技巧04 结构不良问题解题策略（精讲精练）（解析版）公开课教学设计课件资料

技巧04结构不良问题解题策略

【命题规律】

结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注.

【核心考点目录】

核心考点一：三角函数与解三角形

核心考点二：数列

核心考点三：立体几何

核心考点四：函数与导数

核心考点五：圆锥曲线

【真题回归】

1.(2022•全国•统考高考真题)已知双曲线C[-1=1(。＞0力＞0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为

a'b~

y=±V5x.

(1)求C的方程；

⑵过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点一(％/),。(孙，2)在。上，且

、＞W过P且斜率为-石的直线与过Q且斜率为6的直线交于点机从下面①②③中选取两个

作为条件，证明另外一个成立：

①M在43上；©PQ//AB.③|A么

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(1)右焦点为尸(2,0),，。二？」.•渐近线方程为y=±Gv,・・.g=6,.・・/2=6a,・•・

C=a2+b2=4a2=4,a=\,:.b=g.

・・・c的方程为：%2-4=I：

(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

K-诜由①②椎③或诜由②③椎①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零：

若选①③推②，则M为线段A8的中点，假若直线A3的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知历在工轴

上，即为焦点F,此时由对称性可知/＞、。关于x轴对称，与从而耳=当，已知不符；

总之，直线A8的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为h直线AB方程为y=k(x-2),

则条件①“在上，等价于%-2)。底产k2(%-2)；

两渐近线的方程合并为3/-)3=0,

联立消去>>并化简整理得：（公-3）x2-4公x+4公=0

设4（玉,为），8（卬），）线段中点为川（A,八）,则4=空=史,），.=刈勺-2）=段,

LKDKD

设M（Xo，）'o），

则条件③等价于（小—七）2+（%-%『=（$74『+（九一乂）2,

移项并利用平方差公式整理得：

（玉一王）［4-（N+%）］+（%”）［2%-（%+”）］=。,

「飞一伍+七小学三2%一（必+%）］=0,即/-/+R（％-%）=°，

巧-X4

,,8k*

即Hl务+心’0=4三；

由题意知直线PM的斜率为-石，直线QM的斜率为G，

:，由X—%=-V5（^）-Ao）,y2-y0=>5（X2-^）,

・•・*_）'2="（3+/—2毛），

所以直线PQ的斜率m=江"=-同％+—"。）,

N-X2X1-x2

直线PM:y=-x/3（x-A0）4-）b，即y=%+6%-Gx,

代入双曲线的方程的2-V_3=0即（6K+）、）（&_）,）=3中,

得：（为+打工0）［2辰-（%+百x0）］=3.

・•・条件②PQHAB等价于m=koky0=3x0,

综上所述：

条件①M在A8上，等价于妙0=仁2（七一2）；

条件②PQMAB等价于ky°=3/；

条件③=|8M|等价丁/+ky0=告

KD

选①②推③:

2k2.8A.小卡

由①②解得:%=~j^~i，•'•/+b'o=4%=p—…③成立;

选①③推②:

2k?,6k2

由①③解得:%=K，b，°=E

・・.如0=3%,.••②成立；

选②③推①：

2

由②③解得：%=?尸/，皿=6Z-/，・••不一2二搭6，

K-3K-3K一.5

工机=公(%-2),・•.①成立.

2.(2022・北京・统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-A/G中，侧面BCGS为正方形，平面成'。冏！平

面A网A,AB=BC=2,M,N分别为A&,AC的中点.

⑴求证：MN〃平面8CC4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线人8与平面8WN所成角的正弦值.

条件①：ABA.MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【解析】(1)取A8的中点为K,连接WKNK,

由三棱柱ABC-A心G可得四边形A84A为平行四边形,

而=MA「8K=KA,则MK//BB.,

而MKa平面BCC4，BB]U平面BCC画,故MK〃平面BCC^,

MN=NA,BK=KA,臾\NK〃BC,同理可得NK〃平面BCC圈，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCC圈，而MNu平面MKN,故MN〃平面8CC圈，

3.(2021•全国•统考高考真题)已知函数”幻=(“一1)比一颂2+已

(1)讨论〃刈的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(%)只有一个零点

®—<a<—,b>2a；

22

@0<a<；，。工2a.

【解析1⑴由函数的解析式可得：/'(x)=x(，-2a),

当〃40时,若xe(3,0),则尸(力<0,〃力单调递减,

若HW(O,田)，则尸⑺>0J(%)单调递增;

当0<〃<g时，若％<(-oo,ln(2a)j,则尸(x)>0J(x)单调递增,

若H£0n(2a),O),则/'(x)<0J'(x)单调递减，

若工«0收),则1(x)>0J(x)单调递增；

当〃=3时，/'(X)>()J(X)在/?上单调递增；

当时，若xe(F,0),则/。)>0,/3单调递增，

若工«0,ln(2〃))，则/(x)<0J(x)单调递减，

若xe(ln(2a),y),则/'(6>0,/(戈)单调递增；

(2)若选择条件①：

由故贝|勿〉1,/(0)=6-1>0,

而函数在区间(e,0)上单调递增，故函数在区间(-*4。)上有一个零点.

f(\n(2a))=2a[\n(2a)-\']一〃[lni»]2+^

>2^[ln(2a)-l]-a[ln(2a)]~+2a

=2aln(2a)-a[ln(2a)J

=aln(2a)[2-ln(2a)],

结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由FOvavg,故加<1,则/'(0)=〃-14加-1<0,

当〃之。时，/>4,4〃<2,/'(2)=/一加+力>(),

而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有•个零点.

当6<0时，构造函数H(x)=e'一工一1,则“'(x)=e'-l,

当)w(yo,0)时,4(x)<0,〃(x)单调递减，

当」«0,加>)时,“'(力〉0,“(“单调递增，

注意到“(0)=0,故"(x)NO恒成立，从而有：/Nx+l，此时：

/(x)=(x-l)£,r-av2-Z>>(x-l)(x+l)-av2+b=(l-d)x2+(/?-1),

当上)巨时，(1一〃)工2+仅-1)>0,

取=&—+1，则/(、))>°，

即：〃0)<0J

而函数在区间(0,+。)上单调递增，故函数在区间(0,+。)上有一个零点.

/(ln(2^))=2«[ln(2«)-l]一〃[ln[2a)]X

<勿[ln(2a)-l]-〃[ln(2a)]2+2a

=勿ln(2a)-〃[ln(2a)了

=aln(2a)[2-ln(2n)],

由于Ov〃vg,0〈为<1,故mn（2a）［2-ln（2a）］<0,

结合函数的单调性可知函数在区间（y,o）上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

4.（2021•北京•统考高考真题）在,A8C中，c=2bcosBtC=y.

（1）求/B：

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使A3C存在且唯一确定，求BC边

上中线的长.

条件①：c=&〃；

条件②：的周长为4+26；

条件③：A8C的面枳为空；

4

【解析】（1）JC=2/7CQS4,则由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

/.sin=sin—=—♦•;C==,「.8c（），［），2Bc（0,寻］,

323I3JI3J

.△"J,解得6=3

36

百

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得f=丝色=孑=6,

bsinB,

2

与c=J为矛盾，故这样的A8c不存在；

若选择②：由（1）可得A=g,

O

设ABC的外接圆半径为R，

TT

则由正弦定理可得〃=〃=2Rsin；；=/?,

6

c=2/?sin—=V3/?.

3

则周长a+0+c=2R+G/?=4+23，

解得7?=2,则a=2,c=2V3,

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

^（2>/3）2+l2-2x2>/3xlxcos^=V7；

若选择③：由（I）可得A=g,即。=力，

则SABC=」40sinC=」a2又@=1^,解得a=

2224

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

]/丫./a

Jb+——2x/?x—xcos2—7=OJ3+~—~+HJ3x6—=回---.

V[2）23V422

5.（2021♦全国•统考高考真题）已知数列｛q｝的各项均为正数，记S”为｛〃“｝的前〃项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4｝是等差数列：②数列｛心:｝是等差数列；③%=3%.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】选①②作条件证明③：

[方法一]:待定系数法+/与3关系式

设6=an+b（a>0）,则S”=（an+b）2,

当〃=1时.4=，*=（〃+〃）~：

当〃22时，q=S“—S,“=（a〃+4—（w?-a+=a（2cm-a+/2b）:

因为｛a,J也是等差数列，所以（。+力）2="2〃—〃+勃），解得匕=0；

2

所以q=々2（2〃一1）,ai=a,故口2=3/=3卬.

[方法二]:待定系数法

设等差数列｛q｝的公差为d,等差数列｛底｝的公差为4,

则、因二屈+（〃一1）4,将S”=〃4+^^d代入£=屈+（，7—1）4，

乙

1/i\2

化简得弓/+«）--〃=d'f+（2瓜d「2d；）〃+（弧・d）对于V〃wN+恒成立.

LI乙）

d=2d；,

则有.2q-d=4瓜d「4d；,解得&=R,d=2al.所以/=3q.

瓜一％=0,

选①③作条件证明②：

因为生=3q,｛可｝是等差数列，

所以公差-％=2%,

所以S“=na+d=,即y[s^,=n,

]""；"瓜

因为7^7-6=施（〃+1）-用〃=施,

所以｛底｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

［方法一］:定义法

设医=cm+b(a>0),则S„=+b)2,

当〃=1时，4=S［=(a+力J；

22

当〃22时，an=S„-S,“=(an+b)-(an-a+b)=〃-a+26)；

因为〃z=3〃i，所以a(3a+2A)-3(a+/?)~,解得5-0或〃=一半；

当3=0时，4=/4=42(2〃—1),当〃之2时，a“q〃=2/满足等差数列的定义，此时｛%｝为等差数列；

当〃=_当时，底=。〃+6=吁*£=—六。不合题意，舍去.

综上可知｛〃"｝为等差数列.

［方法二］【最优解】：求解通项公式

因为生=3%,所以6=口，右=小生=20,因为｛£卜也为等差数列，所以公差

4=7^■-国，所以7^'=施+(〃-1)4=〃8，故当〃N2时，

4=Sf-S,“=〃2q_(〃_l『4=(2"l)4,当〃=1时，满足上式,故｛q｝的通项公式为q=(2〃-l)q,所

以%=(2〃-3)4,-%=2%,符合题意.

【方法技巧与总结】

1、灵活选用条件，“牵手”解题经验

对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系：尽量选择比

较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中.因此，条件的初始判断分析还是比较重要叽良好的开

端是成功的一半嘛！

2、正确辨析题设，开展合理验证

对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从

多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了

新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程.

3、全面审视信息,“活”学结合“活”用

数学必备知识是学科理论的基本内容，是考杳学生能力与素养的有效途径和载体，更是今后生活和学

习的基础.数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体.“活”的知识才是能

力，“活”的能力才是素养.我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活

学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题.

【核心考点】

核心考点一；三角函数与解三角形

【典型例题】

例1.(2022•全国•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=cosx(2\/5sinx+cosx)-sin、.

(1)求函数./U)的单调递增区间和最小正周期；

jrrr

(2)若当时，关于X的不等式./'(力之伙求实数机的取值范围.

请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2),并求解.

注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.

【解析】(1)/(x)=cos.v(2>/3siiix+cosx)-sin;x=2>/3sin.vcosA+cos:A-sin:x

=x^sin2x+cos2.r=2sin(2.v+—).

6

所以函数.M的最小正周期r二兀.

由-2+2E殁必r+2？+解得一2+E系+2+E/eZ.

26236

所以函数/(处的单调增区间为I-+履，J+履超eZ,

3o

(2)若选择①

由题意可知,不等式/3)..，〃恒成立，即科J⑶..

因为xe白谭,所以3融X+?9

122J366

故当2x+[=],即xj时，取得最小值，且最小值为/信1=7.

662

所以，砥-1，实数〃？的取值范围为(一--|].

若选择②

由题意可知,不等式/(幻一切有解，即科J(X)g.

因为X6卷5,所以酒+*等.

12ZJ366

故当2x+U，即x=g时，Ax)取得最大值，且最大值为小卜2.

626ko/

所以〃4,2,实数〃2的取值范围(口,2].

例2.(2022春•重庆渝中.高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知小〃，c分别为为C内角AB,C的对边，若

ABC同时满足下列四个条件中的三个：①。=6；②。=2；③smB+：inC二等;④

sinAb-c

ccXJ-sinBsinC=—

24

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？

(2)请在(I)所有组合中任选一组，求对应A8C的面积.

b+ca+ca2+c2-b2iO

【解析】(1)对于③,----=----=>-----------5，Bw(0,乃)B=

b-c2ac

对于④，।+8，,_^1-sinBsinC=；ncos(B-C)-2sin/?sinC=一^,

BPcos(B+C)=-i,且A+8+C=7r,0vA及Cv兀，则从=三,

故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②®.

(2)选①0③：々=6,〃=2,8=与时,

a2+c2-b-13+C2-4

由氽弦定理：cos3-s-_______

2ac2-2限’

整理得：c2+V3c-l=0fic>0,则0=-

2

3("叫

：.^ABC的面积为S=—aca'\nB=

.,lot28

选①②④：a=G,b=2,A=1时,

+/_\4+?-3

由余弦定理：cosA=-------=>-=-------

2bc24c

整理得：。2一20+1=0,则c=1,

二.cABC的面积S.=—Z?c?sin/1=

BC22

例3.(2022春浙江•高二期中)在①c(sinA-sinC)=(〃一8)(sinA+sin5),@2bcosA+a=2c,③

友acsin8=/+c2-o2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

3

(1)求角8的大小:

(2)如图所示，当sinA+sinC取得最大值时，若在，A8C所在平面内取一点。(D与3在AC两侧)，使得

线段Z)C，=2,/M=I,求△8CO面积的最大值.

【解析】(1)若选①c(sinA-siIlC)=(4-〃)(sinA+sin好,

由正弦定理得，c(a-c)=(a-b)(a+b)t整理得/+/一〃=比

JI

所以cosB=&+'———-,又0<BCTC,所以8

2aclac23

若选②2bcosA+a=2c,

由余弦定理得幼弋l+a=2c,化简得

2

所以cos4=a+c-b又0＜8＜兀，所以8=[；

lac2ac23

若选③名叵acsinB=a2+c2-b2，

3

由余弦定理得，冬叵acsinB=laccosB，

3

化简得tan3=Ji,又0＜8＜兀，所以3=]

(2)由(1)得A+C号,故0<A<?,

JJ

271.I.兀

所以sinA+sinC=sinA+sin-A=—sinA+—cos/\=>/3sinA+—

)22(6J

由?＜4+三＜号，所以当4+?=?即4=?时，sinA+sinC取得最大值右,

666623

令NAOC=a,AB=AC=BC=a,

在《AC£＞中由正弦定理可得，一―二七二，所以sina=asin8,

sinasin。

由余弦定理可得a'=22+1'-2x2x1xcosa=5-4cosfz,

所以a2cos20=a2(1-sin2夕)=a2-a2sin20

=5-4cos«-sin2a-cos2a-4cosa+4=(2-cosor)2,

因为D4=l,OC=2,可得0<。<四，所以acQs6=2-cosa,

^2]

S.HCD=-x«x2xsin|-+=——0cos0+—asinO

21322

-cos6r)+—sin«=sin|a--+>/3<l+>/3,

72I3

当且仅当a-?二1即。;乎时，等号成立,

32o

所以△8C£＞面积的最大值为6+1.

核心考点二：数列

【典型例题】

例4.（2022春•广东•高三校联考阶段练习）已知等差数列｛凡｝前〃项和为S.,再从条件①、条件②、条件③

选择一个作为已知，求:

（1）数列｛4｝的通项公式;

4.、

⑵设a=/二?（〃e"）,求数列也｝的前〃项和乙.

条件①52=8,S4=24；条件②4=5.%+%=18；条件③4=3,S6=48.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】（1）设等差数列｛q｝首项，，公差/，

选条件①：由己知邑=8,S4=24得

S2=4+%=2%+4=84=3

,解得d=2故a”=3+(刀-1)x2=2刀+1,

S&=a1+%+%+%=4q+6J=24

a,=6+d=54=3

选条件②:由已知%=5,%+%=18,得・团+外二为+6人.解得1

d=2

a”=3+(M-1)x2=2M+I,

选条件③：由已知q=3,S6=48,则生=6(＞；综)=48,所以q+牝=2%+5d=16,

解得4=2,即3=3+(,L1)X2=2/：+1,

综上所述，数列｛为｝的通项公式为勺=2〃+1

44111

(2)由(1)问的结论代入b”=1--=2]=/=------，

an-1(2n+l)-1〃(〃+1)nn+\

rIF,,,,,11111n

则1=4+4+4++^=,-T+7-^++-----7=—

223n/:+1n+1

所以数列出｝的前〃项和7；=&.

例5.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列｛q｝是等比数列，其前〃

项和为S..

（I）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求｛%｝的通项公式：

①S“=2-耳；@S2=2a,+1,Sy=6a4+1；

⑵在（1）的条件下，若b“=%…求数列出｝的前〃项和。

【解析】（1）设等比数列的公比为4，9*0,

若选①，4=5=2-卬，q=1,

〃22时，%=S0-Si=2-勺一（2-《I）=,

5=g=q，

可得2。“=%,

°n-\2

所以凡=（；

若选②，$2=2%+1,S3=6a4+1,所以q+〃2=2%+L/+%+%=66+1,

可得2%+1+。3=64+1,所以q=g,4=1,at

<2

1,所以*=

(2)b-

n23/1-1QH9

3-2hn丁一千

Q3n-2

所以也｝是公比为《首项为4的等比数列，

故工=*5+~+

2，”-2

例6.（2022春・福建•高三校联考阶段练习）从①〃,二泮，；②"=（7）"（«向+凡）；③”,=二三个

Van+I+XjanUn

选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列｛%｝,｛2｝满足力＞（）,且4=1，/-，*=勺+4

，求数歹时。｝的前〃项和S.,.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

1I,

【解析】因为。“一外讨4+44>1，所以-------二1，

an

又因为6=1,所以‘=1,所以'=〃，

4

1

yJn+\+\fn

所以5a=0-*+#-员・“+册力-«=>/^-1，

选②：勿=（一1）”（。川+6M（-此+白

1\1㈠)".

所以S”=+—+(-1)"―+---------------19

2)U3、nn+1n+1

2"

选③：bn=—=n-T,所以S“=2+2X22+3X23+...+〃・2”,

%

2S,=2?+2x2,+3x2"+...+〃・2。

两式相减,可得S"=〃・2"X_(2+22+,+2")=〃•2'm—2,一；)=(〃_1)2'用+2

核心考点三：立体几何

【典型例题】

例7.(2022春•云南楚雄•高三校考阶段练习)在四棱锥尸-A8CD中，出，平面相。,£为棱PB中点,

PA=AD=CD=ZBC=3,PC=20再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

条件①：AB=#;

条件②：8。，，平面2475.

(1).求证：BCLCD；

⑵.求直线4E与平面PCO所成角的正弦值.

【解析】(I)如图，连接AC,因尸A_L平面A8CO,ACu平面A8CO,则H4_LAC.

又PC=26，24=2,则AC=2血.注意到AQ=DC=2,则△AQC为等腰直角三角形，其中

冗71

ZACD=-,ZADC=-.

42

若选条件①，由余弦定理可得，

COSAACB='C=8+9^5=结合/AC8为三角形内角，得乙4CB=J,又

2AC-BC2x2亚x324

7T7T

ZACD=-t则NBCO=-，即BC_LCQ.

42

若选条件②，因8C/平面PA。，BCu平面A8CD,平面ABC。G平面?4力=A。，

7E7T

则BC〃AD,又NAOC=-,则NBCD=-，U^BCICD.

22

(2)若选条件①，由(1)可得N8CO=/ADC=],则8C〃AO,

故建立以4为坐标原点，如卜图所示空间直角坐标系(工轴所在直线与。C平行)

又E4=4£>=C/)=2,BC=3,AB=y/5,

则A（0,0,0）,4（2,-1,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,EI,

\

（1/、UUU,

则AE=1,-耳，1,DP=（0,-2,2）,DC=（2,0,0）.

n-DP-02z-2y=0

设平面PC。法向量为〃=(x,y,z),则n

n-DC=02x=0

取〃=(0J1)，乂设A£与平面PC。所成角为0.

/?-I_2_亚

则sin夕=cos（〃，AE）=

THl=Ip^l=T

即直线AE与平面PCD所成角的正弦值为也

6

若选条件②，由(1)可得BC〃9，故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系(X轴所在直线

与DC平行)

因N3CO=],则NACB=?,

则由余弦定理可得AB2=AC2+CB2-2AC•C8.cos；=>=6.

4

又PA=AD=CD=2,BC=3,

（1

则A（0,0,0）,B（2,-1,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E

k2

（]、、uuu

则AE=1,一耳，1,DP=（y0-2,2）,DC=（2,0,0）.

/iDP=（）2z-2y=0

设平面尸CO法向量为〃=(x,y,z),则，=>

n-DC=02x=0

取“=(0,1,1),又设4E与平面尸CO所成角为0,

n-AE

则sin。-cos一

6

n-AE1・拒

即直线4E与平面PC。所成角的正弦值为巫.

6

例8.(2022春・新疆伊犁・高二校考期中)从①AB_L3C：②直线SC与平面A8CO所成的角为60。；③△

ACD为锐角三角形且三棱锥S-AC。的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解

答.

如图，在四棱锥S-ABCO中，底面A8CO是菱形，SA_L平面A8CO,E,尸分别为A8,SC的中点.

(1)求证：直线EP〃平面SA。；

(2)若SA-26，AO=2,,求平面SBC与平面SCO所成锐二面角的余弦值.

【解析】(1)取SD的中点连接M凡AM,

•・•尸为SC的中点

C.MF//CD,MF=^CD,

•・•四边形ABC。是菱形，E为A/6的中点，

：.AE//CDfAE=yCD,

:.MF"AE、MF=AE,

・•・四边形AEFM为平行四边形，

：,EF//AM,

YERZ平面SAD,AMu平面SA。，

/〃平面SAD.

s

(2)选择条件①:

•.•5A_L平面A3cD,

：,SALAB,SALAD,因为AO〃BC,AB_L8C,

所以48_LA。,

故以A为原点，AB,AD,AS所在直线分别为x、)，、z轴建立如图所示的空间直.角坐标系,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),SCO,0,2G),

/.BC=(0,2,0),SC=(2,2,-273),CD=(-2,0,0),

设平面SBC的法向量为m=(x,_y,z),

BC=02y=0

nn“2=(6,0,1),

SC=02x+2y-2y/3z=0

同理可得，平面SCD的法向量为〃=(0,6,1)，

..11

8式风力=丽=双二'

故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为!.

4

选择条件②：

连接AC,

•••S4_L平面A8CO,

/.ZSCA为直线SC与平面A8CO所成的角，即NSCA=60。,

VSA=2>/3,：.AC=2f

•••△A8C为等边三角形，

取BC的中点N,连接AM

以A为原点，AN,AD,AS所在直线分别为x、），、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

4（0,0,0）,B（75，-1,0）,C（73，1,0）,D（0,2,0）,S（0,0,2石）,

：.BC=（0,2,0）,SC=（G，I，-26），CO=（-⑸1,0）,

设平面SBC的法向量为in=（x,y,z）,

m-BC=02y=0

==>m=(2,0.1)

mSC=()丛x+y-2Gz=0

同理可得，平面SCD的法向量为〃=（1,逐,1）,

m-n2+13

COS〈〃7,〃)

|m|-|n|x/5x5/55

选择条件③:

1c,c,…1c,ADCDsinZADCIrr2x2snZ4DC

VSACD=-SA・S»CZ)=-SA------------------------------x2J3x-------------------

33?.32

・・・sinNAQC=g

2

VZADCe(0,-),Z.ZADC=-,

23

：.AC=2,

•••△48C为等边三角形，

取BC的中点M连接AN,

以A为原点，AN,AD,AS所在直线分别为x、)，、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

A(0,0,0),8(G，-1,0),C(>/3,1,0),D(0,2,0),S(0,0,),

ABC=(0,2,0),SC=(石，1，-26),CD=(-6,1,0),

设平面SBC的法向量为m=（x,y,z）,

in-BC=02y=0

=>\rr=〃？=(2,0,1),

m-SC=0V3x+y-2\/3z=0

同理可得，平面SC。的法向量为〃=(1,J5,1),

.、m-n2+13

8M'吐丽fFTS

3

故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为1.

例9.(2022春•四川遂宁•高二遂宁中学校考期中)从①8G=2GC，②G是依的中点，③G是PBC的内

心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥P-AAC。中，底面是矩

形，底面ABCD,且。。=1,AB=G，AO=2,E,尸分别为PC,BD的中点.

(1)判断EF与平面弘。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若G是侧面尸8C上的一点，且________,求三棱锥G-OEC的体积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(1)所〃平面PAO,理由如下：

如下图所示，连接AC,

因为四边形A8C。为矩形，且点尸为8。的中点，则点尸为AC的中点,

又因为E为PC的中点，所以稗〃PA,

平面夕人。，户人＜=平面nI。，.・・£///平面A4。；

(2)•・•四边形A8CO为矩形，则8C_LCD,

•・•POL平面A8CO,4Cu平面ABC。，・・・AC_LPQ,

♦:CD\PD=D,・•.8C1平面PCQ.

•••E为尸C的中点，则S,“EC=1SAPCD=；CDPD=：义造义1=*.

2

选①：•；BG=2GC，则GwBC,・・.GC_L平面尸CO,JSGC=-BC=-,

，J

._1/JG2_5/3

匕z，）“二-3c八八”,OC=-xx—=;

G-DEC334318

选②：・・・G、E分别为PB、PC的中点，・・・GE〃8C,且GE=；AC=1,

BC1平面QC。，，GE_L平面PCD,

选③：设AP8c的内切圆切PC丁点“，连接G”，则G〃_LPC,

•・•BCJ平面PC。，PCu平面PC。，；・BC上PC,

在平面P8C内，BC工PC,GHLPC,则G”〃8C,.二G”JL平面PCQ,

PC=dP!f+Clf=2,PB=ylPC2+BC2=272»

由等面积法可得SAMcnjBCPCnglPC+BC+PZOG”,

所以，GH=—BCPC—=-，=2-夜，

uBC+PC+PB4+2收

所以，VG-DTSMECGH=%与小一五）=当普

JD।14

H

核心考点四；函数与导数

【典型例题】

InY

例10.(2022•浙江•模拟预测)己知函数/。)=次-'+—.

x

⑴若x=l是/(力的极值点，求3

⑵若毛，4分别是/(X)的零点和极值点，证明下面①，②中的一个.

①当〃>0时，111%〈片一%+1；②当”<。时，Inx,<2xu-1.

注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(1)因为/(x)=ae、+叱，所以/")=一讹一"+^^,

xx~

若％=1是函数八幻的极值点，则r⑴=0，r⑴=-恁」+号1=0,即…,

此时/(%)=]_「c[一m”,

设8。)=1一/管-“一m工，则8'(幻=-2小1+1%」一+，身'(1)=-2，

所以存在用<1<〃，使得当xe("3?)时，gfM<0,g(x)单调递减，

当』«〃?」)时，八/=晔>驾=0,/")单调递增，当时，八幻=驾(驾=0,/(幻单调

XXXJC

递减，

所以当时，x=l是/(x)的极值点.

(2)选择①：

因为题,用分别为/(x)的零点和极值点，所以/(/)=优/+3=0,〃=-£3

「，/、.t,1-InXjeA,(1-In)er,(lnx)-1)In

/(x,)=-t/er'4---i-=0,a=—~所以一〃=—i―--=---------

内内M与

当4〉0时，©0n7_，=eIn.<0,则hi/<0,ln%<1,即Ov/vl,0<%ve,

333

因为七一方+121，所以当111%<屋即0<*</时，In』<£-.”+1成立，

当时，若X4映。，则只需证明ln/<x：—/，

设上(幻:£>^,则3)=/(.-2m7+3),

X1

设尢(x)=xlnx-2Inx-x+3,

22

则岑(幻=Inx-一为增函数，且勺⑴=-2<0湍(e)=1—>0,

xe

2

所以存在唯一/eae,使得&：(&)=In/--=0,

当.丫6(1,马)时，攵：。)<0,《⑶单调递减，当xe(0,+8)时，/(x)〉0,勺(幻单调递增,

4

故&(x)N匕⑷=5-(/+一)>0,所以K(x)〉0,依x)单调递增，

“2

所以须£0%,则一(E：-1)=出也qe'lnjo,等价于玉芦加尔0。

二与e-幅

设m(x)=xe2^-l,则，〃'(x)=[(l-ejA+lJe^1^,

当f4%WeXoVe时，若e^Kxcl时，(1-e)x+l<0，加(x)<°，”(幻单调递减，

所以当eT$x<i，〃?(用>皿1)=6'-1>0,所以当时，内4e%o<e成立，

设心Xlnx-Y+x,则4(x)」-2x+l,

x

当0<x<1时，〃'(x)>0,〃(x)单调递增所以当()<x<1时，〃3〈〃⑴=0,

即InxQ<x；-x0,lnR<x：-xQ+1成立,

综上，若飞，4分别