山东省泰安市长城中学2026届数学高二上期末考试试题含解析

山东省泰安市长城中学2026届数学高二上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）A. B.C. D.3．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（）A. B.C. D.4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．若，，且，则（）A. B.C. D.6．已知函数，.若存在三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知四面体中，，若该四面体的外接球的球心为，则的面积为（）A. B.C. D.8．已知点到直线：的距离为1，则等于（）A. B.C. D.9．圆与的公共弦长为（）A. B.C. D.10．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.11．直线经过两点，那么其斜率为（）A. B.C. D.12．某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，……，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出的第6个个体是（）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.14．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.15．若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为______.16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.18．（12分）给定函数.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；（3）求出方程的解的个数.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心（高的交点），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由.20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.22．（10分）已知数列中，，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.2、A【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解【详解】双曲线中的，所以离心率，因为双曲线是黄金双曲线，所以，两边平方得，解得或（舍去），故选：A3、A【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因为S−ABC是正三棱锥。所以，以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以.故选：A.4、D【解析】求出函数在时值的集合，函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，当时，，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则在上值的集合为，因函数的值域为，于是得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D5、A【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故选：A6、B【解析】根据题意，当时，有一个零点，进而将问题转化为当时，有两个实数根，再研究函数即可得答案.【详解】解：因为存在三个零点，所以方程有三个实数根，因为当时，由得，解得，有且只有一个实数根，所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，所以令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，所以的图象如图所示，所以有两个实数根，则故选：B7、C【解析】根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可.【详解】由图设点为中点，连接，由，所以，面，则面，且，所以球心面，所以平面与球面的截面为大圆，延长线与此大圆交于点.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圆半径为，设三角形的外接圆圆心为点，则面，有，则，设的外接圆圆心为点，则面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圆半径为，所以，又三角形中，，所以为的角平分线，则，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中点，由，所以，故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键.8、D【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.9、D【解析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.10、A【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.11、B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则故选：B12、D【解析】从指定位置起依次读两位数码，超出编号的数删除.【详解】根据题意，从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，依次选出的号码数是：12，34，29，56，07，52；所以第6个个体是52.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.4②.【解析】巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.【详解】，当且仅当即，时等号成立.故答案为，【点睛】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题14、##【解析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.15、【解析】由焦距可得c，长轴长得到a，再根据可得答案.【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，由，得，则椭圆的标准方程为：.故答案为：.16、【解析】令则，∴在R上是减函数又等价于∴故不等式的解集是答案：点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2)该公司平均每天的利润有1000元．(3).【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.【详解】（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，故E和F的重量数分别有，，，，共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）故所求概率为.【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.18、（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.【小问1详解】，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.【小问2详解】作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.【小问3详解】结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.19、（1）（2）存在：【解析】（1）根据题意，列出关于a，b，c的关系，计算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F点坐标，可得直线BF的斜率，根据F为垂心，可得，可得直线l的斜率，设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，结合垂心的性质，列式求解，即可得答案.【小问1详解】因为焦距为4，所以，即，又过点，所以，又，联立求得，所以椭圆C的方程为【小问2详解】由（1）可得，所以，因为F为垂心，直线BF与直线l垂直，所以，则，即直线l的斜率为1，设直线l的方程为，，与椭圆联立得，，所以，因为F为垂心，所以直线BN与直线MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又时，直线l过点B，不符合题意，所以，所以存在直线l：，满足题意.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得设，，，，则，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在点使得21、（1）（2）详见解析.【解析】（1）由，求导，得到，写出切线方程；（2