全称量词和存在量词课件-高一上学期数学湘教版

1.2.3

全称量词和存在量词学习目标1.理解全称量词和存在量词的意义以及全称量词命题

和存在量词命题的意义.2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.“每一个”和“有一个”叫作量词.分别叫作全称量词和存在量词.常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”“一切”“每一个”“任给”.常见的存在量词：“存在某个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”.下列语句是命题吗?(1)x>0;不是命题(2)对每一个实数x,x>0;(3)有

一个实数x,x>0;导入新课假命题真命题

新课学习知识点1:含有量词的命题“任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“V”表示.语句“对M的任一个元素x,

有p(x)

成立”是命题，叫作全称

量词命题.用符号表示为：Vx∈M,p(x).“存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“3”表示.语句“存在M的某个元素x,使p(x)

成

立”也是命题，叫作存在

量词命题.用符号表示为：3

x∈M,p(x).例题解析例1

指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应地数学符号取代：(1)对任意正实数a,a²-a-2>0;(2)对某个大于10的正整数n,(√2)n=1024.解：(1)命题中有量词“任意”,这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集.该命题可以写成

“Va∈R+,a²-a-2>0”.(2)命题中有量词“某个”,这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集.该命题可以写成“3n>10且n∈N+,(√2)”=1024”.例题解析例2

判断下列全称量词命题的真假：(1)Vx∈R,x²+2>0;(2)Vx∈N,x⁴≥1.解：(1)因为Vx∈R,x²≥0,

从而有x²+2≥2>0,即x²+2>0.

因此

“Vx∈R

,x²+2>0”是真命题.(2)因为0∈N,且当x=0时，x⁴≥1不成立，因此

“Vx∈N,

x⁴≥

1”

是假命题.例题解析例3

判断下列存在量词命题的真假：(1)3a∈Z,a²=3a-2;(2)3a≥3,a²=3a-2;(

3

)

设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC.解：(1)因为1∈Z

且1²=3×1

-

2,因此“3a∈Z,a²=3a-2”

是真命题.(2)因为a²=3a-2

只有两个实数根a=1

或a=2,所以当a≥时a²≠3a-2.因

此“3a≥3,a²=3a-2”

是假命题.

例题解析(

3

)

设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上

存在某个点P,使得PA=PB=PC.(

3

)以A,B,C为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC的外心，则PA=PB=PC.因此“该平面上存在某个点P,使得PA=PB=P

C”是真命题.方法提炼1.判断全称量词命题真假的思维过程全称量词命题经证明为真或与性质、

定理等真命题相符可举反例可找到x,

使p(x)成立找不到x,

使p(x)

成立真命题假命题真命题假命题2.判断存在量词命题真假的思维过程存在

量词命题新课学习

知识点2:含量词命题的否定如何对含有量词的命题进行否定呢?先看下面两个例子：(1)所有的正方形都是平行四边形；(2)存在实数x,

使得x²-3x-5=0.命题(1)的否定为“所有的正方形并不都是平行四边形”,换言之，

“有正方形不是平行四边形”.命题否定后，全称量词变为存在量词，

“肯定”变为“否定”.命题(2)的否定为“不存在实数x,使得x²-3x-5=0”,

即“对所有的实数x,使得x²-3x-5≠0”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”

.新课学习一般地，命题

“Vx∈I,p(x)”

的否定是“3x∈1,一p(x)”;命题“3x∈I,p(x)”

的否定是

“Vx∈I,→p(x)”.即┐(Vx∈I,p(x))⇔3x∈I,

一p(x)┐(3x∈I,p(x))⇔Vx∈I,

一p(x)改量词，否结论例题解析例4

写出下列含量词命题的否定：(1)p:每一个素数都是奇数；→p:存在一个素数不是奇数.(2)q:所有二次函数的图象都是轴对称图形；┐q:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形.(3)r:3x∈R,-2x²+4x-3>0;┐r:Vx∈R,-2x²+4x-3≤0(4)s:有的三角形的垂心在其外部；┐s:任意三角形的垂心都在其内部或边上.(5)t:有一个小于210的正整数至少有4个质因数.┐t:

任意小于210的正整数至多有3个质因数.例5

对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)p:

任意正实数都有算术平方根；→p:存在正实数没有算术平方根.

由于所有正实数都有算术平方根，所以这是假命题.(2)q:3x∈R,x²+3≤0.一q:Vx∈R,x²+3>0.

由于Vx∈R,x²≥0,

于是x²+3>0恒成立，所以这是真命题.例题解析

课堂练习1、判断正误：(1)“一切”“每一个”“任意一个”是全称量词.

(√)(2)有些全称量词命题的全称量词可以省略.

(

√)(3)“有些”“有一个”“对某些”“有的”是存在量词.

(

√)(4)

存在量词命题中的存在量词可以省略.

(×

)3

、命题“对任意x∈

R,|x-2|+|x-

4|>3”否定一p是3x∈R,||x-2|+|x-4|≤32、命题p:3x∈R,x²-2x+1=0Vx∈R,x²-2x+1≠0课堂练习的否定一p是课堂练习4

、

已

知

集

合A={(x|-2≤x≤5},B={(x|m+1≤x≤2m-1},(1)若命题p:Vx∈B,x∈A

是真命题，求m的取值范围；(2)命题q:3x∈A,x∈B

是真命题，求m的取值范围.解：(1)因为命题p:Vx∈B,x∈A

是真命题，所以B≌A,当B=时

，m+1>2m-1,

解得m<2;当B≠Ø

时

，

,解得2≤m≤

3.综上，m的取值范围为{m|m

≤3}.4

、

已

知

集

合A={(x|-2≤x≤5},B={(x|m+1≤x≤2m-1},(2)命题q:3x∈A,x∈B是真命题，求m

的取值范围.(2)因为q:3x∈A,x∈B是真命题，所以A∩B≠Ø,所以B≠Ø,即m≥2,

所以m+1≥3,所以A∩B≠ø

只需满足m+1≤5即可，即m≤4.故m

的取值范围为{m|2≤m≤4}.课堂练习课堂练习5、写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p:对于任意的实数m,

方程x²+x-m=0必有实数根；(2)q:任意一个实数乘-1都等于它的相反数；(3)r:正方形的对角线相等.解：(1)

→p:存在实数m,使得方程x²+x-m=0当△=

1+4

m<0,即时，方程x²

+x-m根.一p是真命题.没有实数根.=0

没有实数

课堂练习(2)q:任意一个实数乘-1都等于它的相反数；(3)r:

正方形的对角线相等.(2)

一q:

存在一个实数乘-1不等于它的相反数.一q是假命题.(3)┐r:

有的正方形的对角线不相等.┐r是假命题.课堂练习6

、已知p:1≤x

≤2,q:a≤x≤a+2.

若→p

是

┐q的必要而不充分

条件，求a的取值范围.解：一p:x<1

或x>2,

一q:x<a

或x>a+2,因为→p

是

┐q的必要而不充分条件，正

1以解得0≤

a≤1,故a的取值范围为[0,1].常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”“一切”“每一个”“任给”.常见的存在量词：

“存在某个”“至少有一个”“有些”“

有

一

个”