2026高考数学涨分秘籍：第1讲 半配半凑法构造有奇偶性的函数

第1讲半配半凑法构造有奇偶性的函数在教学函数的奇偶性时，构造有奇偶性的解析函数研究数学问题方面，老师们一般会讲将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于在教学函数的奇偶性时，构造有奇偶性的解析函数研究数学问题方面，老师们一般会讲将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．关于常见构造有奇偶性的解析函数的方法还有那些，往往语焉不详，特别是函数的综合性问题，尤其是与导数相结合时，常用半配半凑法，很多老师都不清楚.若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝eq\f(1,2)[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝eq\f(1,2)[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x).本专题主要讲半配半凑法，供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.系统归纳构造有奇偶性的解析函数的常见六种方法.题型一题型一含结构名师导航名师导航若函数g(x)为偶函数，定义在R上的函数满足，则为奇函数．【典例1】设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，求的取值范围．【分析】构造，由已知条件有，即为奇函数又时，可判断单调递减，结合的规则有即可求的取值范围.解析：构造函数，因为∴∴为奇函数，当时，，在上单调递减∴在R上单调递减.∵存在，所以∴，化简得∴，即.【典例2】已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，解不等式.【分析】结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.解析：由题意，当时，恒成立，即恒成立又由，可得令，可得，则函数为偶函数且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减由化简得到即，所以，解得即不等式的解集为.故不等式的解集为.【典例3】设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（）A． B． C． D．【分析】根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.解析：是奇函数，，即即，，.故选：C.能力达标训练1.已知定义域为的函数，又当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【分析】由给定函数等式变形，构造函数，再探讨函数的性质，然后将不等式整理变形为求解即得.解析：，，令，即有，是R上的偶函数因当时，则，当且仅当时取“=”，于是得在上单调递增即，于是得因此，，解得所以所求不等式的解集是.故选：A设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】构造函数解析：令，则，函数在上为减函数因为，即故为奇函数，于是在上为减函数而不等式可化为，则即.选A.设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是．【分析】令，可得，知为上的奇函数；根据可推导得到当时，，结合奇偶性可得单调性；将所求不等式转化为，由单调性可得，从而得到的取值范围.解析：由得：令，则，为上的奇函数当时，由得：，在上单调递减；又为奇函数，在上单调递减由得：即，解得：即实数的取值范围为.已知函数的导函数为，且满足．当时，；若，则实数的取值范围是．【分析】构造函数，利用导数可得在递减，结合条件可得是奇函数，在上单调递减，进而即得.解析：令，则∵当时，，故∴在递减，而，∴，∴∴是奇函数，在上单调递减若，则∴，∴，即.设函数在上存在导函数，对任意的有，且当时，.若的零点有个．【分析】先构造函数再求函数F(x)的单调性和奇偶性，再利用函数的性质化简得到a>e，最后利用分离参数数形结合求零点的个数.解析：令则所以函数F(x)在上是增函数由题得所以函数F(x)是奇函数，且在R上是增函数.因为所以-＜.所以F(2e-a)＜F(a),所以2e-a<a,所以a>e.因为所以a=的图像如图所示，所以当a>e时，g(x)有两个零点.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为．【分析】根据题意构造函数，推出为奇函数，判断的单调性，即可求得实数的取值范围.解析：因为，所以令，则所以为奇函数，因为时，所以在上为减函数因为为奇函数，所以在也为减函数令，则，得所以在上为减函数，因为所以所以所以所以，所以所以，得所以实数的取值范围为.设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是．【分析】构造，由，可得为奇函数，利用导数可知在上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.解析：，令，且，则在上单调递减.又为奇函数，在上单调递减.，且代入得，转化为，即由于在上递减，则，解得：.题型二题型二含结构名师导航名师导航若函数g(x)为奇函数，定义在R上的函数满足，则为偶函数．【典例4】设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，求实数的取值范围．【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，将变形为，再利用的单调性解不等式即可.解析：令，有．所以为R上的偶函数，又在上有所以，即在上单调递增，在上单调递减.又所以，即，解之得，.能力达标训练设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为．【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性可得到，解得即可．解析：令，则由，可得，故为偶函数又当时，，即在上为增函数．不等式化为由函数单调性奇偶性可知：，解得．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若，则实数的取值范围是．【分析】设，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．解析：设，则∴是偶函数．当.，∴在上是增函数∵∴即∴，即．设函数在R上存在导数，对任意都有，且在上，，若，则实数a的取值范围是．【分析】令，可得．因此是上的偶函数．在上，，可得函数在上单调递增，在，上单调递减．再利用函数的奇偶性与单调性即可得出．解析：令，则．，是上的偶函数．在上，因此函数在上单调递增，在，上单调递减．若（a），即（a）（a），，，解得，或．实数的取值范围是，，．已知定义在上的函数满足，当时，，若，则实数的取值范围为．【分析】构造函数，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数在上单调递增，进而可得出该函数在上单调递减，将所求不等式变形为，可得，可得出，由此可解得实数的取值范围.解析：由可得构造函数，则所以，函数为偶函数，当时，所以，函数在上单调递增，则该函数在上单调递减由得即，即，则由于函数在上单调递减，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.题型三题型三含结构名师导航名师导航已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意实数x，均有，则为偶函数．【典例5】已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意实数x，均有，当时，，若，求实数a的取值范围.【分析】根据进行变形，构造易得为偶函数利用单调性解不等式即可.解析：，令，则，当时，，即函数在上单调递增,又为偶函数所以在上单调递减.，，，解得：.能力达标训练已知定义在上的函数满足