辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，解得或，集合，，，，解得，集合，．故选：C．2.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为命题“，”为真命题，所以，恒成立，所以.因为“”是“”的充分不必要条件；“”是“”的充分不必要条件；“”是“”的充要条件；“”是“”的必要不充分条件.故选：D.3.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意：在上恒成立.若，则不等式可化为，在上恒成立；若，由在上恒成立，可得.综上可知：.故选：A.4.已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】如下图：作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及，可知对应，对应，对应.故选：B.5.已知，，且，则的最小值是（）A. B.5 C. D.7【答案】D【解析】，，且，，，，当且仅当，即等号成立，的最小值为7．故选：D．6.设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知,当时，,则此时在上为单调递减，且值域为，当时，由可知，函数是以为周期的周期函数，且，结合函数的图像，当满足时，与有且仅有两个交点，即有且仅有两个解.故选：C.7.已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，令，则，则函数在上单调递增，对于不等式，由定义域可知，所以不等式可化为，即，因为在上单调递增；所以或（舍去），所以不等式的解集为.故选：B.8.已知函数满足，，且，则的最大值是（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，①．则交换可得，，化为②，由①②可得③，③中令可得，化简可得，当时等号成立，所以的最大值等于．故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列指数幂运算中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.已知两个实数、满足，则（）A. B.C. D.【答案】ABCD【解析】因为两个实数、满足，由重要不等式可得，故，当且仅当时，即当或时，等号成立，B对；另一方面，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，A对；对于CD选项，由题意可得，由重要不等式可得，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，D对；因为，故，所以，即，当且仅当时，即当或时，等号成立，又，C对.故选：ABCD.11.已知函数的定义域为，，且，则（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.【答案】ACD【解析】对A：令，由，由，故A正确.对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为.但，即函数过点，不经过，故B错误；对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；对D：由；由，用代替，可得，所以.所以，，…，，又，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则_________.【答案】【解析】因为，令时，.故答案为：.13.若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】因为函数有两个零点，，所以.又因为，，所以或，由；由.综上可知：.故答案为：.14.非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为_______.【答案】17【解析】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为.由题意：，，，，，，，又，所以.即三项活动都参加的人数为17.故答案为：17.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）15.函数满足对任意，都有，且，当时，.（1）判断并证明在上的单调性；（2）求不等式的解集.解：（1）在上是单调递减的函数，理由如下：任取，则，由已知得，则，∴，∴在上是单调递减函数．（2）令，得，所以．令，得，所以，所以为奇函数；由于，则，所以，又因为，所以．因为又因为，所以，由于在上是单调递减，，即，即，所以不等式的解集为.16.已知函数（且）的图象过点.（1）求的解析式；（2）设函数，求在上的最大值.解：（1）因为函数（且）的图象过点，所以，所以，所以，（2），令，则，当时，对称轴为，所以在上单调递增，所以，当时，，所以在上单调递增，所以，当时，对称轴为，若，即时，在上单调递增，，若，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上的最大值为.17.大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．解：（1）因为投入10万元，即，若只经销商品，则所获得的收益为万元；若只经销商品，则所获得的收益为万元.（2）设商品投入万元，则商品投入万元，可知总收益，若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元；若，则，可知的图象开口向下，对称轴为，则，所以在上的总收益最大值小于万元；因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.18.已知二次函数，其中且.（1）证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是；（2）若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根.解：（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则由韦达定理得：，即；充分性：若成立，此时方程一元二次方程的，方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根.所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.（2）当时，为奇数，当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数，所以同为奇数或同为偶数，假设有整数根，则，当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；综上，假设不成立，所以方程无整数根.19.我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）若函数满足为偶函数，求的值；（2）若