高三下学期数学专题四 三角函数与解三角形（解析版）

专题四三角函数与解三角形选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2024广西名校模拟，3）已知在中，，则（）A.3B.-3C.D.解析：由已知可得.故选D.2.（2024广东广雅中学适应性考试，2）已知，则=（）A.B.C.D.【答案】A【分析】利用诱导公式与和角公式化简所求式得，构造分母，分子分母同除以，化弦为切，代入即得.【详解】由.故选：A.3.（2024辽宁名校联盟模拟，3）函数在下列哪个区间上单调递增（）A.B.C.D.【答案】C【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.详解】令，，得，令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.故选：C4.（2024黑龙江部分学校三模，5）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（）A.是偶函数B.的图象关于直线对称C.在上的最大值为0D.不等式的解集为【答案】C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可.【详解】由题知.A：由于的定义域为，且，故为奇函数，故A错误；B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误；C：因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；D：，则，则，故，故D错误.故选C.5.（2024山东齐鲁名校联盟检测，5）在中，角的对边分别是，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，即，又由余弦定理得.故选C.6.（2024重庆检测，8）已知，且，则（

）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】因，所以，，因为，所以，所以，解得或舍，则故选C.7.（2024安徽A10联盟检测，6）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且

，则(

)A.B.C.D.【答案】D

【分析】考查正弦定理、余弦定理，是基础题.由已知结合正弦定理得即，再由余弦定理化简，即可求解.【解答】由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，，，又，故选8.（2024河北石家庄适应性考试，4）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案A【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出函数的符号分布情况，即可得解.【详解】令，则，所以函数在上单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以函数为偶函数，又，所以，则当或时，，当或时，，由，得或，解得或，所以关于的不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024湖北武汉模拟，9）已知（，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.的最小正周期为C.在内有3个极值点D.在区间上的最大值为【答案】ABD【分析】根据函数的部分图象求得，，值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解.【详解】对于AB，根据函数的部分图象知，，，，故AB正确，对于C，由五点法画图知，，解得，由于，所以，.令，则，时，，时，，当时，，当时，，当时，，故在内有2个极值点，分别为，，故C错误，对于D，，可得：，故当此时取最大值，故D正确.故选ABD.10.（2024广东广州执信中学检测，9）已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为B.的对称中心为C.在上的递增区间为D.在上的极值点个数为1【答案】ACD【分析】对于A，直接由三角函数定义域即可判断；对于B，代入检验即可判断；对于C，由复合函数单调性、正弦函数单调性即可判断；对于D，由复合函数单调性、值域即可判断.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，时，，且关于单调递增，又在时单调递增，令，解得，所以在上的递增区间为，故C正确；对于D，时，，在时，当且仅当，即时，函数有唯一极值点.故选：ACD.11.（2024辽宁名校联盟检测，10）函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（）A.B.是偶函数C.的图像关于点中心对称D.当时，取到最小值【答案】BC【解析】【分析】利用三角变换和图象变换得到，代入计算后可判断AD的正误，根据定义可判断B的正误，利用整体法可求判断C的正误.【详解】，故，对于A，，故A错误.对于B，，而，故为偶函数，故B正确.对于C，令，则，故的图像的对称中心对称为，当时，对称中心为，故C正确.对于D，，故为取到最大值，故D错误.故选：BC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024安徽合肥模拟，13）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.【答案】

【解析】因为，又因为，所以，可得，所以，整理可得：，即，在锐角三角形中，，即，即，又因为，所以，，因为，所以13.（2024河南部分重点中学联考，13）在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为______；若，则的面积为______．【答案】;【分析】由，求得，利用基本不等式，求得面积的最小值的最小值，再由余弦定理，求得，求得的面积.【详解】由题意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值，因为，即，又因为，所以，即，因为，解得，因此．故答案为：；.14（2024福建厦门模拟，13）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______.答案四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（2024湖南常德模拟，15）在中，内角,,的对边分别为,,，且．(1)求角；(2)若,,成等差数列，且的面积为，求的周长．解：(1)由正弦定理，...................................................................................................................2分由余弦定理.....................................5分又，.......................................................................................................6分(2)由,,成等差数列，①...........................................................................7分的面积为，，即②......................................9分由(1)③由①②③解得：...................................................................................12分，故的周长为15.............................................................................13分16.（2024安徽合肥一六八中学模拟，15）在中，角的对边分别是，且.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出的值，从而求出周长.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）易知，因.所以，由余弦定理，得.又因为，所以代入得，所以，所以.又因为，所以，所以的周长为.17.（2024广东广雅中学适应性考试，15）在锐角中，角所对边的边长分别为，且.（1）求角；（2）求的取值范围.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果.【解析】（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且为锐角三角形，所以，，则，因为，.18.（2024河北石家庄质量检测，15）在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．【解析】（1）由正弦定理，可得，（2），，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值.19.（2024重庆南开中学质量检测，15）已知分别为的内角A、B、C