甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十一章 一元二次方程 单元测试题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages11页试卷第=page22页，共=sectionpages22页甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十一章《一元二次方程》单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（

）A． B． C． D．2，102．已知是实数，且满足，则的值为（

）A．3 B．3或 C．或6 D．63．已知，则的值为（

）A．或2 B．或8 C．2 D．84．如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（

）

A． B．C． D．5．一元二次方程配方后可化为（

）A． B． C． D．6．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（

）A．3步 B．5步 C．6步 D．9步8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（）A． B． C． D．9．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（

）A．2018 B．2020 C．2025 D．203010．定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（

）①若，，则的值为；②若为常数，关于的方程与的解相同，则；③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题11．关于的方程的解是．12．若关于x的方程是一元二次方程，则m=．13．已知，则的值是．14．关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是．15．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是．16．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为元．17．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为．18．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过秒钟，使的面积等于．三、解答题19．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)；(4)；20．已知关于的方程．(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为1，求的值．21．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．22．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)若，求的值；(2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长．23．某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米．(1)用含x的代数式表示y；(2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．24．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．已知关于、的方程，求的值．解：设，则方程变形为：，，即或(1)【引申】已知，则．(2)【拓展】已知，求的值．25．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：二次项系数化为，得，第一步配方，得，……第二步变形，得，………………第三步开方，得，…第四步解得，．……………第五步(1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________；(2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程．26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：．27．阅读材料：材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解决下面问题：(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版期末模拟试卷2》参考答案题号12345678910答案AADBBCCABC11．12．13．1或214．15．或/或16．17．18．秒或秒19．（1），或，解得，；（2），或，解得，；（3）整理，得：，，则或，解得，；（4），，则，或，解得，．20．（1）解：方程中，，，，∵，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程有一个根为1，∴，即，∴．21．（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，且解得：且，即的取值范围是且；（2），，∵，∴化简得到：∴解得：或∵且∴22．（1）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵是方程的两个实数根，∴，解得．∵，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），故的值为6．（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵等腰三角形的一边长为7，当时，∴，，∴，整理，得，解得，当时，，此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在，故三角形的周长为；当时，，此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在；同理可证，当时，三角形的周长为17；∵是方程的两个实数根，∴，，∵等腰三角形的一边长为7，当时，∴，解得，∴，此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在；综上所述，三角形周长为17．23．（1）解：根据长方形的周长公式，得，即，关于的函数表达式为．（2）解：他的说法正确．理由如下：，，，，，，，，．即矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0．24．（1）解：设，则原方程变形为，即，解得：或，∴或，故答案为：或；（2）解：设，则原方程可化为：，即，解得，，∵时，，，无解．∴．25．（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；故答案为：完全平方公式；（2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下：正确过程如下：，解：移项，得：，二次项系数化为，得：，配方，得：，变形，得：，开方，得∶，解得∶，．26．（1）解：设一元二次方程的一个根为，∴另一个根为．则，，∴，即，∴，，∴；（2）解：∵，∴该方程的两根为，．∵是倍根方程，