【初中 数学】用公式法分解因式课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章因式分解17.2用公式法分解因式第1课时运用平方差公式分解因式

知识关联探究与应用 课堂小结与检测知识关联1、什么叫多项式的分解因式?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.2、已学过哪一种分解因式的方法?提公因式法

【探究1】直接运用平方差公式分解因式

【情境问题】下面的问题你能解决吗?

探究与应用1.填空:(1)(a+b)(a-b)=

;

(2)(a+5)(a-5)=

;

(3)(4m+3n)(4m-3n)=

.

a2-b2a2-2516m2-9n22.把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，得到什么？

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.

【探究1】直接运用平方差公式分解因式【概括新知】探究与应用))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：

【探究1】直接运用平方差公式分解因式探究与应用√√××思考：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

两数是平方，减号在中央．（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2（6）m2-1

【理解应用】探究与应用例1

分解因式：

aabb(

+)(-)a2

-b2=解:原式=2x32x2x33解原式=a2-(5b)2

=(a+5b)(a-5b)(2)a2-25b2方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.

【理解应用】【变式】探究与应用利用因式分解计算：2012－1992解：原式＝(201＋199)(201－199)

＝400×2=800

【探究2】综合运用平方差公式分解因式例2

把下列各式分解因式:探究与应用原式(1)x2-y4

解：(1)原式＝x2-(y2)2＝(x+y2)(x-y2)1.把下列各式分解因式:(1)81a2-b4(2)49(a-b)2-16(a+b)2【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

解：(1)原式＝(9a)2-(b2)2＝(9a+b2)(9a-b2)＝(11a－3b)(3a－11b)(2)原式＝[7(a-b)]2-[4(a+b)]2

＝[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)

-4(a+b)]

＝(7a－7b＋4a＋4b)(7a－7b－4a－4b)

【

拓展提升】探究与应用2.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，

【小结】课堂小结与检测平方差公式分解因式公式a2-b2=(a+b)(a-b)巧算

【检测】课堂小结与检测1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9D2.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21B．21C．-10D．10A

【

检测】课堂小结与检测3.把下列各式分解因式：x2－4＝______________．a2－4b2＝______________．81a2－16b4＝______________4b2－(b+c)2＝______________(m+2n)2－(m-2n)2＝______________(x＋2)(x－2)(a＋2b)(a－2b)(9a＋4b2)(9a－4b2)(3b+c)(b-c)8mn4.利用因式分解计算：20252－20242解：原式＝(2025＋2024)(2025－2024)

＝4049×1=4049

【

检测】课堂小结与检测第十七章因式分解17.2用公式法分解因式第2课时运用完全平方公式分解因式

知识关联探究与应用 课堂小结与检测知识关联1.什么是因式分解?把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)3.完全平方公式你还记得吗?说说看.

【探究1】完全平方式的概念

【尝试交流】探究与应用这两个多项式有什么共同的特点？观察多项式与（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍

【探究1】完全平方式的概念【概括新知】探究与应用

我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.完全平方式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

【理解应用】探究与应用例1

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.

【理解应用】【变式】若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是

.

±1探究与应用

如果一个二次三项式的二次项系数为1，要使它成为完全平方式，需使其常数项等于一次项系数一半的平方，即关于x的二次三项式x2+mx+n是完全平方式的条件为=n.

【探究2】直接运用完全平方公式分解因式【尝试交流】1.填空:(1)(a+b)2=

;

(2)(a-b)2=

.

探究与应用根据完全平方式，你能将多项式与多项式分解因式吗？2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

【探究2】直接运用完全平方公式分解因式【概括新知】探究与应用把整式的乘法公式——完全平方公式反过来就得到因式分解的完全平方公式：

【理解应用】探究与应用例2

分解因式：（1）x2+4x+4；

（2）16x2-24x+9.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2-24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2-2·4x·3+(3)2.2ab+b2a2分析:在(1)中,∵4=22,

4x=2·x·2,∴x2+4x+4是一个完全平方式,即x2+4x+4=x2+2·x·2+222ab+b2a2

【理解应用】探究与应用例2

分解因式：（1）x2+4x+4；

（2）16x2-24x+9.解：

(2)16x2-24x+9=(4x-3)2；=(4x)2-2·4x·3+(3)2

解：(1)x2+4x+4

=x2+2·x·2+22=(x+2)2能用完全平方公式分解因式的多项式具有的特点(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方式，且这两个平方项的符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．探究与应用

针对训练

分解因式：（1）x2

+12x

+

36；（2）a2

+2a

+1；

(3)

4x2－4x+1.

（4）4a2

-9

(1)(x

＋6)2;(2)(a

＋1)2；

(3)

(2x－1

)2.

(4)(2a

＋3)(2a

-3)解：

【理解应用】

把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式。

运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法

【探究3】

综合运用完全平方公式分解因式探究与应用例3

把下列各式分解因式：

(1)(a+b)2-12(a+b)+36.分析：将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36.

解：原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.（2）-x2+4xy-4y2.

解

：原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.分析:可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式，

练习探究与应用

【理解应用】

把下列各式分解因式:：（1）-2xy-x2-y2.(2)(x+y)2-10(x+y)+25.（3）9a2-30a+25;（4）x(x－1)－3x+4;

解(1)-2xy-x2

-y2

=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2.(2)原式=(x+y)2-2·(x+y)·5+52

=(x+y-5)2.

(3)原式=(3a)²－2·3a·5+(5)²=(3a－5)2;

(4)原式=x²－x

－3x+4=x²－4x+4=(x－2)2探究与应用

【理解应用】

例4

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)²

(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。=12＝502=1＝2500例5已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值:(1)x2+y2;

(2)(x-y)2.【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

解：(1)原式=x2+y2+2xy-2xy

=(x+y)2-2xy=72-2×10=29

解：(2)原式=x2+y2-2xy=x2+y2+2xy-2xy-2xy=(x+y)2-4xy=72-4×10=9例6已知x+=-3，求x4+的值.【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

原式=（x2）+（

）2+2-2

=（x2+

）2-2=72-2

=47解：∵x+=-3∴(x+)2=(-3)2即：x2++2=9即：x2+=7

【小结】课堂小结与检测完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

【检测】课堂小结与检测1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5yB2.若m-2n=1，则m2-4mn+4n2的值是

.

3.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式，则m的值为

.

1±4

【

检测】课堂小结与检测4.把下列多项式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）16a2-48a+36;

（3）(x－1)2－4y（x-1）+4y2;

(2)原式=(4a)²－2·4a·6+(6)²=(4a－6)2;解：(1)原式

=x2－2·x·6+(6)2=(x－6)2;

(3)原式=（x-1-2y）²

【

检测】课堂小结与检测5.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；解：原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.第十七章因式分解17.2用公式法分解因式第3课时综合运用提公因式法和公式法分解因式

知识关联探究与应用 课堂小结与检测学生思考并回答:知识关联2.如何找到一个多项式各项的公因式?3.运用公式法分解因式的两个公式是什么?两种①提公因式法

②公式法

1.前面我们学习了几种分解因式的方法？分别是什么方法?①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式:a²+2ab+b²

=

(a+b)2

三定，即定系数；定字母；定指数

【探究1】

提公因式法和平方差公式综合分解因式【尝试交流】例1你能将下列各式分解因式吗?(1)x4-y4;

(2)a3b-ab.探究与应用分析:x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，

可用公式法分解因式；分析:a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提公因式，再进一步分解因式.解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)解：（2）

a3b-ab=ab·a2-ab

·1=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)注意：分解因式是要进行到每一个多项式都不能再分解为止

【探究1】

综合运用提公因式法和平方差公式分解因式

【练习】试一试将下列各式分解因式:(1)x2y-4y;(2)3ax2-3ay2;(3)20m2(a-b)2-5(b-a)2;(4)3m3-3m;(5)a3b-ab;(6)9m2(p+q)-4(p+q).探究与应用答案：(1)y(x+2)(x-2)(2)3a(x+y)(x-y)(3)5(a-b)2(2m+1)(2m-1)(4)3m(m-1)(m+1)(5)ab(a+1)(a-1)(6)(q+p)(3m+2)(3m-2)

【探究2】

提公因式法和完全平方公式分解因式

例2你能将下列各式分解因式吗?

(1)3x3-6x2y+3xy2;(2)-ax2+2a2x-a3.分析:先提取公因式，再用公式法进一步分解因式.探究与应用解：(1)3x3-6x2y+3xy2

=3x(x2-2xy+y2)=3x(x-y)2解：（2）

-ax2+2a2x-a3=-a(x2-2ax

+a2)=-a(x-a)2；

【探究2】

综合运用提公因式法和完全平方公式分解因式试一试将下列各式分解因式:探究与应用(2)3x3-6x2y+3xy2;(3)18a2(a+2b)+12ab(a+2b)+2b2(a+2b).(1)-2x2y+16xy-32y;

-2y(x-4)23x(x-y)22(a+2b)(3a+b)2【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

(1)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．(2).已知xy=4，x+y=5，求x3y+2x2y2+xy3的值.原式＝2×52＝50.解(1)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)

＝ab