山西省天一大联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省天一大联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点和的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析所求直线的方程为，即.故选：A.2.若空间向量与垂直，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由题可知，解得.故选：B.3.抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以该抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.故选：C.4.已知双曲线的焦距为10，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设的半焦距为.由题可知，即，所以，则的渐近线方程为.故选：D.5.圆与圆的公切线条数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.因为，所以两圆外切，则圆与圆的公切线有3条.故选：B.6.已知平面的一个法向量为，为平面外一点，且，则点到平面的距离为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】由点到平面的距离公式得点到平面的距离为.故选：D.7.已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值【答案】A【解析】由题可知①，又②，①②联立，结合，得，.因为，所以当时，取得最大值为.故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，.如图，设圆与线段，，分别相切于点，，，则，，，所以，所以，从而可知内切圆的圆心在直线上.因为斜率为，所以倾斜角为，因为是的平分线，所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得，所以，即圆的半径为，得圆的面积为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，动直线，则（）A.的值越大，的斜率越大 B.在轴上的截距为定值C.在轴上的截距为定值 D.不可能经过坐标原点【答案】BD【解析】对于A，直线的方程可化为，则的值越大，的斜率越小，故A错误；对于B，令，可得，所以在轴上的截距为定值，故B正确；对于C，令，可得，因为是变化的，所以在轴上的截距不是定值，故C错误；对于D，将代入直线方程，可得，不成立，故D正确.故选：BD.10.已知圆，则（）A.圆的面积随的增大而减小B.圆恒与直线相切C.当时，圆上恰有3个点到轴的距离为1D.当时，圆上的点到轴的距离的最大值是6【答案】BCD【解析】对于A，圆的方程可化为，圆心为，半径为2，所以圆的面积为，为定值，故A错误；对于B，由圆的方程可得圆恒与直线相切，故B正确；对于C，当时，圆的方程为，圆与轴交于点，，在轴左侧，圆上仅有一个点到轴的距离为1，在轴右侧，圆上有两个点到轴的距离为1，所以圆上恰有3个点到轴的距离为1，故C正确；对于D，当时，圆心为，圆心到轴的距离为4，所以圆上的点到轴的距离的最大值是，故D正确.故选：BCD.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上的动点且不在轴上，则（）A.的离心率为B.的面积的最大值为C.的最小值为D.以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为【答案】ABD【解析】由题易知，，，所以，.设.对于A，的离心率，故A正确；对于B，由题可知，当点位于的上、下顶点处时，的面积最大，且最大值为，故B正确；对于C，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，由题可知的左顶点为，上顶点为，这两点所在直线的方程为，根据对称性可知，以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径即为原点到直线的距离，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与平行，则_____.【答案】或0.5【解析】因为，所以，解得.故答案为：.13.已知抛物线的焦点为，，，是上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线，，的斜率之和为_____.【答案】2【解析】由题可知.设，则.由题可知，直线的斜率，同理直线的斜率，直线的斜率，所以直线的斜率之和为.故答案为：2.14.如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为__________.【答案】1【解析】设，，则.如图，作，，垂足分别为，，连接，则，两边平方得.由图可知，，，，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.（1）试用向量，，表示向量；（2）求直线与所成角的余弦值.解：（1）因为是的中点，所以.（2）如图，以坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，.因为，所以直线与所成角的余弦值为.16已知圆，直线.（1）当时，求被圆截得的弦长；（2）求被圆截得的弦长的最小值.解：（1）圆的圆心为，半径为，当时，的方程为，圆心到的距离，此时被圆截得的弦长为.（2）的方程可化为，令可得所以恒过点.记点，当时，圆心到的距离最大，被圆截得的弦长最小.因为，所以弦长的最小值为.17.已知椭圆的焦距为.（1）求的方程；（2）过上一动点作椭圆的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值.（1）解：设的半焦距为.由题可知，则.又，所以.所以的方程为.（2）证明：设，切线的斜率为，则切线方程为.联立方程可得消去得，由，可得，化简得.因为，所以.设过的两条切线的斜率分别为，，易知由根与系数的关系可得，所以两条切线的斜率乘积为定值.18.如图，在三棱锥中，，，平面平面是的中点.（1）求证：.（2）点满足，且平面.（i）求的值；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：连接，因为，是的中点，所以，.因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以.由，，可得，又，，所以，故.（2）（i）解：由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，则.设是平面的法向量，由，可取.因为平面，所以，即，解得.（ii）解：设是平面的法向量，平面与平面的夹角为.，，由，可取.由知，平面的一个法向量为.所以，故平面与平面的夹角的余弦值为.19.已知双曲线的离心率为2，右焦点为.（1）求的方程.（2）若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.（i）证明：直线恒过点；（ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值.（1）解：设半焦距为，由知.又离心率，所以，