【初中 数学】用公式法分解因式 提公因式法与公式法的综合课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

课前准备

草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具

美丽的数学心让我们一起走进奇妙的数学世界17.2.3用公式法分解因式提公因式法与公式法的综合复习引入因式分解提公因式法公式法完全平方公式平方差公式

1.因式分解的方法有哪些？pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2因式分解提公因式法公式法完全平方公式平方差公式pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2

2.运用提公因式法和公式法进行因式分解时，多项式分别需要满足怎样的结构特征？确定公因式的方法①系数：找最大公因数；②字母：取各项相同字母；③次数：相同字母的最低次幂．两项符号相反且均为平方形式．

其中两项是平方和，另一项是这两数乘积的2倍（可正可负）．ppp

p

3.把下列各式分解因式：(1)30x3y2-48x2yz＝

;(2)x2﹣9＝

;(3)4﹣4x+x2＝

．6x2y（5xy﹣8z）（x+3）（x﹣3）（2﹣x）2新知初探例1分解因式：解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.＝(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式＝ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a-1).还能继续分解吗？还能继续分解吗？通过对例1的学习，你有什么收获？1.因式分解的步骤：(1)先提取公因式；(2)再用公式法因式分解.2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止

．【例2】分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-ax2+2a2x-a3.(2原式=-a(x2-2ax+a2)=-a(x-a)2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2;分析：(2)中有公因式-a，应先提出公因式，再进一步分解因式；1.分解因式：（1）x2y－4y；（2）a3－2a2＋a；

（3）ax2＋2a2x＋a3；（4）－a4＋16；

（5）3a－6ax＋3ax2；（6）－4bx2＋8bxy－4by2．

解：（1）x2y－4y＝y(x＋2)(x－2)；

（2）a3－2a2＋a＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2；

（3）ax2＋2a2x＋a3＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2；

（4）－a4＋16＝－(a2＋4)(a2－4)＝－(a2＋4)(a＋2)(a－2)；（5）3a－6ax＋3ax2＝3a(1－2x＋x2)＝3a(x－1)2；

（6）－4bx2＋8bxy－4by2＝－4b(x2－2xy＋y2)＝－4b(x－y)2．2.分解因式：（1）(a－b)2＋4ab；

（2）(p－4)(p＋1)＋3p．解：（1）(a－b)2＋4ab

（2）(p－4)(p＋1)＋3p

＝a2－2ab＋b2＋4ab＝p2－4p＋p－4＋3p

＝a2＋2ab＋b2＝p2－4

＝(a＋b)2；＝(p＋2)(p－2)．先展开式子、合并同类项后，再应用公式因式分解．(2)(a-b)(a-4b)+ab=a2-5ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2.解：(1)(x-1)2+2(x-5)=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).【例3】分解因式:(1)(x-1)2+2(x-5);(2)(a-b)(a-4b)+ab.能直接分解因式吗？1.分解因式:(1)4x2-3y(4x-3y);(2)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy.解：(1)4x2-3y(4x-3y)=4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2(2)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y).2.先因式分解，再求值：（9x2+12xy+4y2）-（2x-3y）2，其中x=1，y=-1．解：(2)（9x2+12xy+4y2）-（2x-3y）2=（3x+2y）2-（2x-3y）2

=（3x+2y+2x-3y）（3x+2y-2x+3y）

=（5x-y）（x+5y）.

当x=1，y=-1时，

原式=（5+1）×（1-5）=6×（