《对数运算(第二课时)》教案

《对数运算（第二课时）》教案教学目标教学目标：经历换底公式的探究，证明过程，初步理解换底公式，并能利用公式实现其他底数的对数的运算；在换底公式的证明中，体会指数与对数的内在联系，提升转化与化归思想方法的认识与应用；利用换底公式完成对数计算中，感受对数运算的意义，提升数学运算的素养.教学重点：换底公式的认识和初步应用。教学难点：换底公式的推导教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟5分钟一.确复习回顾二．探索新知三．应用举例四、课堂总结问题1：请回忆对数的运算性质如果且，,那么（1）；（2）;（3）R).【教师讲解】数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。探究：（１）利用计算工具求，的近似值；（２）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？【师生互动】需要将此式进行变形，请问变形的方向是什么呢？根据要求，我们要构造和，需要把2或3分离出来。设，则，我们就可以把3分离出来了于是，即，这样就出现已知中的ln3和ln2了。则.3．根据对数的定义，你能用和来表示(且且)吗？类比上述变形过程，由特殊到一般进行推导设，则，于是，即，则，且；；且对数的换底公式问题：你可以用自然语言描述吗？一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数。（真数在上去分子，底数在下去分母）。逆应用时，可以将同底的两个对数的商转化为一个对数值。思考：能利用，表示吗？可以利用换底公式.思考：也可以换为以任意大于零且不等于１的实数为底的对数。比如，可以换位以３为底的对数，看看能得到什么结果？应用1求值:：追问：猜想=？并证明你还能得到哪些结论？应用2：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们得到的关系，如果求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，该如何计算呢？解：在此问题中，其实就是计算的值。由换底公式，可得利用计算工具，可得由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍。类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年份应用2：尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？[教师讲解]思考：本题的研究求解对象是什么?如何将此对象与已知条件建立关系?答;这是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题。本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即E的比值,条件中的E存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式.解：法1：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别和.由,可得，于是利用计算工具可得，。法2：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别和.由,可得，，利用计算工具可得，。虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.想一想：为什么两次地震的里氏震级仅差1级,为何释放出来的能量却相差那么多呢？地震中能量是很大的数值，进行对数运算后其数值就变得非常小。这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；，反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2.，所以在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢,地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义。对数的换底公式，注意分子与分母是同底的目前学过的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、指数幂、对数。这三个运算其实是一个整体.布置作业：书126页练习1,2,3.课后篇巩固提升合格考达标练1.2log510+log50.25=()A.0 B.1 C.2 D.4答案C解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=()A.13 B.1 C.2 D.答案D解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.3.(2021吉林公主岭高一期末)log28+lg25+lg4+6log612+9.8A.1 B.4 C.5 D.7答案C解析原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=5.故选4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是()A.lgx+lgy=lg(x+y)B.lgxy=lgx-lgC.logxnym=mnD.lgx答案BCD解析因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lgx+lgy=lg(xy),故A错误;lgxy=lgx-lgy,故B正确;logxnym=mnlogxy,lgx1n=lgxn,故5.若2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),则yx的值为()A.4 B.1或14 C.1或4 D.答案D解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),∴lg(x-2y)2=lgxy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x≠y,∴yx6.计算:2713+lg4+2lg5-eln3=答案2解析由题意得2713+lg4+2lg5-eln3=(33)13+(lg4+lg25)-eln3=3+2-7.log35log46log57log68log79=.

答案3解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg68.计算:(1)lg2+lg5-(2)lg12-lg58+lg54-log92·log解(1)原式=lg2×5(2)(方法一)原式=lg1258=lg45×54−lg22lg3×lg3(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)等级考提升练9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log289=y,则2x+y=(A.3 B.4 C.8 D.9答案A解析由2x=3可知x=log23,且y=log2892x+y=2log23+log289=log232×89=log28=3.10.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg3=a,lg5=b,则log212的值为()A.2b-a+2C.a-2b+2答案C解析根据换底公式和对数运算性质得log212=lg12lg2=lg3+2lg2lg211.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a答案AD解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,对于选项A,由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因为bc+ba=log6klog9k对于选项C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk6=logk96,2c对于选项D,2b−1a=2log6k−1log4k=2logk6-logk4=log12.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.答案42解析∵logab+logba=logab+1lo∴logab=2或logab=12∵a>b>1,∴logab<logaa=1.∴logab=12,∴a=b2∵ab=ba,∴(b2)b=bb2,∴b2b=∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.13.解下列对数方程.(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,得2即2解得x=2或x=-9(舍).(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得2t+t-3=0,即t2-3t+2=解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;当t=2时,可得log2x=2,即x=4.经检验x=2,x=4均符合题意.故原方程的解为x=2或x=4.14.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1h)(参考数据:ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)解(1)由已知得当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9(或k≈0.022)(2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)t,有0.3P0=P0e(解得t=ln0.31故污染物减少到30%至少需要55h.新情境创新练15.已知2y·lo