2026届河北省保定市涞水县波峰中学高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2026届河北省保定市涞水县波峰中学高二数学第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的各项均为正数，且，则（）A.5 B.10C.4 D.2．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e3．已知函数，则的值为（）A. B.C. D.4．已知向量，且，则的值为（）A.4 B.2C.3 D.15．已知是函数的导函数，则（）A0 B.2C.4 D.66．若直线与圆只有一个公共点，则m的值为（）A. B.C. D.7．与的等差中项是（）A. B.C. D.8．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（）A.必要不充分条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件9．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.10．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.11．过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.12．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线的准线上任意一点做抛物线的切线，切点分别为，则A点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值为___________14．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得；②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角45°.其中所有正确结论的序号是___________.15．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）16．已知函数在R上连续且可导，为偶函数且，其导函数满足，则不等式的解集为___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围18．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少19．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；20．（12分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21．（12分）求适合条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.22．（10分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A2、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B3、C【解析】利用导数公式及运算法则求得，再求解【详解】因为，所以，所以故选：C4、A【解析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.【详解】因为，所以，因为向量，，所以，解得，所以的值为，故选：A.5、D【解析】由导数运算法则求出导函数，再计算导数值【详解】由题意，，所以故选：D6、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为，直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切，所以.故选：D7、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A8、A【解析】由于在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果.【详解】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选：A.9、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B10、B【解析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.11、A【解析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.所以直线方程为.故选：A.12、B【解析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】设，，，，由可得，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值【详解】解：设，，，，由可得，所以，所以直线，的方程分别为：，，联立，解得，即，，又有在准线上，所以，所以，设直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，可得，所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，即直的方程为：，代入抛物线的方程：，，所以，点到准线的距离与点到准线的距离之和，所以当时，距离之和最小且为8，这时直线平行于轴故答案为：814、②③【解析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，，所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；对于③，，，由②的讨论得，所以，所以，设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，所以，故，由于要使直线与为异面直线，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，由于，所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.故答案为：②③15、1296【解析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个故答案为：129616、【解析】由已知条件可得图象关于对称，在上递增，在上递减，然后分四种情况讨论求解即可【详解】因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以的图象关于对称，因为，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，综上，，所以等式的解集为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范围【详解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3∴m的取值范围是[0，3]【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55（2）2.375小时，2.4小时（3）【解析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.【小问1详解】设初中、高中年级所抽取人数分别为x、y，由已知可得，解得；【小问2详解】的频率为，的频率为，的频率为因为，，所以中位数在区间上，设为x，则，解得，所以学生做作业时间的中位数为2.375小时；平均时长为小时.故估计学生做作业时间的中位数为2.375小时，平均时长为2.4小时【小问3详解】2人来自初中年级，记为，，3人来自高中年级，记为，，，则从中任选2人，所有可能结果有：，，，，，，，，，共10种，其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为19、【解析】甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付费用相同的概率；【详解】两人所付费用相同，相同费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为，两人都付40元的概率为，两人都付80元的概率为，故两人所付费用相同的概率为.20、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；（2）由题可知，列出不等式组即可求解.【详解】解：（1）当a＝2时，命题q：2＜x＜4，∵命题p：x≤2或x＞6，，又为真命题，∴x满足，∴2＜x＜4，∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；（2）由题意得：命题q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要条件，，，解得，∴实数a的取值范围.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含21、（1）或（2）【解析】（1）待定系数法去求椭圆的标准方程即可；（2）待定系数法去求椭圆的标准方程即可.【小问1详解】当椭圆焦点在x轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为当椭圆焦点在y轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为【小问2详解】椭圆方程可设为，则，解之得，则椭圆方程为22、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；（2）在2026届