四川省仁寿第一中学（北校区）2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】确定集合，再由交集运算即可求解.【详解】，所以，故选：A2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“”的否定是“”．故选：B3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第1页/共14页【分析】先求解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断.【详解】“”化简得，所以“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.4.不等式的解集为,则函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．的解集为的两个根为和，且.则有，变形可得，故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为第2页/共14页和.对照四个选项，只有C符合.故选：C．5.若，，，则a、b、c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.【详解】因为，，，又在第一象限内是增函数，，所以，即.故选：D.6.已知函数在上的最大值为，最小值为，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】在行求解即可．【详解】设，则，而函数在为奇函数，则，故，故选：C7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）第3页/共14页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】因为在上单调递减，根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，可得，解得.故选：C.8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，故其值域为，而，则值域为；当时，，第4页/共14页当时，，对称轴且开口向上，则上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是，故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分．9.下列命题中，正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】举例说明判断AC；利用不等式的性质判断B；利用作差法判断D.【详解】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，由，得，则，B正确；对于C，由，满足，但是，C错误；对于D，由，得，D正确.故选：BD10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A.B.第5页/共14页【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A错误；对于B定义域为，B正确；对于C，函数定义域为，，是偶函数，且当时，，则其在上单调递增，C正确；对于D，因为，，则，不是偶函数，D错误.故选：BC下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.的最小值为1C.的最大值为2D.最小值为【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，无最小值，故A错误；因为，所以，故B正确；，所以的最大值为1，C错误；，当且仅当，即时，等号成立，D正确.第6页/共14页故选：BD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．请将答案填在答题卷的相应位置．12.已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【解析】【分析】设出函数的解析式，将点的坐标代入，即可求解.【详解】设幂函数，由幂函数图象过点得：，即，所以，故答案为：.13.已知函数满足，则__________.【答案】【解析】【分析】通过换元求得函数解析式，进而可求解.【详解】令，则，所以，所以，，所以，故答案为：14.已知函数，若为偶函数，则实数的值为__________________．【答案】第7页/共14页【分析】由题可得解析式，然后由偶函数性质可得答案.【详解】，因为偶函数，则.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算下列各式：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）利用根式的运算性质、指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）利用平方关系可求出的值.【小问1详解】原式.【小问2详解】因为，故，所以，因为，故.16.已知集合．（1）若时，求和；（2）若，求实数的取值范围．第8页/共14页【答案】（1），（2）【解析】1）先给出集合，再由集合间的运算求解；（2）由得，即可求解．【小问1详解】当时，则，而，得，得，.【小问2详解】由得，因为，所以，而，可得得，故实数的取值范围为.17.如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需的出入口，已知旧墙的维修费用为56ꢀ元200元，设利用旧墙的长度为（单位：（单位：元）.第9页/共14页（2）当时，求总费用；（3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用.【答案】（1）（2）（3），最小总费用是12200元【解析】1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用；（2）将代入，得到的值；（3）由基本不等式求得最值.【小问1详解】设利用旧墙的长度为，则另一边长为，所以新墙总长度为，则，故.【小问2详解】由（1）知，，第10页/共14页所以当时，.【小问3详解】因为，所以，由基本不等式有，所以，当且仅当，即时，等号成立，故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元.18.已知定义在上的函数在区间上单调递减，且，.（1）证明：；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）当时，求不等式.【答案】（1）证明见解析；（2）函数为偶函数，证明见解析；（3）【解析】1）令，得，结合已知得，即可证；（2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证；（3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式．【小问1详解】令，，则，即，因，所以；【小问2详解】第11页/共14页函数为偶函数，证明如下：由（1）知，，令，则，所以，所以，所以函数为偶函数；【小问3详解】令，则，所以，所以．因为，所以，所以，即，即，又，，所以．当时，在区间上单调递减，由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增，所以，所以，解得．所以当时，不等式的解集为.19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．（1）写出函数（2）试解决以下问题：（i）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（ii）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．第12页/共14页（2i）函数在区间ii）【解析】1）利用分离常数化简函数解析式，根据奇函数的性质以及函数的图像变换，可得答案.（2iii）根据题意分别求得函数在其给定区间上的最值，分情况建立不等式，可得答案.【小问1详解】函数图象的对称中心为.由，令，显然函数的定义域为，且，则函数为奇函数.所以函数图象的对称中心为.【小问2详解】（i）函数在区间上单调递增.设，则.因为，所以，，，即.因此，即，故函数在区间上单调递增.（ii）由（i）可知在上单调递增，第13页/共14页则函数在上的最大值为.令，由题意可得函数