重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高二上学期12月定时作业数学试题含答案

重庆复旦中学教共体2025～2025学年度上期

高二定时作业检测

尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今

天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．

本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1.直线y=tan2()9的倾斜角为()

A.oeB.20oC.90eD.不存在

2.已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为()

A.(0,3)B.(0,-3)C.(4,0)D.(-4,0)

3.方程表示的轨迹图形是()

A.抛物线B.半个圆C.半个椭圆D.双曲线的—⽀

4.已知圆M：，—只蚂蚁从点pl-2,2)出发，爬到X轴后又爬到圆M上，则它爬

行的最短路程为()

A.1B.2C.3D.4

5.已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则

实数a的值为()

AB.C.D.

6.点A,B的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是专，则点1的

轨迹方程是()

A.B.

C.D.

7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，E是中点，AE=3、后，AB=5，AD=3，

·

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,LDAB=90'，则dA,的长为()

A.1B.2C.3D.4

8.如图：r.，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线c的左右两支分别交于

M，N两点，且丽=3可，则双曲线的离心率为()

AB.C.D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.下面说法正确的是()

A.双曲线的渐近线方程为

B.点p在离心率为的椭圆上—点，r.、r.是椭圆c的焦点，则的最

大值为60e

C.已知实数、满足，则的最小值为

D.直线到点(I,-1)的距离是，到点(-2,3)的距离是4，这样的直线有3条

10.直线l:,y=ko+l(keR)过抛物线c:x'=2pylp>0)的焦点F，若点0为坐标原点，与c交于

·

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·

A,B两点，则()

A.p=4

B.u01a重心纵坐标的最小值为

C.以线段AB为直径的圆被X轴截得的弦长最小值为25

D.若直线交准线于点D，且，则．

11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,CD中，E，F分别为棱B,C，BB,的中点，G为线段

A,D上的—个动点，则下列说法正确的是()

A.三棱锥F-EGB1体积为定值

B.存点G，使平面EFG1l平面dcD1

C.设直线与平面所成角为，则sin8最大值为

D.平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面的面积为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知平面a的—个法向量为i-(1,I,0)，平面a过空间坐标原点(0,0,0)，平面a外—点A的坐标为

(l,2,3)，则点A到平面u的距离为___________．

13.设A,B是双曲线上的两点，且线段AB的中点是M(1,4)，则直线AB的斜率为______．

14.已知椭圆的左右焦点分别为、r.，过r.作直线交椭圆C于、B两点，其中点B在

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x轴下方，内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为______.

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知直线l:2x-y-3=0,LY:3x+2y-8=0．

（1）求经过点A(2,5且与直线垂直的直线方程；

（2）求经过直线与ly的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．

16.已知直线与直线l:x-3y+l=0相交于点c，以c为圆心的圆过点A(0,1).

（1）求圆c的方程；

（2）求过点的圆的切线方程.

17.在三棱柱ABC-ABC中，四边形ACCA是菱形，M是AC的中点，平面ACG4L平面ABC，

.

（1）证明：A,MLBC；

（2）若AB=BC，ABlBC，求二面角A-AB-C的正弦值．

18.已知—动圆与直线相切且过定点.

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）A、B是C的轨迹上异于原点0的两点；

（i）若，求AOB面积最小值；

（ii）直线o3、os的倾斜角分别为与，当时，试问：直线1s是否过定点?若是，求出

定点坐标；若不是，说明理由.

19.已知椭圆左，右焦点分别为r.，，离心率为，经过点且倾斜角为

·

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直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方），的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，将平面xoy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF,F:）与y轴负半轴和

轴所确定的半平面（平面）互相垂直.

①若，求三棱锥的体积；

②是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求tan8的

值；若不存在，请说明理由.

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尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今

天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．

本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1.直线y=tan2()9的倾斜角为()

A.oeB.20oC.90eD.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】y=tan2)'，由于tan2('为常数，则直线y=tan2)'的倾斜角为90°.

故选：C

2.已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为()

A.(0,3)B.(0,-3)C.(4,0)D.(-4,0)

【答案】A

【解析】

【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标.

【详解】由题已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5,则抛物线准线方程为y=-3，

则焦点为(0,3)，

故选：A．

3.方程表示的轨迹图形是()

A.抛物线B.半个圆C.半个椭圆D.双曲线的—⽀

【答案】D

【解析】

【分析】先对给定方程进行变形，然后根据变形后的方程与常见曲线的标准方程的关系来判断其表示的轨

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·

迹图形即可.

【详解】由题意，得把式子左右同时平方，得，即，，

⼜，

方程表示的轨迹图形是双曲线的—支.

故选：D.

4.已知圆M：，—只蚂蚁从点pl-2,2)出发，爬到X轴后又爬到圆M上，则它爬

行的最短路程为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据“将军饮马”模型，求得对称点，利用两点距离公式结合圆的性质，可得答案．

【详解】如图，设爬到X轴上的点E，再到圆M上点F处，

要求它爬行的最短路程，即求的最小值，

圆心M(1,2)，半径r=2，

设点p(-2,2)关于x轴的对称点为p,则p坐标为(-2,-2，且，

由于（当P',E,F三点共线时取等号），

又点P'-2,-2)到圆M上点的最短距离（当

P',F,M三点共线时取等号），

所以(IPE+IEFl。,=3,即该蚂蚁爬行的最短路程为3．

故选：C．

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5.已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则

实数a的值为()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知，只需保证圆心到直线距离为，应用点线距离公式列方程求参

数值.

【详解】由题设，如下图示，圆心C(1,-2)，半径，要使ABC为等边三角形，

则圆心到直线的距离为，

所以，可得.

故选：A

6.点A,B的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是专，则点1的

轨迹方程是()

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

·

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·

【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.

【详解】

设M(X,Y)，因为A(-2,0),B(2,0)，所以，

由已知，，化简得，

故选：B．

7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，E是CC的中点，AE=3、后，AB=$，AD=3，

LBAA=LDAA=60"，LDAB=90'，则AA的长为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】设A4=a，由向量的线性运算，再两边平方得到

,接着解方程即可．

【详解】在平行六面体ABCD-AB,CD中，设AA=a，

因为AE=3、后，AB=$，AD=3，LDAB=90，LB44=LD4A=60"，E是CG的中点，

,

所以，

由题意，，，，

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,

,

所以，

解得a=4或u=-20（舍去），

所以的长为4．

故选：D．

8.如图：r.，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线c的左右两支分别交于

M，N两点，且丽=3可，则双曲线的离心率为()

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】设圆的半径为R，由条件结合双曲线的定义证明R=3a，结合双曲线定义及余弦定理列方程确

定a,c关系，由此可得结论.

【详解】设圆F,的半径为R，则，

因为丽=3丽，

所以，由双曲线定义可得，

所以R=3a，故lFMI=a，MF=3a，EN=3a，FN=3a+2a=sa，

在surr中，由余弦定理可得，

·

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在,r中，由余弦定理可得，

由已知LMFF+LNFF=，

所以COSLMF凡+COSLNFF=0，

所以，

所以，

所以，

所以双曲线的离心率.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.下面说法正确的是()

A.双曲线的渐近线方程为

B.点p在离心率为的椭圆上—点，r.、r.是椭圆c的焦点，则的最

大值为60e

C.已知实数、满足，则的最小值为

D.直线到点(I,-1)的距离是，到点(-2,3)的距离是4，这样的直线有3条

【答案】BD

·

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·

【解析】

【分析】对A，由双曲线方程求出渐近线判断；对B，由题可得a=2C，当点P为短轴顶点时，LFPF最

大，运算得解；对C，由题点(x,y)在圆上，表示点到原点ouo的斜率，

数形结合求解判断；对D，根据题意直线是以点(1,-1)为圆心，1为半径的圆的切线，也是以点(-2,3)为

圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线，判断两圆位置关系得解.

【详解】对于A，令，解得，所以双曲线的渐近线方程为，

故A错误；

对于B，因为椭圆的离心率为，所以，得a=2c，

当点为短轴顶点时，最大，此时，

所以为正三角形，所以LFPR=60"，故B正确；

对于C，由题点(x,y)在圆上，表示点到原点ouo的斜率，

如图，过原点ouo圆E的切线or，切点为r，因为，，

在Rt达0FE中，易得LEOF=30"，所以切线or的斜率，由对称性知另—条切线的斜率为

,

所以的取值范围为，故C错误；

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对于D，由直线到点(1,-I)的距离是1，则直线是以点(1,-I)为圆心，1为半径的圆的切线，

同理，直线是以点(-2,3)为圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线.

又两圆的圆心距，

故两圆外切，所以两圆的公切线只有3条，即直线有3条，故D正确.

故选：BD.

10.直线l:,y=ko+l(keR)过抛物线c:x'=2pylp>0)的焦点F，若点0为坐标原点，与c交于

A,B两点，则()

A.p=4

B.u01a重心纵坐标的最小值为

C.以线段AB为直径的圆被X轴截得的弦长最小值为25

D.若直线交准线于点D，且，则．

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，根据直线经过定点即可求解焦点得P=2判断；对B，联立直线与抛物线方程，得韦达定理，

根据重心坐标公式即可求解；对C，求出AB为直径的圆的方程，令Y=0，得，即

可根据弦长公式求解；对D，根据向量的坐标关系，结合韦达定理，即可根据弦长公式求解．

【详解】对于A，由于直线l:y=k+I(keR)恒过定点(0,1)，即抛物线焦点为F(0,1，

因此，故p=2，故A错误；

对于B，由p=2可得c:x2=4y,设，

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联立得，

恒成立，，

所以uoun重心的纵坐标为，

当且仅当K=I等号成立，故B正确；

对于C，设AB中点为，

则，又，

,

所以线段为直径的圆的方程为，

即，

设该圆与轴的交点为，

令y=0，则，故，

所以，

当且仅当k=0时等号成立，故C正确；

对于D，设nl's,-l，由可得，

⼜，

,

则，

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所以或tis-（舍去），

则，，故D正确.

故选：BCD.

11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,CD中，E，F分别为棱B,C，BB的中点，G为线段

A,D上的—个动点，则下列说法正确的是()

A.三棱锥体积为定值

B.存在点，使平面平面

C.设直线与平面所成角为，则最大值为

D.平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面的面积为

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A，等体积变换可得，可判断；选项B，建立空间直角坐标系，设

,根据空间向量由面面平行可得，可判断；选项C，根据空间向量法表示

线面角，可得，进而可得；选项D：先作出平面DEF截正方体

ABCD-AB,CD所得截面，根据线面关系可得截面的面积．

【详解】对于选项A，，故A正确；

·

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对于选项B，如图建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0],A(6,0,0),C(0,6,0),D,(0,0,6),E(3,6,6),F(6,6,3),A(6,0,6)，

,

设平面dcDi的法向量为7=(x,JY,3)，

则，令，则，则7=(1,1,1)，

因为D网=(6,0,6)，设(0S入S1)，故G(6A,0,62)，

则G=(62-3,-6,62-6),G=(6A-6,-6,62-3)，

由，得，不合题意，故B错误；

对于选项C，易知平面的法向量为DC=(0,6,0)，

则，

所以，

当时，取最小值为，

所以sin8有最大值为，故C正确；

对于选项D，如图，直线EF分别交CB,CG的延长线于点Q,P，

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连接DP交C,D于G，连接交AB于，连接GE,HF，

由题意可知五边形DHFEG即为平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面，

因，分别为棱，的中点，，，

,得GG=2，

由正方体性质可知，S.rcz=srgr，

故所求截面面积为，

由选项C可知，P(0,6,9)，G(0,4,6)，故死=(0,-2,-3)，死=(3,0,-3)，

故，，

,

故所求截面面积为，故D正确，

故选：ACD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知平面a的—个法向量为i-(1,I,0)，平面a过空间坐标原点(0,0,0)，平面a外—点的坐标为

(l,2,3)，则点A到平面的距离为___________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据条件，利用点面距的向量法，即可求解.

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【详解】因为平面的—个法向量为，

又由题知研=(1,2,3)，

所以点到平面的距离为，

故答案为：.

13.设A,B是双曲线上的两点，且线段AB的中点是M(1,4)，则直线AB的斜率为______．

【答案】1

【解析】

【分析】设A(x,y)B(x,,2)，通过点差法即可求解；

【详解】设A(X,Y),B(X3,)，则AB的中点

:as在双曲线上，，两式相减得，

则，则．

此时B:y-4=x-l，即，联立方程，消去y得，

此时△=(-6)2+4x3x13>0，故直线AB与双曲线有两个交点.

故答案为：1

14.已知椭圆的左右焦点分别为、r.，过r.作直线交椭圆C于、B两点，其中点B在

x轴下方，内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为______.

【答案】(1,3)

【解析】

·

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【分析】根据内切圆的有关性质知，，结合椭圆的定义可推出，注

意到点B在x下方，所以，.

【详解】因为的内切圆交边AB于点N，所以,

又因为在椭圆中，,

所以，

而1SBFRS3，（等号取不到）因此.

故答案：(1,3).

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知直线l:2x-y-3=0,l2:3x+2y-8=0．

（1）求经过点A(2,5)且与直线垂直的直线方程；

（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．

【答案】（1）

（2）或x-y-I=0

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直关系求出直线的斜率，代入经过的点坐标求解；

（2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线方程．

【小问1详解】

由直线可得斜率为，

设直线方程为，根据垂直关系得，:，

又直线经过点A(2,5)，

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,解得，

所求直线方程为，整理得2x-3y+Il=I．

【小问2详解】

联立直线：，解得，

直线与ly的交点为(2,1)，

当直线经过坐标原点时，满足题意，设直线方程为y=kx，

代入(2,1)得，直线方程为，即；

当直线的截距都不为0时，设直线方程为，

,解得a=1,b=-I，此时直线方程为x-y-l=0，

所求直线方程为x-2y=0)或x-y-I=0．

16.已知直线与直线l2:x-3y+l=0相交于点c，以c为圆心的圆过点A(0,1).

（1）求圆c的方程；

（2）求过点814,51的圆C的切线方程.

【答案】（1）

（2）x=4，3x-4y+=l

【解析】

【分析】（1）联立直线得C(2,1，圆C的半径为dci=2，进而可得；

（2）斜率不存在时，x=4，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，

进而可得.

【小问1详解】

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由，得，即C(2,1，

由题意圆c的半径为Aci=2，

故圆C的方程为.

【小问2详解】

当切线的斜率不存在时，方程为x=4，与圆相切，符合题意.

当切线的斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为：y-5=k(x-4)，即kx-y-4t+5=I，

由题意，得，即，

两边分别平方得，得，

故切线方程为，即，

综上过点B(4,5)的圆C的切线方程为X-4，.

17.在三棱柱ABC-ABC中，四边形ACGA是菱形，M是AC的中点，平面ACGAL平面ABC，

.

（1）证明：AMLBC；

（2）若AB=BC，ABlBC，求二面角A-AB-C的正弦值．

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·

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）推导出AMLAC，利用面面垂直的性质可得出A,ML面ABC，再利用线面垂直的性质

可证得结论成立；

（2）推导出BM上AC，以点M为坐标原点，MA、MB、MA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直

角坐标系，利用空间向量法可求得二面角A-AB-C的正弦值．

【小问1详解】

在中，由A4=AC，M是AC的中点，所以AM上AC，

又平面A4CCL平面ABC，平面d,C,CTl平面ABC=AC，AMC面A4CC，

所以AM上面ABC，

因为BCC平面ABC，故AM上BC．

【小问2详解】

连接B.M，在ABC中，由AB=BC，M是AC的中点，所以BM上AC，

又A,ML面ABC，BM、ACC平面ABC，所以，AM山BM，AMLAC，

在直角三角形AA,M中，AC=AA,=2，AM=MC=1，

,

在中，，，

以点M为坐标原点，MA、MB、MA,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

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·

所以、A1,0,0)、B(0,1,0)、CI-1,0,0)，

设平面AAB的—个法向量7=(X,Y,3)，，，

则，取i=l，可得，

设平面ABC的—个法向量为，B=(1,1,0)，

则，取-，则，

所以，，

所以，.

因此，二面角A-AB-C的正弦值为.

18.已知—动圆与直线相切且过定点.

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）A、B是C的轨迹上异于原点0的两点；

（i）若，求AOB面积最小值；

（ii）直线o3、os的倾斜角分别为与，当时，试问：直线AB是否过定点?若是，求出

定点坐标；若不是，说明理由.

【答案】（1）y2=6x；

（2）（i）；（ii）是，定点为.

【解析】

【分析】（1）根据题设有，整理化简即可得轨迹方程；

（2）（i）设AB:x=ny+n，A(x,y),B(r,2)，联立抛物线，应用韦达定理及求参数，进

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而有直线AB:x=ny+3恒过点(3,0)，根据求最小值；

（ii）法—：根据已知可得、，写出直线的方程，结合

及差角正切公式得，代入直线整理求定点即可；法二：设直线的方

程为：y=kx+b，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据两角和的正切公式再代入韦达定理式即可得到

,则得其所过定点.

【小问1详解】

设c(x,y)，由题意有，则y=6x；

【小问2详解】

（i）设，A(x,y),B(x,,y2)，联立抛物线有y2-6my-6n=0，

则，且，，则，

由页·形=x,x,+yy,=n2-6n=-9，可得n=3，即AB:x=ny+3，

所以直线AB:x=ny+3恒过点(3,0)，则

,当且仅当时取等号，

所以AOB面积最小值为9JE；

（ii）法—：由题设OA:y=xtan0且，联立y=6x，可得，同

理，

所以，则

,

·

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由，

所以，

当时，，

所以直线AB过定点(-6,-2、F).

法二：由题，AB斜率必存在，设直线AB的方程为：y=kx+b，

联立y=6x，消x有：ky2-6y+6b=0,A=36-24kb>0，

,,

,

代入韦达定理式得，

直线AB的方程为：y=k(x+6)-23F，

过定点．

【点睛】关键点点睛：第二问，二小问，根据已知写出直线AB关于已知参数的方程，结合

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求定点.

19.已知椭圆左，右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为

的直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方），的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，将平面xoy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和

轴所确定的半平面（平面BFF:）互相垂直.

①若，求三棱锥的体积；

②是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求tan8的

值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）

（2）①;②存在，

【解析】

【分析】（1）由条件结合离心率的定义，椭圆的定义列关于a,c的方程，解方程求a,c，再根据a,b,c关系

求，由此可得椭圆方程；

（2）①由已知可得直线方程为Y-J5(+5，联立方程组求出A,B