概率论与数理统计教案参数估计

概率论与数理统计教学兼案

第6章参数估计

教学基本指标

教学课题第6章第1节点估计课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点点估计、估计量与估计值的概念、估计量的元偏教学难点矩估计法（一阶、二阶距）和最

性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、大似然估计法。

矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。

参考教材浙江大学《概率论与数理统计》第四版作业布置课后习题

大纲要求1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）

和一致性（相合性）的概念，并会验证估计昼的无偏性；会利用大数定律iE明估计量的相合性。

2.掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。

2.掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。

教学基本内容

一.矩估计法

1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是

中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一•确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度

上反映总体矩的特征。

2.矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法.

3.矩估计法的步骤：

设总体X的分布中包含m个未知参数（1,（2,…，（叫为来自总体X的样本，如果总体的k阶原点矩存在,

并设，相应的k阶样本原点矩为，以替代，即可得到关于（1,（2,…，（in的方程组

]n

〃人（4,=—k=1,2,...,"2

方程组的解、称为参数（k的矩估计量.

4.若代入一组样本观测值，则称为参数（k的矩估计值.

二.最大似然估计法

1.最大似然估计的步骤：

若总体X的分布中含有k个未知待估参数（1,（2,…，（k,则似然函数为

抽血力/⑶40，…4）•

;=|

解似然方程组，或者对数似然方程组，即可得到参数的最大似然估计。

2.定理：若为参数的最大似然估计，为参数的函数，则是的最大似然估计.

三.点估计的评价标准

1.无偏性：设是未知参数.的估计量，若，则称为.的元偏估计。

2.有效性：设均为参数.的天偏估计量，若则称有效“

3.相合性（一致性）：设为未知参数.的估计量，若对任意的，都有，即依概率收敛于参数.，则称为.的相合

（一致）估计。

4.定理：设为（的估计量，若，则为（的相合（一致）估计.

四.例题讲解

例1.设X为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为

X0123

P同2伙1-。）岁1-26—

其中是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值.

例2.设某种钛金属制品的技术指标为X其概率密度为其中未知参数，为来自总体X的简单随机样本，求

的矩估计量.

例3.已知某种金属板的厚度X在（a,b）上服从均匀分布，其中a,b未知，设抽查了n片金属板，厚

度分别为，试用矩估计法估计a,b.

例4.设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9,但不知道哪种颜色的球多，现从中有放

回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。

例5.求出例2中未知参数的最大似然估计量.

例6.,其中是未知参数，设是样本观测值，求的最大似然估计.

例7.设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为p,如果从生产线上抽取了2（）件产品,

发现其中有3件为一级品，求：

（1）夕的最大似然估计；

（2）接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.

例8

­设样本来自正态总体X（N（（,（2）,其中（，（2未知，求（和（2的最大似然估计。

例9

•设总体X的k阶矩存在，证明：不论X服从什么分布，样本的k阶矩是的无偏估计。

例1o

己知，都是总体方差的估计量，问哪个估计量更好？

例11.设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体X的简单样本，选择适当常数c,使得是的无

偏估计.

例12.设某种产品的寿命X服从指数分布，其概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的样本，设有的估计

量

a=!（x+x,）+＜（x?+x4）,

63

A=-（X1+2X2+3X3+4X4）,

5

A1

6＞3=-（X,+X2+X3+X4）

问哪一个最优？

例13.设是总体X的样本均值，则当作为总体期望E（X）的估计量时，是E（X）的相合估计量。

例14.试证明是的相合估计量.

例14.设总体X〜U（&26＞）,其中夕＞0是未知参数，乂,…乂”是乂的样本，试证明。=2又是。的

3

相合估计量.

耀锦4号02

教学基本指标

教学课题第6章第2节区间估计课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方教学难点置信区间、区间估计、单个正态

差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比总体的均值和方差的置信区间、

的置信区间。两个正态总体的均值差和方差

比的置信区间。

参考教材浙江大学《概率论与数理统计》第四版作业布置课后习题

大纲要求1.掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法：

2.了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均

值差和方差比的置信区间。

2.了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均

值差和方差比的置信区间。

2.了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均

值差和方差比的置信区间。

教学基本内容

一.区间估计的概念

1.置信区间：设（为总体的未知参数，若对于给定的（（0＜（＜1）,存在统计量和，使得，则称随机区间

为参数（的置信度（或置信水平）为1-（的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。

2.枢轴量：称满足下述三条性质的量Q为枢轴：t.

（1）是待估参数〃和估计量又的函数；

（2）不含其他未知参数；

（3）共分布已知且与未知参数〃无关。

3.求置信区间的一般步骤：

(1)根据待估参数构造枢轴量Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到；

(2)对于给定的置信度1-(，利用枢轴量Q的分位点确定常数a,b,使；

(3)将不等式恒等变形为，即可得到参数(的置信度为1-(的置信区间.

二.正态总体参数的区间估计

1.单个正态总体的情形：

设总体，是取自总体的样本

(1)已知，均值的置信区间：(的置信度为的置信区间为.

(2)未知，均值的置信区间：(的置信度为的置信区间为.

(3)己知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.

(4)未知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.

2.两个正态总体的情形：

设总体，总体，与独立，样本来自总体，样本来自.

(1),已知，均值差的置信区间：的置信度为1-(的置信区间为

Ci匡+巨,(———)+〃％生］.

(2),未知，但，均值差的置信区间：的置信度为1-(的置信区间为

X-Y-t(n+n-2)S—+—,X-Y+t{n2)S—+—

al2ta}+n2-tn

L2&2Vi%

(3),未知，方差比的置信区间：的置信度为1-(的置信区间为

以上关于正态总体参数的区间估计的讨论可以列表1和表2如下:

表1单个正态总体参数的区间估计表

待估参数条件枢轴量置信区间

已知

b2〜N(O，D[X—r=,X+U&-j=]

?yjn7〃

X/*〜[X

O-2未知X+t^(n-l)-^=]

S/4nyjn?yjn

//已知--;--------------------/5)1=11=1

b尊），白〃）

2

CT

("W(〃-1状

〃未知、〜Z(〃1)

b

--N.

表6.2两个正态总体参数的区间估计表

待估

条件枢轴量置信区间

参数

X-',一(£「以)〜N(O,1)

£，无卜一i序:，（X/+Q序］

已知n\〃2

左丁_")

从一〃2

鼠"F1，

未知，［又一于一%（勺+叼―2）S、

nn

Vi24%

但

其中下一夕十1（—2电J口

2_(〃1-1)S；+(%-1)S；«1〃2

卬n}+«2-2

£(乂厂〃1)2

1/=1_________

」£（%一必）21W(X,-4)2

n.er；

从，，211一S\/片口,、勺r?/一一、

M

Y"〃2)2

已知然%；=|…尸%汐/=1…尸

____________

n2

sy2

22

从，〃2I,〜尸(々-1,〃2-1)，sS

[才仁T，〃1T),#生(々-1,勺-1)]

未知

三.单侧置信区间

1.单侧置信区间：设（为总体的未知参数，对于给定的（（0＜（＜1）,若存在统计量，使得，则称随机区间

为参数（的置信度为1-（的单侧置信区间，称为单侧置信下限；若存在统计量，使得，则称随机区间为参数

（的置信度为1-（的单侧置信区间，称为单侧置信上限。

2.单侧置信区间的求法：单恻置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设XI,…，Xn来自正态总体X（N

（（,（2）,其中（2已知，（未知，利用枢轴量，如下图，构造

限为…一5"

四.例题讲解

例1.设XI,Xn为来自正态总体X(N((,(2),其中(2已知，(未知，试求出(的置信度为1-(的

置信区间。

例2.某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径X(mm)服从正态分布，现从某天的产品中

随机抽取40件，测得直径的样本均值为5.426(mm),求；的置信度为0.95的置信区间.

例3.为估计某种汉堡的脂肪含审，随机抽取了10个这种汉堡，测得脂肪含量(先)如下：

25.2,21.3,22.8,