【初中 数学】平方差公式课件 2025-2026学年人教版八年级数学上学期

第十七章

因式分解17.2.1平方差公式分解因式学习目标探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解难点：运用提公因式法和平方差公式感悟新知知识点1平方差公式分解因式问：多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.针对训练√√××1.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)典例解析题型1平方差公式分解因式例1

分解因式：解:(1)原式=(2)原式(3)a2-25b2

(4)x2-y4.(3)原式=(a+5b)(a-5b)(4)原式=(x+y2)(x-y2)针对训练2.分解因式：(1)-16a2+25b2;(2)(x+p)2-(x-p)2;(3)(x-2y)2-(4x-2y)2;解(1)原式=(5b+4a)(5b-4a).解(2)原式=4xp.解(3)原式=-3x(5x-4y).典例解析题型2多次因式分解例2把下列各式分解因式:(1)x4-y4;(2)x3y-xy.解(1)原式=(x2+y2)(x+y)(x-y).解(2)原式=xy(x+1)(x-1).一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.针对训练3.把下列各式分解因式:(1)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2.;

(2)x2(y-1)-(y-1);(3)a2(m-n)+b2(n-m);(4)mx4-81m.解(2)原式=(y-1)(x+1)(x-1).解(3)原式=a2(m-n)-b2(m-n).=(m-n)(a2-b2)=(m-n)(a+b)(a-b).解(1)原式=4(a+c)(b+d).解(4)原式=m(x4-81)=m(x2+9)(x2-9)=m(x2+9)(x+3)(x-3).典例解析题型3利用因式分解求值例3已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，

求x–y，x，y的值．∴x–y＝–2②.解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得：针对训练4.如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2

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典例解析题型4利用因式分解简便计算例4计算下列各题：(1)1012–992；(2)53.52×4–46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)×(101–99)＝400；(2)原式＝4×(53.52–46.52)

＝

4×(53.5＋46.5)×(53.5–46.5)

＝4×100×7=2800.针对训练5.用简便方法计算下列各式:(1)5352×6-6×4652;(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

解(1)原式=6×(5352-4652)=6×(535+465)×(535-465)=6×1000×70=420000.解(2)原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+…+2+1=5050.

典例解析题型5利用因式分解证明例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n·2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，针对训练

6.若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.解：∵a2–2bc=c2–2ab，

∴(a2–c2)+2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+2b（a-c）=0.∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.针对训练7.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．原式=

–40×5=–200．解：原式=(m+2n+3m

–n)(m+2n–3m+n)

=(4m+n)(3n–2m)

=–(4m+n)(2m–3n)，当4m+n=40，2m–3n=5时，针对训练8.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82–4×1.62＝6.82–(2×1.6)2＝6.82–3.22＝(6.8＋3.2)×(6.8–3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.针对训练9.(1)992–1能否被100整除吗？(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？解：(1)因为

992–1=(99+1)×(99–1)=100×98，所以，(2n+1)2–25能被4整除.所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).归纳总结平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–