概率论与数理统计实验实践训练方案剖析

《概率论与数理记录》试验实践训练方案

【课程性质、目的和规定】

课程性质：概率论与数理记录试验是与《概塞论与数理记录》课程相配套的

数学试验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。

教学目的：通过本试验口勺教学，使学生掌握处理随机数据的基本措施：以

及获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理H勺思想措施。

教学规定：本试验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理记录》

相配套日勺数学试验，因此，试验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理

论指导下开展数学试验。在试验供应结合生产科研的实际问题，进行处理实际

问题能力的I实践性环节日勺培养。

概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律日勺一门数学科学，通过本

试验（我们以excel为平台，教师也可选其他数学软件.Excel电子表格软件是

微软办公软件组的关键应用程序之一，它功能强大，操作简朴，合用范围广，普

遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、记录分析、图表制作等各

个方面。其数据分析模块简朴直观，操作以便，是进行概率与记录学教学的首选

软件），我们可以理解遁机现象及其发生日勺概率，模拟系统日勺变化规律。鉴于该

课程的特点，为更好地实现教学目的，我们开发如下16个试验。教师可以根据教

学状况选其中6个试验进行教学。

【教课时间安排】

序号试验名称试验类型课时备注

1ExcelH勺基本使用措施和技巧演示性试验2

随机事件日勺模拟一一模拟掷均匀

2设计性试验2

硬币的随机试验

随机模拟计算不时值一一蒲丰

3设计性试验2

投针问题

4敏感性问题调查综合性试验2

5正态分布综合试验综合性试验2

6产生服从任意分布的随机数设计性试验2

7产生服从二维正态分布的随机数设计性试验2

8随机变量综合试验综合性试验2

9定积分口勺近似计算设计性试验2

10参数的点估计设计性试验2

11区间估计演示性试验2

12非参数假设检查设计性试验2

13方差分析演示性试验2

14一元回归分析设计性试验2

15多元回归分析综合性试验2

16零件参数的设定综合性试验2

合计

试验一Excel的I基本使用措施和技巧

1.问题的背景

概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律的一门数学科学，怎样对实践中的随机现

象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理记录试验课程日勺重要内容.鉴于Excel日勺通俗易

懂和应用的普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理记录课程试验。因此，对Excel

的基本应用成为本门课程的基础.

2.试验目日勺规定

(1)学习和掌握Excel的调用程序.

(2)学习和掌握Excel的基本命令.

(3)学习和掌握Excel的有关技巧.

(4)掌握基本记录命令的使用措施

3.试验重要内容

在多种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作以便著称，赢得了广大顾客的青

睐.本试验学习某些常常使用口勺技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来试验口勺效率.

(一)基本命令

(1)迅速定义工作簿格式

(2)迅速复制公式

(3)迅速显示单元格中的公式

(4)迅速删除空行

(5)自动切换输入法

(6)自动调整小数点

(7)用“记忆式输入”

(8)用“自动改正”方式实现迅速输入

(9)用下拉列表迅速输入数据

(二)基本记录函数

(1)描述性记录

(2)直方图

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验二随机事件的模拟——模拟掷均匀硬币的随机试验

L问题的背景

抛硬币实是一种占老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论.但要做这个简朴而反复日勺

试验，诸多人没有多出的IE寸间或耐心来完毕它，目前有了计算机的协助，人人都可很短日勺时

间内完毕它.

2.试验目的规定

（1）学习和掌握Excel的有关命令

（2）理解均匀分布随机数11勺产生

（3）掌握随机模拟的措施.

（4）体会频率的稳定性.

3.试验重要内容

抛硬币试验：抛掷次数为.对于20,50,100,1000,10000各作5次试验.观测有

无什么规律，有的话，是什么规律.

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验三随机模拟计算乃时值一一蒲丰投针问题

1.问题H勺背景：

在历史上人们对的计算非常感爱好性，发明了许多求的近似值口勺措施，其中用蒲丰投

针问题来处理求的近似值的思想措施在科学占有重要U勺位置，人们用这一思想发现了随

机模拟II勺措施.

2.试验目的规定

本试验意在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来日勺随机模拟法，从中体学会到新

思想产生的）过程.

（1）学习和掌握Excel的有关命令

（2）掌握蒲丰投针问题

（3）理解随机模拟法

（4）理解概率的记录定义

3.试验重要内容

蒲丰投针问题：下面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意投一枚长为的针，求针

与任一平行线相交的概率.进而求的近似值.

对于=50,100,1000,10000,50000各作5次试验，分别求出口勺近似值.写出书面汇

报、总结出随机模拟的思绪.

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验四综合试验--敏感性问题调查

1.问题的背景

在问卷调查中，被调查者由于种种原因不乐意回答问题，此类问题就是敏感性问题.对敏

感性问题日勺调查方案，关健要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密.进而能根

据调查问题日勺特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查成果是一种有趣的问

题.

2.试验目的规定

（1）学习和掌握运用概率记录处理实际问题的技能.

（2）学习和掌握对敏感性问题调查的I基本措施和措施.

(3)学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧.

3.试验重要内容

确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某小区居民参

与赌博的比率.、或某小区居民吸毒的比率.、或某都市经营者偷税漏税户的比率.、或某学校学

生考试作弊H勺比率.

调查方案的设计及操作程序：调查问题的设计、调查操作程序，调查样本容量确实定。

调查成果分析。

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验五正态分布综合试验

1.问题的背景

正态分布是实际生活中最常用的概率分布，在概率论与数理记录IJ勺理论研究和实际应

用中都具有重要的价值，应纯熟掌握和运用。

2.试验目的规定

学会产生服从正态分布欧I随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会NORMDIST命令

和Excel绘图工具的使用°

3.试验重要内容

(1)运用随机数发生器分别产生"100;1000;10000个服从正态分布N(6,1)的随机数,每

种情形下各取组距为2,1,0.5作直方图及累积比例曲线图。

(2)固定数学期望U=0.05,分别取原则差为。=0.01、0.02、0.03,绘制密度函数和分

布函数口勺图形。

(3)固定原则差为。=0.02,分别取数学期望为U=0.03、0.05.0.07,绘制密度函数

和分布函数H勺图形。

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验六产生服从任意分布的随机数

1.问题的背景

实际中常常需要用钊服从指定分布F(x)的随机数据。学会产牛服从仟意分布H勺随机数.

对此后的学习和实际应用而言，是非常有协助的。

2.试验目的规定

学会产生分布函数为预先指定的分布函数F(x)的随机数；运用所产生的随机数据作直

方图、密度函数图和分布函数图。

3.试验重要内容

(1)分别产生1000、10000个分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数分布Exp(3)

和Gamma(2,2)日勺随机数，然后对所得到的Exp(3)随机数作组距为0.1口勺直方图，对

Gamma(2,2)随机数作组距为1H勺直方图，观测它们轮廓线的形状。

(2)用命令EXPONDIST计算Exp(3)在x=0、0.1、0.2、…、3处时值;用GAMMADIST命

令计算Gamma(2,2)在x=0、1、2、…、15处日勺值；并画出指数分布Exp⑶和Gamma(2,2)；

的密度函数H勺图形，与⑴中的直方图的轮廓线进行比较。

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验七产生服从二维正态分布的随机数

1.问题的背景

二维正态分布是最常用的多维持续型分布。设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布

,由二维正态分布的性质知，有关系数P=0或PW0对应于X与Y独立或有关两种情形。

2.试验目的规定

(1)学会用计算机产生分展互相独立的二维正态分布随机数；

(2)学会用计算机产牛分量不独立的二维正态分布随机数.

3.试验重要内容

(1)若随机变量X与Y互相独立且，，则。据此结论产生服从二维正态分布的

随机向量(X,Y)。

(2)设n维随机向量，其中是X的均值向量，是〉：口勺协方差阵，。由于为正定阵,

故存在下三角阵C,使得；若设，的各个分量互相独立均服从分布，那么可以证明

服从认为均值向量，认为协方差阵的n维正态分布。由上述结论，产生服从二维正态

分布日勺随机向量(X,Y)o

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验人随机变量综合试验

1.问题的背景

正态分布、卡方分布、t分布和F分布常被称为数理记录四大分布，它们在假设检查、

方差分析和回归分析中有着广泛的应用。

2.试验目的规定

(1)学会用Excel产生服从上述四大记录分布H勺随机数并能画出对应随机数的直方图；

(2)会用Excel计算上述四大记录分布H勺分布函数值和分位点。

3.试验重要内容

试验原理：若独立同分布随机变量，则；又若，且X与Y互相独立，则；再者,

若，，且X与Y互相独立，则。(参见教材p270-p272定义)，据上述原理，

(1)产生x2(6)、x2(10)、F(6,10)Wt(6)四种随机数,并画出对应随机数的J频

数直方图；

(2)在同一张图中画出了N(0,1)和t(6)随机数频数直方图，比较它们的异同；

(3)写出计算上述四种分布H勺分布函数值和对应上侧分位点命令。

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验九定积分附近似计算

1.问题的背景

不少记录问题，如计算概率，各阶矩等，最终都归结为定积分口勺近似计算问题(尤其是

高维积分).这一措施是求解数学物理、工程技术及经济管理近似的数值常用措施.

2.试验目的规定

(1)掌握Excel的J右关命令.

(2)进一步理解大数定律.

(3)掌握随机模拟R勺措施.

3.试验重要内容

(D用随机投点法和平均值法计算定积分：

(2)比较两种措施的精度.(n;100,1000,10000.对每一种n反复做5次)

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十参数的点估计

一、背景知识：

(一)参数点估计的计算措施

1.参数估计问题，一种是总体分布类型已知，但具有未知参数，对总体的未知参数进行估

计后可以近似确定总体分布；另一种是总体分布类型未知，通过参数估计来理解总体的重要

数字特性如总体均值、总体方差等.

2.点估计：设来自总体的样本为，通过某种参数估计措施，构造记录量，用来作为

总体未知参数的估计，这个随机量就是时点估计量.

3、矩估计法的应用：分两种状况讨论，并只讨论到1阶到2阶矩.

（1）总体的未知参数为总体的J矩时

•总体均值近似于样本1阶原点矩即样本均值

A=X=lVXf

〃/=1

cr2=S；=-^（X,.-X）2

•总体方差"的矩古计就是样本2阶中心矩即样本方差〃"

•（2）总体分布类型已知，有1个或2个未知参数（我们重要考虑这两种）可以用样本

口勺1阶、2阶原点矩列出方程（组）求解未知参数。

当只有一种未知参数时：可列出一种方程解得.

当有二个未知参数是时，可根据样本一阶和二阶原点矩列出一种二元方程组.

3.极大似然估计法

似然函数等于样本分布列（离散总体）或样本概率密度（持续总体）的连积：

心（夕）=力〃（百；夕）

/=1

r=l

极大似然估计法就是求的极大似然估计（所规定的要概率），规定出，就是规定似然

函数的最大值点.

规定极大似然估计，一般用三步：

（1）根据已知的I样本分不，列出似然困数

（2）将函数两边取自然对数。

⑶由函数对求导，令其等于0,算出的极大似然估计.

（二）有关无偏性、有效性和相合性

1.设是未知参数的估计量，若满足，则称是的无偏估计量.也就是估计量

这个随机变量的取值集中位置是.

样本的均值，样本方差分别是总体均值，总体方的无偏估计

2.有效性：在几种时无偏估计量中，其方差越小H勺，阐明此估计量越有效.（可以理解,

方差越小则表明越集中在附近，对的估计效果越好）.

3、相合性：设是未知参数的估计，当时，估计量与的绝对误差不大于任意给定

正数£的概率趋近于1,就称为的相合估计。

（三）有关方程和方程组求解的数值措施

见数值计算措施教材或试验指导书.

二、试验目的规定：

试验目的:通过本试验，使学生以Matlab为工具掌握参数点估计的计算措施的计算机实现;

对常见分布，掌握生成点估计量值的模拟措施，通过观测不一样样本量下估计量时值在真

实参数周围的分布状况，获得估计量时值在真实参数周围分布状况及其随样本量增长所发

生变化的数值经验.

试验规定:

1）学生在试验前应当掌握参数估计的有关理论，阅读试验本次试验H勺指导，理解Matlab

中的有关计算工具.

2）独立准备好一种点估评问题和有关样本数据，独立完毕从设计到求出成果的所有试验过

程.

3）独立撰写试验汇报，试验汇报要附上有关Mallab程序.

三、试验内容：

1.选择一种分布（提议选择正态分布或Weibull分布等）.

2.编制求参数点估计的矩法和最大似然法的Matlab程序.

3.用随机数生成措施在不一样样本量下产生多种样本.

4.用所生成H勺样本计算参数的估计量日勺值.

5、观测参数估计最口勺值在真值周围的分布状况，总结出有关数值经验.

6.观测参数估计量时值在真值周围的分布状况怎样随样本量不一样而变化，总

结出有关数伯经脸.

四、试验设备：

电子计算机，Matlab软件。

试验十一区间估计

1.问题的背景

对于一种总体，可以用某些参数进行表征，如平均值、方差等.假如某个参数未知，记

录学提供了某些措施，它们可以用来估计未知参数介于那个区间内.估计是数理记录中重

要的内容，也是计算量很大的问题.此前在这方面的教学中都是使用计算器和查表，非常

麻烦.下面我们用Excle来处理这个问题.

2.试验目的规定

(1)掌握Excel的有关命令.

(2)掌握总体数学期望和方差H勺区间估计.

(3)理解大数定律的思想。

(4)掌握随机模拟的措施.

3.试验重要内容

(1)单个正态总体数学期望和方差的区间估计

508从一大批袋装糖果中随机地取出内16袋，称得重量(g)如下

507.68498.5502503511498511

513506492497506.5501510498

设袋装糖果日勺重量近似地服从正态分布，试求总体均值和方差日勺区间估计(置信度分

别为0.95与0.9).

(2)两个正态总体数学期望的差和方差H勺商的区间估计

随机地从A批导线中抽取4根导线，又从B批导线中抽取5根导线，测得电阻()

为

A批导线：0.1420.1400.1440.136

B批导线：0.1380.1400.1340.1380.142

设测得的导线电阻值服从正态分布，且两个样本互相独立，试求总体数学期望的差和总体

方差的商的)置信区间(置信度分别为0.95与0.9).

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十二非参数假设检查（7、检查）

L问题的背景

假设检查在数理记录中占有重要地位，它的推理措施与数学中一般使用的措施在表面上

类似，但实际上大不一样样.一般的数学推理都是演绎推理，即根据给定H勺条件，进行

逻辑推理，而记录措施则是归纳，从样本中的体现去推断总体的性质.

在处理实际问题中，我们往往假定总体的分布形式是已知的，但许多

时候我们对总体总是理解不多，总体分布是什么，不太清晰，这时我们只根据样本推断

总体.

2.试验目的规定

（1）掌握Excel的有关命令.

（2）掌握非参数假设检查（，2-检查）

3.试验重要内容

一道工序用自动化车床持续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的I,

并假定生产任一零件时出现故障机会均相似.工作人员是通过检查零件来确定工序与否出现

故隙的.现积累有100次故障纪录，故隙出现时该刀具完毕的零件数如下：

459362624542539584433748815505612452434982640

7425657065936809266531644877346084281153593844527

55251378147438882453886265977585975549697515628

954771609402960885610292837473677358638699634555

570844166061062484120447654564339280246687539

790581621724531512577496468499544645764558378765

666763217715310851

试观测该刀具出现故障时完毕H勺零件数属于哪种分布.（明显水平分别为0.1和0.05）.

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十三方差分析

1.问题的背景

方差分析是采用数理记录措施分析多种原因对研究对象某些特性值的影响，进而鉴别多

种原因对研究对象的某些特性值影响大小的一种有效措施.简朴一点说，方差分析可以

用来判断取自总体的两个或者多种样本的I均值与否相等.

2.试验目的

（1）理解单原因方差分析H勺基本思想.

（2）掌握用计算机分析单原因方差分析问题.

（3）掌握检查的环节.

3.试验重要内容

为了研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大体相似的健

康的男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：

A=0（〃吆）,A=100（〃吆）,4=200（〃吆）.

每个水平下冲泡叩击次数

10杯水，外观

无差异，并加以

编号，然后让

30位大学生每

人从中任选一杯

服下，2h后，

请每人做手指叩

击，记录员记录

其每分钟叩击次

数，试验成果如

下表：

咖啡因剂量

4：0(〃遇)242245244248247248242244246242

248246245247248250247246243244

A,:100(〃zg)

246248250252248250246248245250

4:200("zg)

请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十四一元回归分析

1.问题的背景

回归分析是根据变审:观测数据分析变量间关系於I最常用口勺记录分析措施，其重要任务

是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间口勺数学关系式，

检查影响变量口勺明显程度和比较它们H勺作用大小，进而用一组变量口勺变化解释和预测另

一种变量的变化.本试验简介一元线性回归.

(1)2.试验目的规定

（2）理解一元回归分析日勺基本思想，掌握一元线性回归模型及回归方程

（3）理解最小二乘法的原理，掌握最小二乘法

（4）掌握用计算机求I口I归方程并进行检查和预测的措施

3.试验重要内容

考虑家庭月收入x（元）及支出y（元）的关系，我们抽取10个家庭，由户主本人提

供能反应他在一种时期内月收入及支出的平均状况资料如下：

收入x（元）200150200250150200250300150120

支出y（元）180160220250140230210250230140

试对建立月收入和月支出的关系.

4.试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十五多元回归分析

1.问题的背景

I可归分析是根据变量观测数据分析变量间关系H勺最常用的记录分析措施，其重要任务是

根据变量观测数据定量地建立所关注U勺变量和影响它变化的变量之间的数学关系式，检

查影响变量的明显程度和比较它们的作用大小，进而用一组变量的变化脩释和预测另一

种变量的变化.本试验简介多元回归.

2.试验目的规定

（1）理解多元回归分析的基本思想，掌握多元线性回归模型及回归方程

（2）掌握用计算机求回归方程并进行检查和预测的措施

3.试验重要内容

某工厂A产品销售量B产品销售量

利润（匕）

每年所

（X』）（万吨）

获利润（百万元）（）（万吨）

重要取

决于A、

B两种

产品的J

销售

量。根

据调查

获得该

企业

1994年

2023年

A>B两

种产品

H勺销售

量及每

年所获

利润记

录资料

如下

表：

年份

1994294516

1995244214

1996274415

1997254513

1998264313

1999284614

2023304416

2023284516

2023284415

2023274315

2023294615

20233147