内蒙古包头稀土高新区第二中学2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

内蒙古包头稀土高新区第二中学2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．变量，之间有如下对应数据：3456713111087已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.32．等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（）A. B.C D.3．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.5．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.3C.4 D.56．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.27．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）A. B.C. D.8．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A.5 B.3C.4 D.210．若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆，且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为，则下列满足题意的方程为（）A. B.C. D.11．直线的倾斜角为A. B.C. D.12．已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.①甲比乙的极差大；②乙的中位数是18；③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是21.14．已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______15．已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.16．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.18．（12分）已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围19．（12分）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值21．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.（1）求对角线所在直线的一般方程；（2）求所在直线的一般方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】将样本中心点代入回归方程后求解【详解】，，将样本中心点代入回归方程，得故选：D2、C【解析】经分析可得，等比数列各项的绝对值单调递增，将五个数按绝对值的大小排列，计算相邻两项的比值，根据等比数列的定义即可求解.【详解】因为等比数列中有连续四项在集合中，所以中既有正数项也有负数项，所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值单调递增，按绝对值排列可得，因，，，，所以是中连续四项，所以，故选：C.3、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.4、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A5、C【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.故选：.6、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.7、B【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.【详解】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B8、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D9、B【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故选：B.10、A【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切，所以矩形两边长分别为，由矩形面积为48，得，对于选项B，D由于，不符合条件，不正确.对于选项A，，满足题意.对于选项C，不正确.故选：A.11、B【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题12、D【解析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)，∴.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③④【解析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断【详解】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；乙中位数是，②错；甲平均数是：，乙的平均数为：16.9，③正确；乙的众数是21，④正确故答案为：①③④14、【解析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：15、【解析】由题得，解方程组即得解.【详解】解：由题得，因为是直线的一个方向向量，所以，所以，所以.故答案为：16、①.②.1011【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，原点到直线的距离为，，即①.联立直线与椭圆方程可得，则，则，由韦达定理可得，.，则为线段的中点，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.18、（1），；（2）.【解析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图像即可得出答案.【详解】解：（1）当时，，，∴在单调递减，在单调递增，，，∴，（2），则，∴在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，作出函数和得图像，∴由图象可得，.19、（1）证明见解析（2）（3）存在点，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）可证得两两垂直，所以分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（3）设，然后利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小问2详解】由（1）可知，平面，所以，因为，所以两两垂直分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）因为，，所以，所以，设平面的一个法向量为，则,即令，则，；所以设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为的正弦值为；【小问3详解】设，易知设，则，所以，所以，所以设平面的一个法向量为，则，因为，所以令，则，所以在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.【小问1详解】解：∵的周长为8，∴，即，∵离心率，∴，，∴椭圆C的标准方程为【小问2详解】方法一：设，则直线斜率，∵，∴直线斜率，∴直线的方程为：，同理直线的方程为：，联立上面两直线方程，消去y，得，∵在椭圆上，∴，即，∴，∴所以与的面积之比为定值4方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，则直线的方程为，∵，∴直线的方程为，将代入，得，∵P是椭圆上异于点，的点，∴，又∵，即，∴，即，由，得直线的方程为，联立得，∴所以与的面积之比为定值421、（1）（2）详见解析.【解析】（1）由，求导，得到，写出切线方程；（2）求导，再分，，讨论求解.