《等式性质与不等式性质(第一课时)》教案

《等式性质与不等式性质（第一课时）》教案教学目标教学目标：1.初步理解不等式的概念，能运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，了解重要不等式的发现和证明的方法；2.类比等式的表达归纳用不等式表达不等关系的方法，体会数学知识的整体性和联系性；3.通过从实际问题的所蕴含的不等关系中抽象出不等式，发展数学抽象素养.教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟（一）章节导语导语：代数的学习，我们经历了“由数到式”的学习过程，“式”有等式和不等式.在“式”的研究基础上，我们可以解方程（组）与解一元一次不等式（组），我们还了解到函数与方程、不等式之间具有内在联系.那么解不等式（组）的理论依据是什么？方程（组）、不等式与函数之间究竟存在怎样的联系？本单元我们将在初中学习的基础上进行深入研究.首先我们先来学习等式性质和不等式性质.师生活动：教师进行章节学习引领，学生结合课前阅读任务，初步了解本章的学习内容.设计意图：明确本章的学习内容和学习基础，激发学习兴趣．5分钟（二）复习回顾问题1：在初中，我们已经学习过了不等关系与不等式，常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？师生活动：学生思考总结，有“”，表述为“大于”；有“”，表述为“小于”；有“”，表述为“大于或等于”或“不小于”；有“”，表述为“小于或等于”或“不大于”.问题2：有了这些符号语言，你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（学生在课前任务中已经完成）（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.师生活动：教师依次讲解，学生结合课前学习任务梳理思路，订正答案.教师总结：在用不等式表示实际问题中的不等关系时，我们首先要从实际问题中抽象出这个不等关系，用字母来表示这个不等关系中涉及的数，然后用不等号连接这些字母，从而建立不等式.事实上，这是数学抽象的过程，即从问题中抽象出数学模型的过程.设计意图：创设运用不等式表示问题的情境，使学生意识到不等式（组）在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础.7分钟（三）温故知新问题3：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？（学生在课前任务中已经完成）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：教师分析讲解，学生结合课前学习任务梳理思路，订正答案.设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元，于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为，但不会解不等式.追问：如何解不等式，就要类比如何解方程，解方程的主要依据是什么？师生活动：学生回忆解方程的主要依据；教师总结：解方程的主要依据是等式的性质，类比方程解法，解不等式的主要依据应该是不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质.设计意图：此问题使学生在问题解决中产生矛盾，调动了学生探究知识的内趋力.同时将不等式与等式进行类比，合理地引出不等式性质研究的必要性.问题4：若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子的大小关系，如何比较两个式子的大小关系呢？师生活动：学生思考，回忆比较两个实数的大小关系的最基本的方法：作差法：；；.教师总结：0是正数与负数的分界点，是实数比较大小的“标杆”.将两个实数的大小关系转化为它们的差的符号进行研究，本质上是使运算参与到大小比较的过程中，这样能够使得大小的比较有抓手，即只需要研究两个实数的差的符号就可以了.我们称这个比较大小的方法为“作差法”，此方法也可用来比较两个式子的大小.设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，并体会此方法使数学运算参与大小比较中，为问题解决提供了工具.10分钟（四）学以致用问题5：比较和的大小.例题分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.因为：，所以：.设计意图：此问题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，体会此方法在比较大小中的应用.问题6：阅读教材P39页的探究内容，你能找到“赵爽弦图”中的一些相等关系和不等关系吗？例题分析：平面图形中的量主要有长度、角度和面积.将“赵爽弦图”的各点标上字母，从整体来看，正方形的面积和四个直角三角形的面积之和存在不等关系.追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，（），你能将发现的不等关系用不等式表示吗？师生活动：学生通过计算，列出不等式，即：.追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等，以上不等关系还成立吗？为什么？师生活动：学生想象图形，发现当“”时，正方形缩成一个点，面积为0，因此正方形的面积和四个直角三角形的面积之和相等，即满足：，以上不等关系不成立.追问3：从发现大小关系的过程中看，，，这个结论可以推广到全体实数吗？即：，，这个猜想正确吗？请用代数方法进行证明或证伪.师生活动：.由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时等号成立.教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式.设计意图：此问题由学生观察图形，深入分析，独立想象，发现图形中蕴含的不等关系与相等关系，感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程.通过追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础.2分钟（五）归纳小结，布置作业教师总结：本节课我们主要复习了由实际问题抽象出不等关系的方法，这是一个从实际问题抽象出数学模型的过程；我们学习了两个实数大小关系的基本事实，它的本质是使数学运算参与到大小比较的过程中，将研究两个数的大小关系转化为研究它们差值的符号.这种比较大小的方法被称为“作差法”，也可用于比较两个式子的大小.这为我们下节课研究不等式性质奠定了理论基础.那么，不等式有哪些性质呢？如何研究呢？请看下节课：等式性质与不等式性质（2）.作业布置：教科书第42页、第43页习题2.1第2，3，10题.课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021广东中山高一期末)已知0<x<1,0<y<1,记M=xy,N=x+y-1,则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M=ND.M与N的大小关系不确定答案B解析M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0<x<1,0<y<1,∴x-1<0,y-1<0.∴M-N>0,即M>N.故选B.2.(2021北京顺义高一期末)已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.1b>1a BC.b-a>0 D.|b|a<|a|b答案A解析由实数a,b在数轴上对应的点可知b<a<0,因此1b>1a,由b<a<0可知a2<b2,故B错误;由b<a,可得b-a<0,故C错误;由b<a<0,|b|a=|a|b,即-ba=-ab,故D错误.故选A.3.设实数a=5−3,b=3-1,c=7−A.b>a>c B.c>b>aC.a>b>c D.c>a>b答案A解析5−3=25∵3+1<3+∴23+1>4.(2021吉林辽源高一期末)已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,那么下列选项中正确的是()A.ab>ac B.ac>bc C.ab2>cb2 D.ca2>ac2答案A解析∵c<b<a,且ac<0,∴c<0,a>0,b-a<0.∴ab>ac,故A正确;因为a>b,c<0,所以ac<bc,故B错误;当b=0时,ab2=cb2,故C错误;因为a>c,ac<0,所以ca2<ac2,故D错误.故选A.5.(2021河北唐山高二期中)已知x>0,y>0,M=x2x+2y,N=4(x-A.M>N B.M<NC.M=N D.以上都有可能答案A解析∵M-N=x2x+2y−4(6.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在0~1间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化()A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小C.“屏占比”变大 D.变化不确定答案C解析设升级前“屏占比”为ba,升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0),因为b+m7.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0,所以ab≤cd,所以ab+1≤c等级考提升练8.(2021安徽宣城高一期末)下列命题中,正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a+c>b+dC.若a<b,则1D.若a>b,c<d,则a答案B解析若ac>bc,c<0,则a<b,A错误;若a>b,c>d,则a+c>b+d,B正确;若a<b,a<0,b>0,则1a<1若a>b,c<d,c=0,则ac不存在,D错误.故选B9.(多选题)(2021福建四校联盟高一期末)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有()A.a+c≥b+c B.-a≤-bC.a2≥b2 D.1答案AB解析因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B正确;因为a,b符号不确定,所以C,D选项无法确定,故不正确.故选AB.10.(多选题)(2020山东鱼台第一中学高一期中)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有()A.xy<y2 B.x2>y2C.yx<y+mx答案BCD解析A中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B选项正确;C中,由于x,y为正实数,且x>y,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以yx<y+mxD中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<1x<1x-11.(多选题)(2021湖南长沙一中高三月考)设x,y为实数,满足1≤x≤4,0<y≤2,则下列结论错误的是()A.1<x+y≤6 B.1<x-y≤2C.0<xy≤8 D.xy答案BD解析∵1≤x≤4,0<y≤2,∴1<x+y≤6,A正确;∵1≤x≤4,-2≤-y<0,∴-1≤x-y<4,B错误;∵1≤x≤4,0<y≤2,∴0<xy≤8,C正确;∵1≤x≤4,0<12∴xy≥12,D错误12.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于.

答案25解析设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=12ab,∵25=a2+b2≥2ab,∴ab≤252,则三角形的面积S=12ab≤1213.能说明“若a>b,则1a<1b”为假命题的一组a,b答案1,-1(答案不唯一)解析易知当a>0>b时,“若a>b,则1a<1b”为假命题,不妨取a=14.已知0<a<b,且a+b=1,试比较:(1)a2+b2与b的大小;(2)2ab与12的大小解(1)因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<12<b则a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0,所以a2+b2<b.(2)因为2ab-12=2a(1-a)-12=-2a2+2a-12=-2a2-a+14=-2a所以2ab<12新情境创新练15.设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则ca的取值范围为答案ca-2≤ca≤-12解析∵1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,∴a+b+c=0,得b=-a-c.∵a≥b≥c,∴a≥b,a≥c,∴3a≥a+b+c=0,∴a≥0.由题意知,a≠0.∵b=-a-c,则a≥-a-c≥c,即a则不等式等价为2≥即c