华中师大一附中2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷+答案

华中师大一附中2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷+答案2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（测试范围：选择性必修第一册+数列）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则a1+a3+a5＝（）A．15 B．9 C．36 D．2．若方程x2A．4＜m＜6 B．m＞5 C．4＜m＜5 D．5＜m＜63．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB→=a→，AC→A．-12a→+12b→4．已知直线l：3x+4y﹣16＝0，点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一动点，则点P到直线l的最小距离为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1，则a100的值为（）A．299﹣1 B．2100﹣1 C．299+1 D．2100+16．已知圆A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则Q点的轨迹方程为（）A．x2-y28=1B．x27．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为FA．[13，12) B．(0，8．设直线2x﹣y+m＝0（m≠0）与双曲线x2A．y＝±3x B．y=±22x C．y=±6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则（）A．a5＝0B．S11＝0C．当n＝5时，Sn取最大值 D．Sn的最小值是010．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为22 D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为211．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则下列结论正确的是（）A．直线A1P与BD所成的角是π6B．当B1P＝2PC时，点D1到平面A1BP的距离为23C．三棱锥P﹣A1C1D的体积不变 D．若B1P→=13三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．等比数列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．则{an}的前9项之和为．13．过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是．14．设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝23，求直线l的方程．16．（本小题15分）已知非零数列{an}满足：a1＝1，an﹣an+1＝2an•an+1（n∈N*）．（1）求证：{1（2）求数列{an•an+1}的前n项和Sn．17．（本小题15分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝2，∠BAD＝60°，点E在线段AB上，且AE＝2，F为BC的中点．（1）求证：C1E∥平面ADD1A1；（2）若直线D1E与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角B1﹣EF﹣C1的余弦值．18．（本小题17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，a1＝﹣7，a2＝﹣4．（1）求a3和a4的值，再猜想数列{an}的通项公式，并证明；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn；（3）若数列{bn}满足bn=2n-1a19．（本小题17分）已知F是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点，E是抛物线Γ的准线与x轴的交点，|EF|＝2．（1）求抛物线Γ的方程；（2）设O为坐标原点，AB为圆O1①直线O1C，O1D，CD的斜率分别为k1，k2，k3，证明：1k②求四边形ABCD面积的最小值．2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（测试范围：选择性必修第一册+数列）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则a1+a3+a5＝（B）A．15 B．9 C．36 D．【解析】a2+a4＝6，则2a3＝6，那么a3＝3．则a1+a3+a5＝（a1+a5）+a3＝2a3+a3＝3a3．把a3＝3代入可得3a3＝3×3＝9．2．若方程x26-m+A．4＜m＜6 B．m＞5 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【解析】∵方程x23．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB→=a→，AC→=bA．-12a→+12b→【解析】由题意可得：OB1→4．已知直线l：3x+4y﹣16＝0，点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一动点，则点P到直线l的最小距离为（A）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据题意，圆C：（x﹣2）2+y2＝1，其圆心C（2，0），半径r＝1，圆心C到直线l的距离d=|3×2-16|5．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1，则a100的值为（C）A．299﹣1 B．2100﹣1 C．299+1 D．2100+1【解析】数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1，两边同时减去1可得an+1﹣1＝2（an﹣1），又a1﹣1＝1，故数列{an﹣1}是以首项为1，公比为2的等比数列，故an-1=2n-1，得6．已知圆A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则Q点的轨迹方程为（A）A．x2-y28=1B．x2【解析】圆A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，如图所示：圆A的圆心为A（﹣3，0），半径为r＝2，由中垂线的性质可得|QP|＝|QB|，所以||QB|﹣|QA||＝||QP|﹣|QA||＝r＝2＜|AB|，所以Q点的轨迹方程是双曲线，且c＝3，2a＝2，a＝1，b2＝c2﹣a2＝8，所以Q点的轨迹方程为x2-7．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，FA．[13，12) B．【解析】如图所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，连接PI并延长，交x轴于点Q，则∠PF1I＝∠IF1Q，∠PF2I＝∠IF2Q，则PI8．设直线2x﹣y+m＝0（m≠0）与双曲线x2a2A．y=±22x B．y＝±3x C．y=±6【解析】由y=2x+my=bax，解得M（mab-2a，bmb-2a），由y=2x+my=-bax，解得N（-am2a+b，bm2a+b）．∴MN的中点坐标为P（2a2m选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则（BC）A．a5＝0B．S11＝0C．当n＝5时，Sn取最大值 D．Sn的最小值是0【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝10，S9＝18，所以S9=9a1+9×82d=90+36d＝18，解得d＝﹣2，对于A，a5＝a1+4d＝2，故A错误；对于B，S11=11a10．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（AC）A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为22 D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=x-1y2=4x，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1＝﹣4+4+1＝1，|AB|=1+12(y1+y2)2-4y1y2=242-4×(-4)=8，故A正确；OA→•OB→=（x1，y1）（x2，y11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则下列结论正确的是（BC）A．直线A1P与BD所成的角是π6B．当B1P＝2PC时，点D1到平面A1BP的距离为23C．三棱锥P﹣A1C1D的体积不变 D．若B1P→=13【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2）．B1C→=(0，2，-2)，BD→=(-2，2，0)，设B1P→=tB1C→=(0，2t，-2t)(0≤t≤1)，依据共线向量设坐标，故P（2，2t，2﹣2t），A1P→=(2，2t，-2t)，若直线A1P与BD所成的角是π6，则|BD→⋅A1P→|BD→||A1P→||=|-4+4t|22×4+4t2+4t2=4-4t22×4+8t2=32，整理得4t2+4t+1＝0，因此（2t+1）2＝0，解得t=-12∉[0，1]，根据范围的限制直线A1P与BD所成的角不可能是π6，因此A错误；当B1P＝2PC时，结合A中分析可得t=23，故P(2，43，23)，故BP→=(0，43，23)，而BA1→=(-2，0，2)，设平面A1BP的法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅BP→=0，m填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．等比数列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．则{an}的前9项之和为．9或17【解析】在等比数列{an}中，由a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12，得q2当q＝﹣2时，a2+a5+a8＝﹣6，S9＝a1+a2+…+a9＝3﹣6+12＝9；当q＝2时，a2+a5+a8＝6，S9＝a1+a2+…+a9＝3+2+12＝17．13．过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是．4【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点P（2，1）是线段AB的中点，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，所以y12=8x1，y22=8x2，两式相减得（y1﹣y2）（y1+y14．设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A【解析】根据题意，可知F（c，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），将x＝c代入双曲线的方程，解得y＝±b2a，设B（c，b2a），C（c，-b2a），由题意可知A1B与A2C的斜率存在且不等于0，根据A1B⊥A2C，可得A1B与A2C的斜率之积为﹣1，即b2ac+a•-b2a所以双曲线的离心率e=c四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝23，求直线l的方程．【解析】（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则3（-D2）+E2=0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，联立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝6，∴圆C的方程为x2+y2（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x﹣2＝0，则24-1=23，满足|MN|＝23．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圆心C（1，3）到直线l的距离d=|k-3+1-2k|k2+1=|k+2|（2）由（1）知，1an=1+2(n-1)=2n-1，则an=16．（本小题15分）已知非零数列{an}满足：a1＝1，an﹣an+1＝2an•an+1（n∈N*）．（1）求证：{1（2）求数列{an•an+1}的前n项和Sn．【解析】证明：因为非零数列{an}满足：a1＝1，an﹣an+1＝2an•an+1（n∈N*），所以1an+1-1an=217．（本小题15分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝2，∠BAD＝60°，点E在线段AB上，且AE＝2，F为BC的中点．（1）求证：C1E∥平面ADD1A1；（2）若直线D1E与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角B1﹣EF﹣C1的余弦值．【解析】（1）证明：由题意可得CC1∥DD1，又DD1⊂平面ADD1A1，CC1⊄平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，连接CE，∵AE∥CD且AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，则CE∥AD，又AD⊂平面ADD1A1，CE⊄平面ADD1A1，∴CE∥平面ADD1A1，又CC1∩CE＝C且CC1，CE⊂平面CC1E，∴平面ADD1A1∥平面CC1E，又C1E⊂平面CC1E，∴C1E∥平面ADD1A1；（2）解：连接DE，由题意可得△ADE为等边三角形，故DE＝2，由DD1⊥平面ABCD可得∠D1ED为直线D1E与平面ABCD所成的角，故∠D1ED＝45°，则DD1＝DE＝2，以D为坐标原点，DC，DD1所在直线分别为y，z轴，过D且垂直于平面CDD1C1的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示，则E(3，1，0)，F(32，72，0)，B1(3，5，2)，C1（0，2，2），所以EF→=(-32，52，0)，B1E→=(0，-4，-2)，C1E→=(3，-1，-2)，设平面B1EF的法向量为n1→=(x1，y18．（本小题17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，a1＝﹣7，a2＝﹣4．（1）求a3和a4的值，再猜想数列{an}的通项公式，并证明；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn；（3）若数列{bn}满足bn=2