2025-2026学年上海杨浦高三一模数学试卷（含答案）

杨浦区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.

1．不等式的解集为．

2．函数的最小正周期为．

3．已知向量，且，则实数．

4．若复数满足：，则．

5．在二项式的展开式中，的系数为．

6．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为．

7．圆的圆心到直线的距离为．

8．已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为，两人各投一次，假设事件＂甲命中＂与＂乙命中＂是独立的，则至少有一个人命中的概率为．

9．等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则．

10．已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则．

11．某数学建模活动小组在开展主题为＂空中不可到达两点的测距问题＂的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，且，用测角仪测得的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；（4），

其中一定能唯一确定之间的距离有．（写出所有正确的序号）

12．数列满足：，且，记集合或。若数列满足：对任意，均有，则称数列是＂好的＂．＂好的＂数列的个数为.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．已知实数满足：，则下列不等式恒成立的是（）.

A．B．C．D．

14．若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（）.

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则15．已知双曲线，点，点分别在双曲线的左、右两支上，则向量的夹角（）.

A．有最大值，但无最小值B．无最大值，但有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值

16．函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．下面判断正确的是（）.

A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体中，为上一动点，已知，．

（1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示）

（2）求三棱锥的体积．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数．

（1）记，求证：函数为偶函数；

（2）在中，所对的边分别为，已知，求的面积．

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）

为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩

（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）在考核成绩为的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？

（3）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交椭圆于（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．

（1）若椭圆的离心率为，求的值；

（2）已知，且是线段的垂直平分线，求的值；

（3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率．．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数．

（1）判断函数是否为压缩函数？并说明理由；

（2）若函数为压缩函数，求实数的取值范围；

（3）已知函数为压缩函数，求证：为单调函数的充要条件是：对任意，均有

杨浦区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.

1．（）2．3．4．5．2406．7．8．9．10．11．②③④12．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．B14.C15.A16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体中，为上一动点，已知，．

（1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示）

（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，因为平面，

所以是直线与平面所成的角，2分

由，所以

在Rt中，，4分

所以

即直线与平面所成角的大小为，6分

（2）三棱锥的体积，8分

点到平面的距离为，10分三角形的面积，12分

所以三棱锥的体积，14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数．

（1）记，求证：函数为偶函数；

（2）在中，所对的边分别为，已知，求的面积．

【答案】（1）偶函数（2）【解析】（1），4分

因为函数的定义域为，且对任意，所以函数为偶函数；6分

（2）由，可得8分由可得：，所以10分由，可得12分所以的面积14分

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）

为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩

（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）在考核成绩为的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？

（3）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）【答案】（1）（2）6人（3）【解析】（1）由频率之和为1结合频率分布直方图可得，解得，4分

（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在的三组学生有（人），

其中样本答卷成绩在的学生人数为，6分

用分层抽样的方法应从答卷成绩在的学生中抽取（人）．8分

（3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为，

成绩在的学生人数为，10分所以两组学生成绩的平均数，12分

两组学生成绩的方差20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交椭圆于（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．

（1）若椭圆的离心率为，求的值；

（2）已知，且是线段的垂直平分线，求的值；

（3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，可得，所以，即，4分

（2）设则，又为线段的中点，所以，6分

又可得：，即，8分

又点在椭圆上，所以，所以，即，10分

（3）设，则．因为，所以，12分

代入椭圆方程，解得，14分

所以，

联立，则分

所以．18分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数．

（1）判断函数是否为压缩函数？并说明理由；

（2）若函数为压缩函数，求实数的取值范围；

（3）已知函数为压缩函数，求证：为单调函数的充要条件是：对任意，均有【答案】（1）是压缩函数，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）函数是压缩函数，2分

理由：对任意，易知

所以，4分

（2）由题意，，都有.显然，当时，符合.

不妨设，则，即.

设，在上为减函数，，在上为增函数．所以，即．

所