2026高考数学涨分秘籍：第9讲 三角函数换元为普通函数

第9讲三角函数换元为普通函数当解析式无法化成当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可.供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.题型一题型一形如的形式，即与的复合函数名师导航名师导航当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可.要注意在时自身带范围，即【典例1】求的值域.解析：设，，，，即的值域为.【典例2】设函数，若，求函数的最小值.解析：，设，由可得：，从而，，所以，所以最小值为.【典例3】求函数的值域.解析：令，可得，，能力达标训练1.已知，则()A．B．C．D．解析：令，，令在R上单调递减，所以>,即a>c又因为，在（0,1）上单调递增，所以,即a<b所以，选D.2.函数的最小值和最大值分别为()A．B．C．D．解析：2.∴当时，，当时，故选C.3.已知，则的取值范围为（）A．B．C．D．解析：由，可知1-故=-+1又1-故=-+1的取值范围为4.函数的最小值与最大值的和等于（）A．-2B．0C．D．解析：∵令,则当时，y取最大值，最大值为；当时，y去最小值，最小值为-3∴最小值与最大值的和为.5.函数()的值域是_______________．解析：因为，所以所以当时，，当时，，所以函数的值域为6.函数的最小值是__________．解析：所以，即是偶函数当时,可取得最小值.7.若π4<x<π2，则函数解析：∵π4∴y=2t21-t8.函数的值域为______.解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式将函数化简为令，根据二次函数的性质求出函数的值域；所以，即令则，所以，因为，所以在上单调递增，上单调递减，所以，又，，故故函数的值域为，故答案为：9.求函数y=2-sinx+cos2x的值域．解析：y=2-sinx+1-sin2x=-sin2x-sinx+3=-t2-t+3=-(t2+t)+3=-(t+)2+-1≤t≤1，ymax=，ymin=-1-1+3=1，值域为[1,].10.已知函数在上的最大值为1，求的值．解析：∵，∴，故有=1\*GB3①当，即时，则当时，函数取得最大值为，=1，解得（不合题意，舍去）．=2\*GB3②当，即时，则当时，，函数取得最大值为，=1，解得（不合题意，舍去）．=3\*GB3③当，即时，则当时，函数取得最大值为，=1，整理，得，解得或（不合题意）．综上所述，所求的值为.11.求函数，的最小值．解析：，当时取最小值9．12.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若，求的值．解析：（Ⅰ）因为，又，所以当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．于是（舍）或．又．题型二题型二与共存结构名师导航名师导航，从而将解析式的核心变量转化为，通过换元求出值域即可．.【典例4】求函数的值域．【分析】解析：因为时，当时，所以可得：的值域为【典例5】已知函数，且对于任意的，当时都有成立，求实数的取值范围． 【分析】不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得的取值范围.解析：依题意对于任意的，当时都有成立，不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，，则在上恒成立.设，则，在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得.【典例6】已知．(1)当时，求的值；(2)若的最小值为，求实数的值；微信公众号：钻研数学(3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.解析：(1)，当时，(2)设，则，，，其对称轴为，的最小值为，则；

的最小值为；则，综上，或(3)由，对所有都成立.设，则，恒成立，

，在恒成立，当时，递减，则在递增，时取得最大值得,∴所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为能力达标训练1.函数的值域为（

）A． B． C． D．解析：则且令，则则，当时，当时，故的值域为.故选：D.2.如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（）A． B．1 C． D．解析：由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=，t=sinα+cosα=sin（α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴.∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．故选D．3.函数的值域为．解析：令，则.4.已知函数的最小值为，函数.（1）求a的值；（2）已知时，恒成立，求实数m的取值范围.解析：（1）令，，则函数，的最小值为.当即时，当，，不合题意；当，即时，，解得或，所以.当即时，当，，(舍去).综上，.（2）当时，恒成立，又由（1），即，令，，则，则，所以即对任意恒成立.记，，，，则，因为在上单调递增，，又因为，当且仅当时，取等号，所以.综上所述，.5.已知，．(1)若，求a的值；(2)若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围．解析：（1）由得，即，，解得，∵，∴；（2），令，则当时，，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，在上无零点.∵a＞1，在内为增函数.①若在内有且只有一个零点，内无零点，故只需，解得；②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意．综上，实数a的取值范围是．6.已知实数，设函数.(1)当时，求函数f（x）的值域：(2)求|f（x）|的最大值.解析：（1）当时，，令，则，所以，即.则，即所以函数f（x）的值域.（2）令令，则，所以，即.则，令，所以是对称轴为，开口向上的抛物线，且记|f（x）|的最大值为.当，即时，此时在上单调递减，且；当，即时，此时，当，即时，此时，当，即时，不符合题意舍去.,即7.已知,，函数，（1）若，，求的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．解析：(1)依题意得，，即，即由，，得，

（2）即不等式对任意恒成立，即下求函数的最小值令则且

令1°当上单调递增，2°当，即时，3°当4°当，所以当时，；当或0<时,8.已知，．求当时，的值域；若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围．解析：由题意：设，，则，那么，，当时，转化为，当时，取得最大