山东省泰安市2026届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市2026届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以的虚部为.故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，或，，，，.故选：D.3.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.4.已知正项等差数列满足，则（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，则，则，解得或，又，所以.故选：C.5.已知函数，则在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，当时，令，且在上单调递增，所以，所以，此时，故选：D.6.已知函数的定义域为，值域为，则“”是“对任意，存在，使”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】命题，即值域包含所有正数；命题对任意，存在，使；充分性分析：若，则对任意，取，则，故存在使得，所以能推出，充分性成立；必要性分析：若对任意，存在使得，这说明函数的值域无上界.例如取，定义域，则其值域.显然，对任意，存在（例如取），使得，命题成立；但其值域，不满足，即命题不成立，不能推出，必要性不成立.是的充分不必要条件.故选：A.7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即；设，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，即；所以.故选：B.8.已知定义在上的函数，其导函数分别为，，，且为奇函数，则（）A.6 B.4 C.2 D.0【答案】A【解析】因为，，所以，，则，即，又为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以是以为周期的周期函数，所以，，，又，所以，，即，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.当时，的最小值为4【答案】AC【解析】对于A，因为函数在上单调递增，所以由即知，，则，A正确；对于B，若，则当时，，B错误；对于C，由，因，可得，故有，C正确.对于D，因为，所以，在上单调递减，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5，D错误，故选：AC.10.已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（）A.B.在上单调递减C.图象关于对称D.若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则【答案】ACD【解析】选项A，，在的图象上，，，，，，，，，在轴左侧，，，，的最大值为4，最小值为，又，，，，，，，故选项A正确；选项B，，，，，在范围内是减函数，在范围内是增函数，在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项B不正确；选项C，，对称轴为，，当时，对称轴为，故选项C正确；选项D，，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数，，，，当时，即时，，的最大值为4，最小值为，，，故选项D正确.故选：ACD.11.已知三次函数，则下列说法正确的是（）A.若有两个极值，则B.若，则C.若函数有3个零点，且，则D.当函数的图象经过的象限最多时，的取值范围是【答案】ABD【解析】选项A，，，三次函数，，有两个极值，有两个不等实根，，，，，故选项A正确；选项B，，，，，，，故选项B正确；选项C，有3个零点，有3个不同的根，，，，，，，故选项C不正确；选项D，设，，，的图像经过的象限最多，则的图像要经过全部四个象限，当且仅当函数在和上均有正值和负值，时，或，当时，即，的解为或，则在和为增函数；的解为，则在为减函数；，，，时，，当时，，的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当时，即，的解为或，则在和为增函数；的解为，则在为减函数；，，，时，，当时，，的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当时，，则在为增函数；，，，时，，当时，，的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当时，即，的解为或，则在和为减函数；的解为，则在为增函数；，，，，，，，有正有负，过二、三象限；，，当时，即，，，在的范围有正有负，当时，的图像经过的象限最多为第一、四象限；综上可知，时，的图像经过的象限最多为第一、二、三、四象限，故当的图像经过的象限最多时，.故选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，，若，则___________．【答案】【解析】因为，且，所以，所以，故答案为：.13.已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，，，又，所以，则，所以，则，所以，又，所以，则，所以，又，所以，所以.故答案为：.14.已知关于的函数是的零点.记其中表示不超过的最大整数，若为的前项和，则___________．【答案】【解析】因为是的零点，所以，令，则，则，令，且在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以存在唯一使得，当()时，，所以，当()时，，所以；当()时，，当()时，，当()时，，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数的极值．解：（1）由得，当时，，在上单调递增；当时，令且得，令且得，故在上单调递减，在

上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，在上单调递增，无极值；当，即时，在上单调递减，无极值；当，即时，，且在上单调递减，在上单调递增，故函数在处有极小值，无极大值.16.已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围．解：（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以，又，所以，即恒成立，所以；（2）若点在直线上，则，又函数的图象过点，所以，所以，所以；所以，因为在上有两个不同的零点，所以在上有两个不同的解，且，记，其开口向上，对称轴为，要使在上有两个不同的零点，则，即，解得，又，所以且，所以且，即的取值范围为.17.已知在中，内角的对边分别为，且.（1）求证：；（2）若的平分线交于，求的值．（1）证明：因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以或(舍去，此时，不符合条件)，所以.（2）解：因为，所以，所以，因为，所以，且，所以，在中，，，，，，.18.已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围．解：（1）因为数列的前项和为，当时，，当，时，，也满足上式，所以；因为，所以，由数列的各项均为正数得，即，又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以；（2）当为奇数时，，记，则有，，①-②得：，所以，当为偶数时，，记，则，所以．（3）由与恒成立，可得恒成立，所以恒成立，即求的最大值，设，，所以单调递增，又，所以，所以．19.已知．（1）若，求的值域；（2）已知存在唯一的极值．（i）求实数的取值范围；（ii）若存在实数，使对于恒成立，求的最小值．解：（1）由，当时，，则，所以在上单调递增，而，所以的值域为.（2）（i）由，则，当时，，则在上单调递增，无极值，不满足题意；当时，设，，则，由，，，则，从而在上单调递增，又，，由零点存在性