高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第4节基本不等式及其应用

第四节基本不等式及其应用课标要求1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.必备知识·整合〔知识梳理〕1.基本不等式ab≤a+b2等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.提醒在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立.2.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a+b2，几何平均数为ab3.利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2p（2）如果x+y是定值q，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是q244.几个重要的不等式(1)a2+〔课前自测〕1.概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.（1）不等式a2+b2≥2ab（2）函数y=x+1x(x>0)（3）函数f(x)=sinx+4（4）已知x,y均为实数，则“x>0且y>0”是“xy+y2.若x，y均为正实数，x+y=4,则xy的最大值是4.3.易错题函数y=1−2x−3x(x<0)[解析]因为x<0，所以y=1−2x−3x当且仅当x=−62故函数的最小值为1+26易错提醒本题应用基本不等式时易忽略“正”致误.4.（新教材改编题）函数y=x(3−2x)(0≤x≤1)的最大值是98[解析]因为0≤x≤1，所以1≤3−2x≤3，所以y=12⋅2x⋅(3−2x)≤12即x=345.已知a>0，b>0，a+b=1，则1a+2[解析]1a+2b=(a+b)⋅(1a+2b)=3+关键能力·突破考点一利用基本不等式求最值角度1直接法求最值例1（1）[2022山东济南三模]已知正实数a，b满足ab=4，则1a+9[解析]1a+9b≥2（2）若0<x<6，则x(6−x)的最大值为3.[解析]因为0<x<6，所以x>0，6−x>0，由基本不等式得，x(6−x)≤(x+6−x2)2=3方法感悟利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正、二定、三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数.（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值.（3）“三相等”就是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用对勾型函数的单调性求最值.角度2拼凑法求最值例2[2023湖南长沙二模]函数y=x+1x+2(x>−2)A.3 B.2 C.1 D.0[解析]因为x>−2，所以x+2>0，1x+2>0x+1x+2当且仅当x+2=1x+2即x=−1时等号成立.方法感悟拼凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.角度3常数代换法求最值例3[2022福建泉州模拟]若正实数x，y满足1x+y=2，则x+4A.4 B.92 C.5 D.9[解析]因为x，y是正实数，所以xy>0，故x+4y=12(1x+y)(x+4y方法感悟常数代换法求解最值的基本步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值.角度4消元法求最值例4[2023浙江杭州高三月考]已知5x2y2+[解析]解法一：易知y≠0，由5x2y2+则x2+y2=即y2=12时取等号，则x2解法二：4=(5x=254则x2+y2≥即x2=310，y2=12方法感悟消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围.1.[2022湖北荆州期中]若a>0，b>0，且a+2b=4，则ab的最大值为(D)A.14 B.4 C.12 D.[解析]∵a>0，b>0，∴a+2b≥22ab，所以22ab≤4，解得ab≤2，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时等号成立.故2.[2022广东惠州二模]函数f(x)=x2−4x+5A.最大值52 B.最小值52 C.最大值2[解析]解法一：∵x≥52，∴x−2≥12>0，则x2−4x+5x−2解法二：令x−2=t，则t≥12，x=t+2，则原函数可化为y=(t+2)2−4(t+2)+5t=t2+13.[2022辽宁沈阳模拟]已知正实数x，y满足2x+1y=1A.2 B.4 C.8 D.12[解析]由x>0，y>0，2x+1y=1所以4xy−3x−6y=4x+8y−3x−6y=x+2y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy4.已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为6.[解析]解法一（换元消元法）：由已知得x+3y=9−xy，因为x>0，y>0，所以x+3y≥23xy，所以3xy≤(x+3y2)2，当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号，所以x+3y+13(x+3y2)2≥9，即(x+3y)2+12(x+3y)−108≥0解法二（代入消元法）：由x+3y+xy=9，得x=9−3y1+y，所以x+3y=9−3y1+y+3y=9−3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+y=3(1+y考点二利用基本不等式证明不等式合作探究例5[2022山西大学附属中学高三诊断测试]已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1.求证：(1[答案]证明因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，所以1a−1=1−aa=b+ca≥上述三个不等式两边均为正数，分别相乘，得(1a当且仅当a=b=c=13变式.若本例的条件不变，求证：1a[答案]证明1a+1b+方法感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立；②巧用“1”的代换证明不等式；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.5.[2023广东湛江期中]已知a>0，b>0，且a+b=1a+[答案]证明a+b=1a+1b则ab=1，即a+b≥2ab=2当且仅当a=b=1时，等号成立，所以a+b≥2.考点三基本不等式的实际应用例6[2023广东佛山期中]如图，某房地产开发公司计划在一个楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区（阴影部分）A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B（1）求矩形ABCD所占面积S（单位：m2）关于x[答案]因为休闲区的长为xm，休闲区A1B1C所以休闲区的宽为1000从而矩形ABCD的长与宽分别为(x+16)m，(1因此矩形ABCD所占面积S=(x+16)⋅(1（2）要使公园所占面积最小，试问：休闲区A1[答案]S=(x+16)(1000x+10)=10(x+即x=40时取等号，则休闲区的宽为1000因此要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1方法感悟利用基本不等式解决实际问题的策略（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，则可以利用函数的单调性求解.6.[2022山东济南模拟]单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0为安全距离，A.135 B.149 C.165 D.195[解析]由题意得，N=1000v0.7v+0.3v2+30=1000考点四基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例7（1）[2022湖北黄冈中学三模]已知二次函数f(x)=ax2+2x+c（x∈R，a，c为常数）的值域为[1,+∞)，则A.−3 B.3 C.−4 D.4[解析]因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞)且f(x)min=4ac−44a=ac−1a=1，所以所以1a+4c=c+4c−1≥2（2）[2022福建莆田华侨中学模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若AE=xAB+yAC，则A.4 B.6 C.8 D.9[解析]由题意及共线向量定理可设BE=λBD∵AE=(1−λ)AB+∴x=1−λ，y=λ2∴2x+1y=21−λ+2λ角度2求参数的值或取值范围例8[2023湖北天门模拟]若∀x，y>0，x+y+2xy≤a(2x+3y)成立，则实数a的最小值是(A.45 B.56 C.63 [解析]由x>0，y>0，得4x>0，9y>0，所以4x+9y≥24x⋅9y=12xy，当且仅当4x=9y时等号成立，所以10x−6x+15y−6y≥12xy即5(2x+3y)≥6(x+y+2xy)，由2x+3y>0，得x+y+2xy2x+3y≤56，当且仅当4x=9y时等号成立，所以x+y+2xy2x+3y的最大值为故a的最小值为56方法感悟（1）当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用基本不等式求最值.（2）求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或取值范围.7.[2022山东日照二模]已知第一象限的点M(a,1b)在直线3x+4y−1=0上，则1[解析]因为第一象限的点M(a,1b)在直线3x+4y−1=0上，所以3a+4b=1，所以1a+3b=(3a+4b)(1a+3b)=15+8.已知a>0，b>0，a+2b=2，若2a+4b≥m[解析]由题意及基本不等式可得2a+当且仅当a=2b=1时，等号成立，所以m≤4.因此实数m的取值范围是(−∞,4].拓展视野基本不等式链基本不等式ab≤21a+以上不等式中，21a+1b，ab，a+b2，一、利用基本不等式链求最值例1（1）当−12<x<52[解析]由a+b2≤a2+则y=2x−1+当且仅当2x−1=5−2x，即x=（2）已知x，y均为正实数，且1x+2+1y+2=[解析]解法一：x+y2=(x+2)+(y+2)2−2≥21x+2解法二：∵x，y均为正实数，且1x+2+∴6(1x+2+1y+2)=1，则x+y=(x+2)+(y+2)−4=6(1x+2二、利用基本不等式链证明不等式例2已知a，b，c都是非负实数，求证：a2[答案]证明由a2+b22同理可得b2+c2≥相加可得a2+b2+分层突破训练基础达标练1.已知x>1，则(B)A.x+1x−1>3 B.x+1x−1≥3 C.2.[2023湖北武汉模拟]已知正实数x，y，则“x+y=1”是“1x+1A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]x+y=1时，1x+1y=(当x=y=13时，1x+1故选B.3.函数y=x2+2A.23+2 B.23−2 C.23[解析]∵x>1，∴x−1>0.∴y=x=(x−1≥2(x−1)⋅3当且仅当x−1=3x−1即x=1+34.[2022广东北江实验学校模拟]若直线ax+by−1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2A.[18,+∞) B.(0,18] C.[解析]由题意得，直线ax+by−1=0过圆心(1,2)，所以a+2b=1，所以22ab≤1即ab≤18，当且仅当a=2b即a=12，b=14又a>0，b>0，所以ab∈(0,185.[2023广东茂名二模]已知正实数a，b满足2a+b=ab，则a4−2A.0 B.2 C.4 D.6[解析]易知a≠1，∵2a+b=ab，∴2a=b(a−1)，∴b=2aa−1∴a4−2b=a46.多选题在下列函数中，最小值是2的函数有(AD)A.f(x)=x2+1xC.f(x)=x2+4x2[解析]对于选项A，∵x2>0，∴由基本不等式可得x2+1x2≥2，当且仅当对于选项B，∵0<x<π2，∴0<cosx<1，由基本不等式可得cosx+1cosx≥2，当且仅当cosx=1cosx对于选项C，由基本不等式可得f(x)=x2+4x2+3=x对于选项D，∵3x>0，∴由基本不等式可得f(x)=3x+437.[2021天津，13,5分]若a>0，b>0，则1a+a[解析]∵a>0，b>0，∴1a+ab2+b≥21a×a8.[2022湖北襄阳四中高三一模]已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>[解析]∵x>0，y>0，且2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)⋅(2x+1y)=4+xy+4yx≥4+2xy⋅4yx=8，当且仅当xy=4y9.（1）当x<32时，求函数[答案]y=12当x<32时，3−2x>0∴3−2x2当且仅当3−2x2=83−2x∴y≤−4+32=−52（2）设0<x<2，求函数y=x(4−2x)[答案]∵0<x<2，∴2−x>0，∴y=x(4−2x)=当且仅当x=2−x，即x=1时取等号，∴当x=1时，函数y=x(4−2x)的最大值为210.某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元（1）将y表示为关于x的函数；[答案]易得绿化的面积为2×2×x+2×2×(200x中间区域的面积为(x−4)(200x故y=(4x+800x由x−4>0，200x−4>0可得4<x<50，故y=400x+80（2）当x取何值时，总造价最低？并求出最低总造价.[答案]由基本不等式可得400x+80000x+18400≥400×2200+18400=8000211.已知a>0,b>0，且a+b=4.求证：（1）1a[答案]证明由a+b=4，得a+b+1=5，所以(1a+1b+1)×1=1=(1a+1b+1（2）4ab[答案]4ab+ab=(a+b)2能力强化练12.[2023湖北十堰三模]函数f(x)=16x+A.4 B.22 C.3 D.4[解析]因为16x+14x≥216x2×2x+12x−1=2×2所以f(x)的最小值为4.13.[2022山东枣庄一模]多选题已知正实数a，b满足a2+bA.a+b的最大值是2 B.ab的最大值是12C.a−b的最小值是−1 D.ab−2的最小值为−[解析]由(a+b2)2≤a2+由ab≤a2+b22得由正数a，b及a2+b2=1知0<a<1，0<b<1，可得−1<−b<0令ab−2=k，则a=k(b−2)，两边同时平方得k2(b−2)2=a2=1−b2，整理得