小学数学典型应用题讲解与训练

小学数学典型应用题讲解与训练小学数学应用题是数学学习的核心模块之一，它将抽象的数学知识与生活情境结合，既考查运算能力，更锻炼逻辑思维、分析问题的能力。典型应用题（如和差、行程、鸡兔同笼等）因结构典型、解法规律鲜明，成为提升解题能力的关键载体。掌握这类题的解题逻辑，能让学生举一反三，建立系统的数学思维体系。一、和差问题：已知两数和与差，求两数分别是多少概念：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的应用题，叫和差问题。数量关系：较大数=（和+差）÷2较小数=（和-差）÷2（或较小数=和-较大数；较大数=和-较小数）解题思路：先判断“和”与“差”对应的数量关系，通过公式将“和差”转化为“单一量”的计算。若题目未直接给出“差”，需先分析条件推导出差值。例题解析：例：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？分析：和为98，差为6。甲班是较大数，乙班是较小数。计算：甲班人数=（98+6）÷2=104÷2=52（人）乙班人数=98-52=46（人）（或乙班人数=（98-6）÷2=92÷2=46（人））同步训练：1.小明和小红共有邮票120张，小明比小红多16张，两人各有多少张？2.两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐各重多少？二、和倍问题：已知和与倍数，求两数概念：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。数量关系：总和÷（倍数+1）=较小数（1倍数）较小数×倍数=较大数（几倍数）（或总和-较小数=较大数）解题思路：将“1倍数”设为标准量，通过倍数关系把“和”转化为“1倍数”的（倍数+1）倍，先求1倍数，再求几倍数。若涉及“多倍量+额外数”，需先调整和，使总和对应“整倍数”。例题解析：例：果园里有桃树和梨树共120棵，梨树的棵数是桃树的3倍，两种树各有多少棵？分析：和为120，倍数为3，桃树是1倍数，梨树是3倍数。计算：桃树棵数=120÷（3+1）=120÷4=30（棵）梨树棵数=30×3=90（棵）（或120-30=90棵）同步训练：1.学校科技组和美术组共80人，科技组人数是美术组的4倍，两组各多少人？2.甲乙两数和为150，甲数是乙数的2倍多30，求甲乙两数。（提示：先将“和”调整为“整倍数”对应的量）三、差倍问题：已知差与倍数，求两数概念：已知两个数的差及它们的倍数关系，求这两个数的应用题。数量关系：差÷（倍数-1）=较小数（1倍数）较小数×倍数=较大数（几倍数）（或较小数+差=较大数）解题思路：与和倍问题类似，以“1倍数”为标准，差对应“倍数-1”倍，先求1倍数，再求几倍数。若差是“多倍量-额外数”，需调整差，使差对应“整倍数差”。例题解析：例：小明的邮票数是小红的5倍，小明比小红多36张，两人各有多少张？分析：差为36，倍数为5，小红是1倍数，小明是5倍数，差对应（5-1）倍。计算：小红邮票数=36÷（5-1）=36÷4=9（张）小明邮票数=9×5=45（张）（或9+36=45张）同步训练：1.爸爸的年龄是儿子的4倍，爸爸比儿子大27岁，父子各多少岁？2.甲仓库货物是乙的3倍，甲比乙多80吨，两仓库各多少吨？四、行程问题（一）：相遇问题概念：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间后相遇，研究路程、速度、时间的关系。核心公式：路程和=速度和×相遇时间相遇时间=路程和÷速度和速度和=路程和÷相遇时间解题思路：明确“路程和”（两地距离）、“速度和”（两者速度相加），根据已知量选择公式。若物体运动有“先出发”“中途停留”等情况，需分段计算路程或时间。例题解析：例：甲乙两车从相距480千米的两地同时出发，相向而行，甲车速度60千米/时，乙车速度40千米/时，几小时后相遇？分析：路程和为480千米，速度和为60+40=100千米/时。计算：相遇时间=480÷（60+40）=480÷100=4.8（小时）同步训练：1.两地相距300米，小明和小红同时从两地出发，相向而行，小明速度5米/秒，小红速度4米/秒，几秒后相遇？2.客车和货车从相距540千米的两地出发，客车先开2小时（速度60千米/时），货车再以70千米/时出发，货车出发后几小时相遇？（提示：先算客车先开的路程，再算剩余路程的相遇时间）五、行程问题（二）：追及问题概念：两个物体同向而行，速度快的追速度慢的，研究追及时间、路程差、速度差的关系。核心公式：路程差=速度差×追及时间追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间解题思路：确定“路程差”（初始距离或速度慢的先走路程）、“速度差”（快速度-慢速度），结合公式求解。若有“环形跑道”，路程差可能为跑道周长（同向追及第一次相遇时）。例题解析：例：小明和小红在400米环形跑道上跑步，小明速度5米/秒，小红速度3米/秒，同向而行，小明多久能追上小红？分析：环形跑道同向追及，路程差为400米，速度差为5-3=2米/秒。计算：追及时间=400÷（5-3）=400÷2=200（秒）同步训练：1.甲在乙前方200米，甲速度4米/秒，乙速度6米/秒，乙多久能追上甲？2.环形跑道长300米，甲乙同向出发，甲速度6米/秒，乙速度5米/秒，甲第一次追上乙需要多久？六、鸡兔同笼问题：头脚数量求只数概念：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只的应用题。解题思路（假设法）：假设全是鸡：兔的只数=（总脚数-2×总头数）÷（4-2）；鸡的只数=总头数-兔的只数假设全是兔：鸡的只数=（4×总头数-总脚数）÷（4-2）；兔的只数=总头数-鸡的只数例题解析：例：鸡兔同笼，头共20个，脚共56只，鸡兔各几只？方法一（假设全鸡）：兔的只数=（56-2×20）÷（4-2）=（56-40）÷2=16÷2=8（只）鸡的只数=20-8=12（只）方法二（假设全兔）：鸡的只数=（4×20-56）÷（4-2）=（80-56）÷2=24÷2=12（只）兔的只数=20-12=8（只）同步训练：1.停车场有三轮车和自行车共15辆，轮子共40个，三轮车、自行车各几辆？（提示：三轮车3轮，自行车2轮，类比鸡兔脚数）2.全班46人去划船，大船坐6人，小船坐4人，共租10条船，大船、小船各几条？七、盈亏问题：分配中的多与少概念：把一定数量的物品分给一定数量的人，因分配标准不同，产生“盈”（多）或“亏”（少）的情况，求人数或物品数。常见类型及公式：一盈一亏：（盈+亏）÷（两次分配差）=人数双盈：（大盈-小盈）÷（两次分配差）=人数双亏：（大亏-小亏）÷（两次分配差）=人数解题思路：找出“盈”“亏”的数量和“两次分配差”（每人分配数量的差），代入公式求人数，再求物品数。例题解析：例：老师给学生分糖果，每人分5颗，多10颗；每人分6颗，少5颗，求学生人数和糖果数。分析：盈10，亏5，分配差6-5=1。学生人数=（10+5）÷（6-5）=15÷1=15（人）糖果数=5×15+10=85（颗）（或6×15-5=85颗）同步训练：1.把书分给学生，每人分3本，多20本；每人分5本，多2本，求学生和书的数量。（双盈类型）2.同学去划船，每条船坐6人，少2条船；每条船坐8人，多1条船，求船数和人数。（提示：转化为盈亏，少2条船→盈6×2=12人；多1条船→亏8×1=8人，再用一盈一亏公式）八、年龄问题：年龄差不变概念：研究两人或多人年龄变化及关系的问题，核心是年龄差始终不变（因为两人同时增长相同岁数）。解题思路：抓住“年龄差不变”，结合“和倍”“差倍”“和差”问题的思路，将年龄关系转化为已知模型。例题解析：例：今年爸爸36岁，儿子6岁，几年后爸爸年龄是儿子的4倍？分析：年龄差36-6=30岁（始终不变）。当爸爸年龄是儿子4倍时，年龄差对应（4-1）倍。儿子那时的年龄=30÷（4-1）=10（岁）经过年数=10-6=4（年）同步训练：1.今年妈妈28岁，女儿4岁，几年前妈妈年龄是女儿的9倍？2.甲乙年龄和为40岁，甲年龄是乙的3倍，求两人今年年龄。（提示：和倍问题，结合年龄和与倍数）九、植树问题：间隔与棵数的关系概念：在一定路线上植树，研究棵数、间隔数、路线长度的关系，分封闭路线和不封闭路线（两端都植、只植一端、两端都不植）。数量关系：不封闭路线（两端都植）：棵数=间隔数+1；间隔数=棵数-1不封闭路线（只植一端）：棵数=间隔数不封闭路线（两端都不植）：棵数=间隔数-1封闭路线（圆形、方形等）：棵数=间隔数解题思路：先判断路线类型，确定棵数与间隔数的关系，再结合“间隔数=总长度÷间隔长度”计算。例题解析：例：在一条长200米的公路一侧植树，每隔5米植一棵（两端都植），共植多少棵？分析：不封闭，两端都植，棵数=间隔数+1。间隔数=200÷5=40。棵数=40+1=41（棵）同步训练：1.圆形花坛周长120米，每隔6米摆一盆花，共摆多少盆？（封闭路线）2.教学楼和图书馆之间长80米，每隔10米种一棵树（两端都不种），种多少棵？十、平均数问题：总数量÷总份数概念：已知几个数，求它们的平均数，或已知平均数求总数、份数。核心公式：平均数=总数量÷总份数。解题思路：若涉及“移多补少”（如几个数的平均数，已知部分数求另一数），可通过“总数量差”计算。例题解析：例：小明三次考试成绩分别为85分、90分、88分，求平均分。总数量=85+90+88=263分，总份数=3。平均分=263÷3≈87.67分（或用移多补少：以85为基准，90-85=5，88-85=3，总共多5+3=8，平均多8÷3≈2.67，平均分85+2.67≈87.67）同步训练：1.4个数的平均数是25，其中三个数是20、30、28，第四个数是多少？2.第一小组5人，平均分90分；第二小组6人，平均分85分，求两组总平均分。（提示：总数量=5×90+6×85，总份数=5+6）总结：典型应用题的学习策略1.抓本质：每种题型的核心是“数量关系”，如和差问题的“和”“差”与两数的关系，行程问题的“路程、速度、时间”三量关系。理解本质，才