山东省烟台市2026届高三上学期期中学业水平诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省烟台市2026届高三上学期期中学业水平诊断数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得集合，，则，故C正确.故选：C.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】全称量词命题“，”的否定为“，”.故选：B.3.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，则，所以，当且仅当时取等号，B选项错误；因为，当时，，A选项错误；因为，所以，当且仅当时取等号，C选项错误；因为，当且仅当时取等号，D选项正确；故选：D.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意为等差数列，则，所以，则.故选：C.5.在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（）A.为定值4 B.为定值8 C.最大值为4 D.最大值为8【答案】A【解析】如图：因为等腰直角三角形中，，所以.设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，.由数量积的几何意义可知，.故选：A.6.若实数满足，则的大小关系不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，作出函数的图象，如图，结合选项，由图可知，当直线为时，；当直线为时，；当直线为时，，而始终不可能.故选：D.7.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，因是上的奇函数，则，所以，即，所以，即是周期为4的奇函数，由，而，所以.故选：B.8.已知锐角满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，又，则，解得或，当时，因为，所以，此时不存在；当时，因为，所以，而，则，因为为锐角，所以.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的有（）A.在上单调递增B.的图象关于直线对称C.若有两个零点，则D.若的值域为，则【答案】BC【解析】由题设，且，对称轴为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，当，即时，若是的两个根，且，则上，此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确，令，即，若有两个零点，则，可得，C正确，若的值域为，则，此时，D错误.故选：BC.10.若等比数列的公比为2，且，令，且数列的前项积为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为，所以，对于A项，，故A项正确；对于B项，，则，故B项正确；对于C项，因为，而的取值具有周期性变换，则无法比较大小，故C项错误；对于D项，，故D项正确．故选：ABD.11.若函数有3个零点，则下列结论正确的有（）A.为定值B.C.存在，使得的图象关于点对称D.若对任意的，，则【答案】AD【解析】对于A，由题意，可得，则，即为定值，故A正确；对于B，由，则，令，得或，令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，要使函数有3个零点，且，解得，由于大小不确定，当最小时，可得，由A知，，则，故B错误；对于C，由B知，函数在和上单调递增，在上单调递减，若的图象关于点对称，则，解得，不符合题意，故C错误；对于D，由B知，，则，且函数在和上单调递增，在上单调递减，若，即时，函数在上单调递增，则，所以，由于对任意的，，则，解得，则；若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则由于对任意的，，则，解得，与矛盾.综上所述，，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则_______.【答案】1【解析】由与垂直，则，则，又，向量，的夹角为，所以，解得（舍去）或.故答案为：1.13.已知三个内角的对边分别为，且，若求时有两解，则的取值范围为__________.【答案】【解析】由余弦定理得，，则，由题意，有两解，且，则，解得，又，则，即的取值范围为.故答案为：.14.已知函数的定义域为，，且对任意的，不等式和均成立，则的值为_____；满足的的最小正整数为______.【答案】①.5；②..【解析】（1）由对任意的，不等式成立，分别令得，，两式相加得，即.又，得，即，再与相加得，，令，得，即.所以.（2）由，即，所以，，以上n个式子相加得，，即，所以.同理有，，以上n个式子相加得，，即，所以.再由（1）可知，进而，所以，以上5式相加得，所以，再由，得.同理有，以上5式相加得，即，再由前可知，所以.所以的的最小正整数为.故答案为：5；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知图象关于点对称.（1）求的值；（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域.解：（1）由题知，，所以，即，所以．因为图象关于点对称，所以，所以，又因为，所以．（2）由（1）知，．将函数图象上各点横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，再将得到的图象向左平移个单位，故得到函数．当时，，故当，即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增．所以，则值域为.16.某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本）（1）求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量.解：（1）由题，当时，该企业生产该电子产品年利润为万元，所以，解得，所以当时，；当时，，则；综上，；（2）当时，对求导，可得，令，即，解得，当时，，所以在上单调递增，则当时，取得最大值，（万元）；当时，（万元），当且仅当，即时等号成立，综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件.17.已知的内角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求.（1）证明：由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.（2）解：由正弦定理得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故.18.已知数列的前项和为，且，数列满足且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）因为，故当时，；当时，，满足上式，所以，；因为，所以，所以，所以.（2）当为奇数时，，记，则有，，得：，，，当为偶数时，，记，．19.已知，.（1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若，当且时，，求实数的取值范围.解：（1）由，得，则，由直线，即，由切线与直线垂直可知，解得；（2）由，当时，，令，解得，且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，，当时，恒成立，即函数恒成立，函数在上单调递减；当时，令，解得，，且，即函数在和上单调递减，在上的单调递增；当时，令，解得，，即当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；综上所述，当时，函数在