《对数运算(第一课时)》教案

《对数运算（第一课时）》教案教学目标教学目标：1.理解并掌握对数的运算性质，并进行简单的计算；2.在运算中进一步理解对数的概念，体会对数与指数之间的关系；3.在运算中培养数学运算和逻辑推理的学科素养.教学重点：理解对数的运算性质.教学难点：恰当使用对数运算性质进行计算.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟复习引入一．复习对数概念及指数幂运算性质对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.例如，如果，那么其中2叫做对数的底数，5叫做真数.对数与指数的关系根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：例如，，即指数幂运算性质对于任意实数，，均有下面的运算性质.二．提出问题：依据对数和指数的关系，能否利用指数幂运算的性质得出相应的对数运算的性质？10分钟探究新知利用同底数幂乘法的运算性质推导对数运算性质观察同底数幂乘法的运算性质：等式左边两个同底数幂相乘，等式右边指数相加.利用指数与对数的关系，进而得到对数运算的第一个性质.思考：对数的这个性质还可以怎样证明？利用同底数幂除法的运算性质推导对数运算性质观察同底数幂除法的运算性质：等式左边两个同底数幂，等式右边指数相减.利用指数与对数的关系，进而得到对数运算的第二个性质.从除法与乘法之间的关系证明：利用幂的乘方的运算性质推导对数运算性质观察幂的乘方的运算性质：等式左边幂，等式右边指数相乘.利用指数与对数的关系，进而得到对数运算的第三个性质.综上所述，对数运算具有如下性质.在上述推理过程中应关注以下几个问题：（1）进一步理解对数与指数之间的关系正像加法与减法、乘法与除法关系一样，我们通过加法运算学习了减法运算，通过乘法运算学习了除法运算.对于对数运算，也是通过指数幂运算推导对数运算的性质。在三个运算性质的推导过程中，都利用了对数与指数之间的关系，即，将指数式转化为对数式，利用指数幂运算性质得到对数运算性质.（2）进一步理解对数的概念基于对数概念的理解，对数运算性质（1）等式的左边是乘积的指数，等式的右边是指数之和，因为是同底数幂的乘积，所以乘积中的指数是每个幂的指数的和，因此性质（1）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之和.同理，性质（2）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之差，性质（3）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之积.（3）进一步理解对数的运算性质在数学发展史中的意义从对数运算的性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法.从运算的角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算.运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度越高.对数运算降低了运算的级别，简化了运算.现代社会由于有了计算机等工具，对数的运算性质的这种作用似乎显得有些微不足道.但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”.因此，对数的运算性质堪称数学发展史上的伟大成就.5分钟巩固提升例1求下列各式的值：分析：教师引导学生观察运算结构，运用对数的运算性质求值.（1）求的值：这是求以10为底的对数，注意观察真数的形式，真数是根式的形式，根式的被开方数是100，是10的平方，是对数的底数的平方，即找到了真数与底数之间的关系.所以选择对数的运算性质完成求值.（2）求的值：这是求以2为底的对数，真数是2的幂的乘积，所以先选择对数的运算性质，将乘积的对数转化为因子的对数和的形式，再求每一个因子的对数，进而完成求值.分析：本体的关键在于建立之间的联系，商的对数转化为被除式的对数与除式的对数的差，然后在运用性质，进而完成化简.小结：在上述求值过程中，观察运算结构，寻求真数与底数之间的联系，正确选择对数运算性质是非常重要的求值步骤.练习：求下列各式的值：2分钟课堂小结本节课基于对数概念和指数幂运算的性质推出对数运算性质，并运用对数运算性质进行简单的计算.建议不要机械地记忆运算性质，要在理解的基础上掌握对数运算性质，在运用对数运算性质进行计算的过程中进一步体会对数与指数之间的关系，理解对数概念的本质.本节课的学习有助于提升逻辑推理和数学运算的学科素养.课后篇巩固提升合格考达标练1.2log510+log50.25=()A.0 B.1 C.2 D.4答案C解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=()A.13 B.1 C.2 D.答案D解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.3.(2021吉林公主岭高一期末)log28+lg25+lg4+6log612+9.8A.1 B.4 C.5 D.7答案C解析原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=5.故选4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是()A.lgx+lgy=lg(x+y)B.lgxy=lgx-lgC.logxnym=mnD.lgx答案BCD解析因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lgx+lgy=lg(xy),故A错误;lgxy=lgx-lgy,故B正确;logxnym=mnlogxy,lgx1n=lgxn,故5.若2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),则yx的值为()A.4 B.1或14 C.1或4 D.答案D解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),∴lg(x-2y)2=lgxy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x≠y,∴yx6.计算:2713+lg4+2lg5-eln3=答案2解析由题意得2713+lg4+2lg5-eln3=(33)13+(lg4+lg25)-eln3=3+2-7.log35log46log57log68log79=.

答案3解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg68.计算:(1)lg2+lg5-(2)lg12-lg58+lg54-log92·log解(1)原式=lg2×5(2)(方法一)原式=lg1258=lg45×54−lg22lg3×lg3(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)等级考提升练9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log289=y,则2x+y=(A.3 B.4 C.8 D.9答案A解析由2x=3可知x=log23,且y=log2892x+y=2log23+log289=log232×89=log28=3.10.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg3=a,lg5=b,则log212的值为()A.2b-a+2C.a-2b+2答案C解析根据换底公式和对数运算性质得log212=lg12lg2=lg3+2lg2lg211.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a答案AD解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,对于选项A,由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因为bc+ba=log6klog9k对于选项C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk6=logk96,2c对于选项D,2b−1a=2log6k−1log4k=2logk6-logk4=log12.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.答案42解析∵logab+logba=logab+1lo∴logab=2或logab=12∵a>b>1,∴logab<logaa=1.∴logab=12,∴a=b2∵ab=ba,∴(b2)b=bb2,∴b2b=∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.13.解下列对数方程.(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,得2即2解得x=2或x=-9(舍).(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得2t+t-3=0,即t2-3t+2=解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;当t=2时,可得log2x=2,即x=4.经检验x=2,x=4均符合题意.故原方程的解为x=2或x=4.14.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1h)(参考数据:ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)解(1)由已知得当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9(或k≈0.022)(2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)t,有0.3P0=P0e(解得t=ln0.31故污染物减少到30%至少需要55h.新情境创新练15.已知2y·l