《函数模型的应用(第一课时)》教案

《函数模型的应用（第一课时）》教案教学目标教学目标：能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.教学重点：利用已知的函数模型解决实际问题.教学难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的的数学模型是否吻合.教学过程时间教学环节主要师生活动１分钟15分钟３分钟１分钟新课引入新课讲解课堂小结作业我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？我们将用两节课的时间继续学习函数模型的应用，这节课我们主要探究利用已知的函数模型解决实际问题．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口变化的规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950年－1959年期间的具体人口增长模型．利用（１）中的模型计算，1951年到1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局，网站公布的我国在1951年至1958年间，各年末的实际人口总数检验所得模型与实际人口数据是否相符？以（１）中模型做预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？问题1用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？建立我国自1950年起的人口增长模型需要确定其中的人口初始量及年平均增长率．追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？依题意是1950年末的人口总数55196万．追问2：如果1950记为第一年，1959年是第几年？1950年1959年到经过了几年？1959年是第十年．1950年1959年到经过了9年．追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率．由，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为．问题２如何检验所得模型与实际人口数据是否相符？利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较检验所得模型与实际人口数据是否相符．我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．追问：所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合？首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符．年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数／万5641757665589406024361576629386433065753人口数/万5630057482587966026661456628286456365994我们也可以根据1950年至1959年期间实际人口数据画出散点图，并画出图象，可以看出所得模型与实际人口数据基本吻合．教师通过Ggb呈现函数图象与实际人口数据散点图．问题３如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？将代入，得，即．．．①

由计算工具得．那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．追问：如果对①式进一步变形，通过何种运算可以求解出？对①式在等式两边取以为底的对数，即，．问题４事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了一模型，得到的结果与实际不符的情况．在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据探究我国人口变化的规律．数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．这个例题是利用已知的函数模型解决实际问题．在用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．下面来解决章引言中的问题．例22010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？问题5什么是“碳14年代学检测”？碳14年代学检测是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常来测得古生物化石的年代．因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数建立函数模型．问题6什么是“半衰期”？我们在指数函数的概念一节的问题2中涉及过“半衰期”的问题．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．追问１：设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？与间对应关系为这个对应关系中有四个参数，我们需要分析一下哪个参数是可以通过已知条件确定的．追问２：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？需要确定年衰减率．追问３：可以利用哪个已知条件确定年衰减率？在指数函数的概念一节的问题2中由已知碳14的半衰期为5730年得出了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系，即，从而有，即．问题７确定年衰减率后，生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系可以进一步确定为什么函数关系？生物体内碳14含量与死亡年数之间的函数关系可以进一步确定为．追问：利用模型如何推断此水坝大概是什么年代建成的？由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得，即，解得，由计算工具得．因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．良诸遗址位于浙江省杭州市余杭区良诸镇，1936年首次发现这里的巨型城址面积近300万平方米，包括古城，水坝和多处高及建筑．良渚古城外围水利系统是迄今所知中国最早的大型水利工程，也是世界最早的水坝．它对研究中华五千年文明的起源具有重要参考价值.本节课我们尝试利用已知函数模型解决实际问题，重在通过运算推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题，感受了利用函数模型解决实际问题的过程．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．问题８本节课我们感受了数学建模过程中哪些环节？本节课主要感受了确定参数、计算求解，验证结果三个环节．通过高中数学课程的学习，我们应有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升应用能力实践能力，增强创新意识和科学精神．已知1650年世界人口为５亿，当时人口的年增长率为0.3%，1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%，用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？实际上，1850年前世界人口就超过了10亿，而2004年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔，大约需要多少年？1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残留量约为初始量的62.76%，能否依此推断二里头遗址大概是什么年代的？课后篇巩固提升合格考达标练1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.2.有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-12 D.答案C解析当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124选项C中的V=42-12选项D中的V=2×4-2=6,故选C.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.7答案BC解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)4.(2021福建福州三中高一期末)地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量与里氏5.0级地震所释放的能量的倍数是()A.lg4.5倍 B.4.510倍C.450倍 D.104.5倍答案D解析设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为E1和E2,则lgE1=4.8+1.5×8,lgE2=4.8+1.5×5,所以lgE1E2=lgE1-lgE2=则E1E2=104.5,即E1=104.5E2.5.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2000ln1+Mm.若火箭的最大速度为9240km/s,则Mm≈()(参考数值:e4.62≈101)A.1100 B.C.10 D.100答案D解析由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2000ln1+Mm,可得v=2000ln1+Mm=9240,即ln1+Mm=92402000=4.62,所以1+Mm=e4.62≈101,可得Mm=1006.已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5h,1个病毒能繁殖个.

答案2ln21024解析当t=0.5时,y=2,∴2=e12k,∴k=∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过h才能开车(结果精确到1h,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).

答案2解析设经过nh后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要经过2h才能开车8.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,n∈N*,当y=4000时,有32n=10,两边取对数可得n(lg3-lg2)=1,∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.等级考提升练9.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为()A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨答案B解析因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).故选B.10.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2W/m2,声强级为68dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5W/m2,声强级为55dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m2答案B解析由题意可知1解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故选B.11.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是()A.2006年底人类知识总量是2aB.2009年底人类知识总量是8aC.2019年底人类知识总量是213aD.2020年底人类知识总量是218a答案BCD解析2006年底人类知识总量为a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量为a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a×25=218a,故D正确.故选BCD.12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位,1ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.

答案14解析∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级/里氏5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=algx+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg2≈0.3进行计算)

答案2解析由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以5②-①,得0.2=alg3.2×10191.所以a=0.14.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3其中所有正确的叙述是.(填序号)

答案①③解析由图象可得,当t=2时,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=234=1681第一个月的减少量为1-23第二个月的减少量为23−232=2③由已知23t1=12,23t2=14,2315.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤