2025年《中学数学》预测题

2025年《中学数学》预测题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=.(A){x|-1<x<1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x>-1}(D){x|x<2}2.复数z满足i(z-2)=1+i，则z=.(A)1-i(B)1+i(C)-1-i(D)-1+i3.函数f(x)=log₃(x+1)的定义域是.(A)(-∞,-1)(B)(-1,+∞)(C)[-1,+∞)(D)(-∞,-1]∪(-1,+∞)4.若函数g(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为T，则T=.(A)π(B)2π/3(C)3π/2(D)π/35.在等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则a₅=.(A)-3(B)-1(C)1(D)36.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:ax-3y+4=0平行，则a=.(A)-6(B)6(C)-3(D)37.点P(x,y)在直线x+y=4上，则z=x²+y²的最小值是.(A)4(B)8(C)16(D)328.若向量$\vec{a}=(1,k)$与向量$\vec{b}=(3,-2)$的夹角为钝角，则k的取值范围是.(A)k>3/2(B)k<-3/2(C)k>-3/2且k≠3/2(D)k<3/2且k≠-3/29.从6名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少有1名女生，则不同的选法共有.(A)16种(B)24种(C)32种(D)48种10.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A与B互斥，则P(A∪B)=.(A)0.3(B)0.7(C)0.9(D)1.0二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=.12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=3,b=4,C=60°，则c=.13.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则圆心C到直线3x+4y-1=0的距离d=.14.若数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁(n≥2)，a₁=1，则S₅=.15.在一项调查中，随机抽取了100人，其中喜欢篮球的有60人，喜欢足球的有50人，且两者都喜欢的有30人，则喜欢篮球或足球的人数为.三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin²x+cos(2x+π/4)。(1)求f(x)的最小正周期T;(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a²=b²+c²-bc。(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=3，求△ABC的面积。18.(本小题满分14分)已知数列{aₙ}是等比数列，a₂=6,a₅=162。(1)求数列{aₙ}的通项公式;(2)设bₙ=log₃(aₙ+1)，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。19.(本小题满分15分)已知直线l过点A(1,2)，且与圆C:x²+y²-4x+6y-3=0相切。(1)求直线l的方程;(2)求圆C上到直线l距离等于1的点的坐标。20.(本小题满分16分)一个袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中随机依次取出3个球，取出的顺序不同视为不同的取法。(1)求取出的3个球颜色都不同的概率;(2)求取出的3个球中至少有一个红球的概率。试卷答案一、选择题1.B2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.D9.C10.C二、填空题11.312.513.514.1515.80三、解答题16.解：(1)f(x)=2sin²x+cos(2x+π/4)=1-cos(2x)+(cos(2x)cos(π/4)-sin(2x)sin(π/4))=1-cos(2x)+(√2/2cos(2x)-√2/2sin(2x))=1-(1/2)cos(2x)-(√2/2)sin(2x)=1-√2/2sin(2x-π/4)T=π(2)令2x-π/4=π/2+kπ,k∈Z，得x=3π/8+kπ/2由于0≤x≤π，得x∈[3π/8,5π/8]令2x-π/4=-π/2+kπ,k∈Z，得x=-π/8+kπ/2由于0≤x≤π，得x∈[7π/8,π]当x=3π/8时，f(x)取得最大值，f(3π/8)=1+√2/2=(2+√2)/2当x=7π/8时，f(x)取得最小值，f(7π/8)=1-√2/2=(2-√2)/217.解：(1)由a²=b²+c²-bc，得cos(A)=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2由于0<A<π，得A=π/3(2)由余弦定理，得a²=b²+c²-2bc*cos(A)=4+9-2*2*3*(1/2)=7所以a=√7S△ABC=(1/2)*b*c*sin(A)=(1/2)*2*3*(√3/2)=3√3/218.解：(1)设数列{aₙ}的公比为q，由a₂=6,a₅=162，得a₁q=6,a₁q⁴=162解得q=3,a₁=2所以aₙ=2*3^(n-1)(2)bₙ=log₃(aₙ+1)=log₃(2*3^(n-1)+1)=log₃(3^n)=nSₙ=1+2+3+...+n=n(n+1)/219.解：(1)设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0圆心C(2,-3)，半径r=√(2²+(-3)²+3)=√16=4由直线与圆相切，得d=r，即|2k+3+2-k|/√(k²+1)=4解得k=-15/8所以直线l的方程为-15x/8-y+2+15/8=0，即15x+8y-1=0(2)由(1)知直线l的方程为15x+8y-1=0圆心C(2,-3)到直线l的距离d=|15*2+8*(-3)-1|/√(15²+8²)=49/17设圆C上到直线l距离等于1的点为P(x₀,y₀)则|15x₀+8y₀-1|/√(15²+8²)=1且(x₀-2)²+(y₀+3)²=16解得{x₀=-1,y₀=-3}或{x₀=9/17,y₀=-69/17}20.解：(1)总共有C(10,3)=120种取法取出的3个球颜色都不同