高三下学期数学专题三 导数及其应用（解析版）

专题三导数及其应用选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024广东深圳中学模拟，3）曲线在点处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1答案C解析y,=x+12.（2024河北邯郸调研，4）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】令可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.【详解】令，即，即，解得，故，，则，则其切线方程为：，即.故选：C.3.（2024福建福州一中模拟，5）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.【详解】当时，，函数是偶函数，当时，，，当时，，，即曲线在处切线的斜率为-5.而，所以曲线在处的切线方程为：.所求即为.故选A.4.（2024广东广州执信中学检测，6）已知直线与函数，的图象分别相交于，两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的最大值为（）A.B.1C.D.【答案】A【分析】根据题意分别求得，，即，从而构造函数，利用导数求出最大值，从而求解.【详解】，且由，，可得，，则.设，，则，当，，当，，所以在单调递增，在单调递减，当时，有极大值也是最大值，即的最大值为，故A正确.故选：A.5.（2024重庆巴蜀中学月考，7）已知函数的图象与x轴无公共点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．答案B令，则，当时，与x轴有公共点，故时不成立；当时，，又，故与x轴有公共点，故时不成立；当时，，因为与x轴没有公共点，故时，恒成立，即恒成立，令，，时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故选B．6.（2024湖北华师大一附中、湖南师大附中等三校二模，8）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围.【详解】依题意得，，故，令，则，令可得，所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增；且当时，，当时，；则由，得，则令，则，故当时，，单调递减，当时，单调递增，故，则，则实数的取值范围为.故选：D．7.（2024福建南平预测模拟，8）设，则（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解.【详解】设函数，又，所以当时，0，所以在区间内单调递增，又，所以当时，0恒成立，即，所以当时，，即，所以，所以．即；设，而，设，则，当时，单调递增，所以，所以当时，，即当时单调递增，所以，故当时，单调递增，所以，即，所以，即，即．综上，，故选B．8.（2024黑龙江哈尔滨六中四模，8）设，则大小关系（）A.B.C.D.【答案】B【分析】通过证明确定的大小关系；通过证明确定的大小关系.【详解】令，，所以在上单调递增，所以，即，，，所以.令，，令，，，令，则，所以在上单调递减，，，所以存在唯一，使得，即当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为中一个，而，，所以，即，所以在上单调递增，所以，即，，所以，即.所以.故选：B.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024江苏苏州三模，10）定义表示中的最小者，设函数，则（）A.有且仅有一个极小值点为B.有且仅有一个极大值点为3CD.恒成立【答案】ACD【分析】根据函数的新定义得到分段函数的解析式，画出函数的图象，结合函数的图象和选项，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数作出函数的图象，如图所示，由图象知，有且仅有一个极小值点为，所以A正确；函数有两个极大值点1和3，所以B错误；令，可得或或，解得或，即当时，，所以C正确；由图象知，当时，函数的最大值，所以存在实数，使得恒成立，所以D正确.故选：ACD．10.（2024重庆检测，11）若函数既有极小值又有极大值，则（

）A.B.C.D.【答案】ABC【分析】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得，因为既有极小值又有极大值，可得方程在上有两个不同的实数根，则满足，可得，所以，，，例如：时，满足上式，此时不成立．故选：ABC.11.（2024河北石家庄适应性考试，11）已知，.若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（

）A．函数在处的切线与函数在处的切线重合B．当时，C．当时，D．若恒成立，则答案ABC【分析】求出在切点处的导数和函数值，即可得切线方程，可判断A；对变形为，利用导数判断的单调性，由单调性可得，然后可判断B；利用B中结论，结合的最值可判断C；令，利用导数求最小值，由可判断D.【详解】选项A，由，得，又验证知，切线方程都为，故A正确；选项B，，则，且，由，得，当时，，则在上递增，所以当时，有唯一解，故，，故B正确；选项C，由B正确，得，设，则，令，解得，易知在上单调递增，在上单调递减，，故C正确；选项D，由恒成立，即恒成立，令，则，由在上递增，又，存在，使，在上递减，在上递增（其中满足，即）．，要使恒成立，，存在满足题意，故D错误．故选：ABC．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024安徽皖江名校联盟模拟，14）已知函数，当时的最大值与最小值的和为________．【答案】【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.【详解】，当时，，递增；当时，，递减；，，，故最大值与最小值的和为：．13.（2024山东省实验中学模拟，13）已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为______．【答案】【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值.【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，设，则为增函数，令则，故当时，单调递减；当时，单调递增.故，即在曲线下方.则当处的切线与平行时取得最小值.设，对求导有，由可得.故当时取最小值.故答案为：14.（2024广东省实验中学模拟，14）已知x=x1和x=x2分别是函数fx=2ax−ex答案1,【详解】因为fx所以f′依题意f′x至少要有两个变号零点x1令ℎx=f①若0<a<1，则ℎ′x在R上单调递减，此时若则当x<x0时ℎ′x>0所以f′x在−∞此时若有x=x1和x=x2分别是函数fx=2a②若a>1，则ℎ′x在R上单调递增，此时若则当x<x0时ℎ′x<0所以f′x在−∞令ℎ′x0此时若有x=x1和x=x2分别是函数fx=2ax−即f′x0=2a故x0lna=lna即lna<1，所以1<a<e，即故答案为：1,四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（2024广西名校联考，15）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意，求的取值范围.解：（1），得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）对任意，即，设，①当a≤0时，单调递增，单调递增，，成立；②当0＜a≤1时，令单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，単调递减，单调遌減，，不成立.综上可知a≤1.16.（2024黑龙江部分学校三模，15）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有三个零点，求a取值范围．【解析】（1）当时，函数，可得，所以，且，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，可得是的一个零点，因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，令，所以，令，可得，令，可得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，且当时，，所以，当时，的值域为；当时，的值域为，所以，且，所以且．所以a的取值范围是．【方法点睛】已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1.直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2.分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3.数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.17.（2024江苏苏州三模，16）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）要证明，只要证即可，设，利用导数求得最值即可证明．【解析】（1）函数的定义域为，且．当时，恒成立，所以在区间上单调递增；当时，令，解得，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减．综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）当时，因为，所以要证，只要证明即可，即要证，等价于（*）．令，则，在区间上，单调递减；在区间上，单调递增，所以，所以（当且仅当时等号成立），所以（*）成立，当且仅当时，等号成立．又在上单调递增，，所以存在，使得成立．综上所述，原不等式成立．18.（2024安徽六安一中适应性考试，）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值.【分析】（1）利用导函数的正负判断原函数的单调性；（2）构造函数，再转化为恒成立问题解决．【解答】（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝﹣a＝，当a＜0时，由于x＞0，从而f（x）在（5；当a＞0时，令f'（x）＞0，令f'（x）＜0，从而f（x）在（0，）上递增，+∞）递减；（2）令，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需h（x）≤0恒成立，则h（x）max≤8即可，h'（x）＝﹣a﹣＝＝，令h'（x）＝0，解得x＝（舍），∴h（x）在（0，）上单调递增，+∞）上单调递减，所以hmax（x）＝h（）＝ln，解得：，所以a的最小值为．19.（2024河北石家庄质量检测，17）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数，求函数极值点的个