《对数的概念》教案

《对数的概念》教案教学目标教学目标：1.初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2.了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算；3.借助转化思想理解对数本质，培养数学运算和数学抽象的素养。教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化。教学难点：对数符号的理解，以及对数与指数间的联系的认识。教学过程时间教学环节主要师生活动1分30秒温故知新已有旧知教师提出问题：学习指数函数时我们曾讲解过这样一道题目：某地B景区从2001年起游客人次的年增长率为0.11，设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，表示x,y的关系，并试求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍……？新知产生教师点拨：求解x的值，其实就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节要学习的对数。对数是一种新的运算，由刚才的实际问题可以感受到学习这种运算的必要。10分钟探究新知新知形成对于形如，求的问题，我们引入新的符号来表示的值.1.1x=2,那么可以记作=log1.12,读作以1.1为底2的对数；2=3，那么可以记作=log23,读作以为底的对数；若2x=N呢？.对数的概念一般地，如果，那么数x叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数注意：是对数的符号，类似除法运算的“”，表示一种运算，用它连接运算的对象；已知底数a和它的幂N求指数的运算,这种运算叫对数运算,只不过对数运算的符号写在数的前面，其运算结果仍是一个实数。新知特征指数式与对数式的互化底数指数底数指数幂真数对数由指数与对数的等价关系，思考在对数式中，的范围？.教师点评：对于的范围源于指数式中对于底数、幂、指数的要求。2．对数的重要结论：(1)当是负数或零时，对数不存在，即负数和零没有对数．(2)(3)．3.两种特殊对数通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把如，在生活中如充电器的电容的电压关系，物体的自然冷却关系、细胞的繁殖等，为了描述其自然规律，经常会用到无理数2.71828……，用e表示这个无理数。以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数，并把记作6分钟典例剖析例1指数式与对数式互化：解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）通过这组习题同学们感受到指数与对数虽然表达形式不同，但是两者的本质是一致的，即底数、指数与对数、幂与真数的对应例2．求下列各式中的x值：（1）（2）（3）（4）解：（1）因为所以（2）因为（3）因为（4）因为通过将对数运算转化为指数幂运算，求出对数表达式中对应的具体数值，熟悉指数式与对数式间的关系，计算中要注意位置的转换。5分钟追根溯源几乎所有的现代数学书中,对数运算是通过解指数方程来引入的.但是,就对数发明的起源而言，恰恰是相反，先发明了对数而后发明了指数。事实上,对数是简化繁杂运算的产物.16世纪时,科学技术尤其是天文学的飞速发展，需要用到大量的大数乘除法运算，这就迫切需要计算技术的改进.当时的数学家们感叹：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了．这不仅浪费时间，而且容易出错．”为了简化数值计算,1614年约翰·奈皮尔利用对应的思想发表《奇妙的对数表的描述》，提供了提高运算速度的方法。奈皮尔的对应思想类似下表。我们发现下表的关系满足指数关系，利用以下对应可以方便地算出16×256的值.首先,在第二行找到16与256;然后找出它们在第一行中对应的数,即4与8,并求它们的和,即12;最后在第一行中找到12,读出其对应的第二行中的数4096,这就是16×256的值.用类似的方法也可以计算4096256纳皮尔将该数称为对数“ｌｏｇａｒｉｔｈｍ”，这个词由希腊文ｌｏｇｏｓ（关系）和ａｒｉｔｈｍｏｓ（数）两词合成，体现对应思想对数的发明实现了将乘除运算降级为简单的加减运算。数学家拉普拉斯说过：“对数的发现，因其节约劳力而延长了天文学家的寿命。”1分钟课堂小结1.对数的概念，指数式与对数式的转化；2.对数的相关结论及运用；3.对数发明的背景与原理.课后作业1.123页练习1，2，32.阅读教材128-129页了解对数的发明3.通过互联网，进一步了解无理数e，常数对数和自然对数课后篇巩固提升合格考达标练1.方程2log3A.19 B.3 C.33 D答案A解析∵2log3x=14=2-2,∴log3x=-2,∴2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是()A.e0=1与ln1=0B.8-13=1C.log39=2与912D.log77=1与71=7答案ABD解析log39=2应转化为32=9.3.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是()A.log24=2 B.2.10.5>2.1-1.8C.3log32=2 D.答案ABC解析log24=2,故A正确;根据函数y=2.1x是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B正确;根据指对恒等式可知3log32=2,故C正确;-lne=-1,故D不正确4.(2021北京大兴高一期末)813+A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析813+log122=23×13-log25.若a>0,a2=49,则log23a=答案1解析∵a2=49且a>0,∴a=23,∴log26.解答下列各题.(1)计算:lg0.0001;log2164;log3.12(log1515)(2)已知log4x=-32,log3(log2y)=1,求xy的值解(1)因为10-4=0.0001,所以lg0.0001=-4.因为2-6=164,所以log2164=-log3.12(log1515)=log3.121=0.(2)因为log4x=-32,所以x=4-32=2-因为log3(log2y)=1,所以log2y=3.所以y=23=8.所以xy=18×8=17.求下列各式的值:(1)log1162;(2)log7349;(3)log2(log解(1)设log1162=x,则116x=2,即2-∴-4x=1,x=-14,即log1162(2)设log7349=x,则7x=3∴x=23,即log73(3)设log93=x,则9x=3,即32x=3,∴x=12设log212=y,则2y=12=2-∴y=-1.∴log2(log93)=-1.等级考提升练8.若loga3=m,loga5=n(a>0且a≠1),则a2m+n的值是()A.15 B.75 C.45 D.225答案C解析由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5,∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.9.函数y=log(2x-1)3x-2A.23,1∪(1,+∞)B.12,1∪(1,+∞)C.23,+∞D.12,+∞答案A解析要使函数有意义,则2x-1>0,2x-1≠1,3x-2>0,解此不等式组可得x>12且x≠110.已知f(x6)=log2x,则f(8)=()A.43 B.8 C.18 D.答案D解析令x6=8,则x2=2,因为x>0,则x=2,故f(8)=log22=11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x是同一个函数的是()A.y=3x3 B.C.y=lg10x D.y=10lgx答案AC解析y=x的定义域为R,值域为R,函数y=3x3=x的定义域为R,故是同一函数;函数y=x2=|x|≥0,与y=x解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg10x=x,且定义域为R,对应关系相同,故是同一函数;y=10lgx=x的定义域为(0,+∞),与函数y=x的定义域不相同,故不是同一函数.12.已知f(x)=1+log2(2-x),x<1A.6 B.5 C.4 D.3答案B解析由题意得f(-2)+f(2)=(1+log24)+2=5,故选B.13.已知log12(log2x)=log13(log3y)=1,则x,A.x<y B.x=yC.x>y D.不确定答案A解析因为log12(log2x)所以log2x=12.所以x=2又因为log13(log3y)=1,所以log3y=所以y=31因为2=623=6814.21+12·答案25解析21+12log25=2×212log2515.已知logab=logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1),求证:a=b或ab=1.证明设logab=logba=k,则b=ak,a=bk,因此b=(b因为b>0,b≠1,所以k2=1,即k=±1.当k=1时,a=