（x2+p2）＝x1x2+p2（所以p24+p2•p(kC中，OA→⋅OB→=x1x2+y1y2＝x1x2﹣2px1x2=同理可得OC→⋅OD→=−34S四边形ABCD=12|AB|•|CD|=12•2p(1+k2)k2•2p（1+k2）＝2p2（k2+当且仅当k2=1k2，即k＝±1时取等号，所以D12．（压轴）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与CA．直线l与x轴垂直 B．C的离心率为2+5C．C的渐近线方程为y＝±459D．|FQ|＝|OF|（其中O为坐标原点）【解答】解：由双曲线的方程可得A（a，0），设F（c，0），由AQ→•AB→=可得AQ→•（AB→+BF→）=AQ→•AF→=0，所以l垂直于x设B（x0，y0），由BQ→=3FQ→，所以（c﹣x0，﹣y0）＝2（a﹣c，b），所以x0＝3c﹣2a，y0＝﹣2b，即B（3c﹣2a，﹣2b），因为B（x0，y0）在双曲线上，所以(3c−2a)2a2−(−2b由e=ca，可得9e2﹣12e﹣1＝0，解得e=2+由b2a2=e2﹣1＝（2+53）2﹣1不妨设Q在第一象限，则Q（a，b），所以|PQ|=|FA|2+|AQ|故选：AB．三．填空题13．椭圆x2m2+1+y2m2=1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为【解答】解：由题意可得c=m2+1−m2=1，b＝m，又∵∠F1AF2=可得tan∠F1AO=1m=33，解得14．已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以(p2，0)为焦点，直线x﹣my﹣2p＝0与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点M（1，1）满足OM⊥AB，则抛物线C的方程为y2＝2【解答】解：由已知，直线OM的斜率为1，则AB的斜率为﹣1，所以m＝﹣1，又直线AB上的点M（1，1），∴1+1﹣2p＝0，∴p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x．故答案为：y2＝2x．15．已知F1，F2是双曲线C：x2−y2b2=1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P．若△F1PF【解答】解：设双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线方程为y＝bx，∴点F1到渐近线的距离d=bc1+b2=b，即|PF1|＝2﹣b，∴|OP|＝a＝1，△F1∴b=3，c＝2，则e=16．（压轴）已知A，B是抛物线x2＝y上两动点，过A，B分别作抛物线的切线，若两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P的纵坐标为−14，△APB面积的最小值为1【解答】解：设切点A（x1，x12），B（x2，x22），不妨设A在第一象限，设PA方程y﹣x12＝k（x﹣x1）与抛物线方程x2＝y联立，消去y得x2﹣kx+kx1﹣x12＝0，Δ＝k2﹣4kx1+4x12＝0，解得k＝2x1，∴PA的方程y﹣x12＝2x1（x﹣x1），同理PB方程y﹣x22＝2x2（x﹣x2），联立解得交点P（x1+x22，∵∠APB＝90°时，kAP•kBP＝4x1x2＝﹣1，∴x1x2=−14，∴kAB=x22−由直线AB的方程为y﹣x12＝（x1+x2）（x﹣x1），即（x1+x2）x﹣y﹣x1x2＝0，故点P到直线AB的距离d=(x1−x2)221+(x∴S△PAB=12|AB|•d=|x1故答案为：−14；四．解答题17．已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由短轴一个端点到右焦点的距离为2，可得b2+椭圆C：x2a2+y2b2=1（a所以椭圆C的方程为x24+（2）显然x＝0不满足题意，可设l的方程为y＝kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx+2x2+4y2=4，可得（1+4k2由Δ＝（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得k2＞34，x1+x2=−16k1+4k2，坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，即为OA→•OB即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝（1+k2）•121+4k2+2可得k2＜4．又k2＞34，即为34＜k2＜4，解得k∈（﹣2，18．已知曲线C上的任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）距离之和为4，直线l交曲线C于A，B两点，O为坐标原点．（1）求曲线C的方程；（2）若l不过点O且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若直线l过点Q（0，2），求△OAB面积的最大值，以及取最大值时直线l的方程．【解答】（1）解：因为曲线C上的任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）距离之和为4，所以曲线C是椭圆，且2a＝4，c＝1，所以a＝2，b=3，所以曲线C的方程为：x（2）证明：因为l不过点O且不平行于坐标轴，所以直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0，b≠0），设A（x1，y1）B（x2，y2），M（x0，y0），则由y=kx+bx24+y23=1得（3+4k2）所以x1+x2=−8kb3+4k2，x1x2=4b2−123+4所以y0＝kx0+b=3b3+4k2，所以kOM=y所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）解：设A（x1，y1）B（x2，y2），M（x0，y0），则由y=kx+bx24+y23=1得（3+4k2）所以x1+x2=−8kb3+4k2，x1x2=因为S△OAB=12×2×|设t＝4k2﹣1，（t＞0），则S△OAB＝43t因为t＞0，所以t+16t+8≥此时S△OAB＝取得最大值为3，由4k2﹣1＝4得k=±52满足k所以直线l的方程为y=±519．双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF．【解答】解：（1）当|AF|＝|BF|且BF⊥AF时，有c+a=b2a=c2−a2（2）法一：由（1）得c＝2a，b=3a设B（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，且x02a2−y023a2=1①当|BF|＝|AF|且BF⊥AF时，∠BFA＝2∠BAF＝90°；②当BF与AF不垂直时，tan∠BAF=y0x0∴tan2∠BAF=2tan∠BAF∴tan2∠BAF＝tan∠BFA，即∠BFA＝2∠BAF，综上∠BFA＝2∠BAF．法二：延长AF至点B'，使FB'＝FB，设B（x0，y0），则BF＝ex0﹣a＝2x0﹣a，所以B′（2x0﹣a+c，0），又因为点A（﹣a，0），所以xB'+xA2=所以BA＝BB'，所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BFA20．已知抛物线D：x2＝4y，过x轴上一点E（不同于原点）的直线l与抛物线D交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），与y轴交于C点．（1）若EA→=λ1EC→，EB→=λ2EC→，求乘积（2）若E（4，0），过A，B分别作抛物线D的切线，两切线交于点M，证明：点M在定直线上，求出此定直线方程．【解答】解：（1）设E（t，0）t≠0，C（0，m），∵EA→=λ1EC→，EB→=λ2EC设直线l的斜率为k，方程为y＝k（x﹣t），由y=k(x−t)x2=4y得x2﹣4kx当Δ＝16k2﹣16kt＞0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝4kt，∴λ1λ2=t（2）设M（x，y），由x2＝4y可得y=x24，故y∴抛物线