概率统计与线性代数习题及参考答案

概率统计练习题及解答

1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件,所取两件产品中有一件是合

格品，另一件是不合格品的概率为............................(C)

A、&B、9C>—D、2

155153

2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地

从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.....(A)

3、己知事件4与B的概率为P(4)=0.5,P(B)=0.6,条件概率P(B|A)=0.4,

则P(AU8)为...........................................(D)

A、0.3B、0.5C、0.7D、0.9

4、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y

的方差是.................................................(D)

A、8B、16C、28D、44

5、甲、乙、丙三人向同一个目标独立地各射击一次，命中率分别是

345

则目标被击中的概率.....................................(D)

6、设两个随机变量X,丫相互独立,且它们的方差D(X)=4,O(y)=l,则方差

O(2X-3V)........................................................................................(C)

A、40B、34C>25D、17

7、设随机变量x、y的期望、方差均存在，且E(xv)=E(x)E(y),则下列说

法不正确的是...............................................(B)

A、COV(X,Y)=0B、D(X-Y)=D(X)-D(Y)

C>D(X+Y)=D(X)+D(Y)D、pXY=()

8、若X〜N(L3),丫〜N(2,4),且X与丫相互独立，贝！)2%-3丫服从(B)

A、N(3,7)B、N(448)C^N(1,1)D、N(4,48)

9、设「C4)=P(B)=P(C)=；,P(AH)=P(BC)=QtP(AC)=1,则4、B、C

三个事件中至少有一个发生的概率为J.

O

10、设A、8为两个相互独立的随机事件且P(A)=0.7,P3)=0.6,则P(A|B)

=0.7

11、设随机变量y在［i,6］上服从均匀分布，则关于x的方程/+珠+1=0有实根

的概率为0.8.

12、设随机变量X〜N(0,l),①。)是它的概率密度函教，则①(x)+(D(-x)=L.

13＞设随机变量配$4相互独立，其中。〜U(0,6),$~N(0,6),以〜尸⑶.记

r］=刍-2与十，则D⑺=46.

14、若X〜N(l,4),Y〜尸(3),则E(X+Y)=4.

15、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，作不

放回抽样.求下列事件的概率：

(1)两只都是正品；⑵一只是正品，一只是次品；(3)第二次取出的是次品.

解：分别用A、8、C表示取出的“两只都是正品”，“一只是正品，一只是

次品”，“第二次取出的是次品二

则P(A)=G_=空

16

45

2

P(C)=—X-4-------X

1091095

16、有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为

0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车的话，迟到的概率分别是1,

而乘飞机不会迟到，结果他是迟到了.试问他乘哪一种交通工具的可能性最

12

大？

解：设A，4，4,4分别表示事件“乘火车、轮船、汽车、飞机”，A表示事

件“迟到”，则

P(A)=P(A)P(4IA)+P(&)P(A|4)+P(4)P(川&)P(4)P(A|Al)

=0.3x1+0.2x14.().lx—+0.4x0

4312

403012020

331

(山)P(A)40.202

23_4

r•*»

“41㈤P(A)30209

从…'P(4A)1--3-1

P(A)1202018

P(A4\A)=0

所以，他乘火车的可能性最大.

17、某产品主要由三个厂家供货.甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的

45%,36%,19%.甲、乙、丙三厂中不合格品率分别为4.5%,3.5%,4%,

试计算：(1)从总产品中任取一件是不合格产品的概率；

(2)如果从产品中任取一件是不合格产品,那么这件产品是由哪个工厂

生产的可能性较大？

解：设甲、乙、丙三厂产品分别表示为B、C、D,设A为“任取一件是不

合格品”事件

P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)

454.5363.5194

=-------X---------+--------X--------+--------X---------

100100100100100100

=0.02025+0.01260+0.0076=0.04045

P(CA)0.01260

P(C|A)=

P(A)-0,(M045

P(DA)0.0076

P(D|A)=

P(A)一0.04045

所以，甲厂生产的可能性最大.

18、甲、乙、丙三人向同一目标射击,设各自击落目标的概率分别为0.4,0.5,0.7.

设目标中一弹被击落的概率是0.2;中两弹而被击落的概率是0.6;中三弹必然

被击落.今三人各射击一次，求目标被击落的概率.

解：设A"=123)分别表示：“甲、乙、丙各自击中目标”事件，4表示“目

标被击落”事件，与(i=123)表示“恰被i个人击中”事件，显然有

P(A)=04,P(A2)=0.5,P(4)=0.7以及

P(A|B,)=0.2,P(AIB2)=0.6,P(A|&)=1,而

P(B)=P(4%4D41D4石A)

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0,5x0.7

=0.36

P(B2)=P(A44d~A}A2A3UA)

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7+0.4x0.5x0.7

=0.41

P(层)=P(A&A、)=0.4x0.5x0.7=0.14

由全概率公式得P(A)=£P@)P(A田)=0.458

f=l

所以，目标被击落的概率为0.458.

19、设随机变量X服从均值为0,均方差为0.02的正态分布，已知

~1-左

o>(r)=f—i=e26//Z,0(2.5)=0.9938

3f727r

求X落在区间(9.95,10.05)内的概率.

解、0.9876。

20、设二维随机变量(X,y)的概率密度为

4.8X2-x),0<x<1.0<y<x

/(.%)')=<

0,其它

求边际概率密度.

解：/x(x)=[：/(x,y必

当0<X<1时，£*)=£'4.8y(2-x)dy=2.4/(2-x)

对其它x,有fx(x)=J]/。,y)dy=0同理，

2

当<y<1时，fY(y)=，4.8y(2-x)dx=2.4_y(y-4y+3)

对其它，有fY(y)=匚y)dy=0

,/[2.4X2(2-X),0<X<1

M咽0其它，

2Ay(y2-4y+3),0<>?<I

0其它

21、设二维随机变量(X,V)的概率密度为

一、le~\(

f(x,y)=\

u,

求边际概率密度.

解：/x(x)=0/(x,y)力

x

当x>0时,fx(A)=J"e~-dy=e~

对其它M有fx(x)=y)dy=0

同理，当y>。时，/y())='e~ydx=ye~y

对其它必有人(y)=[7。,y)dy=0

ye',y>0

0其它

22、设二维随机变量(X,y)的概率密度为〃x,y)=3’

0,其它

(1)确定常数k;(2)求边际概率密度fx(x).

解：(1)「'「'"(x,y)力=1

21

所以，k=—.

4

25

(2)当0<x<l时，fx(x)=Jf(x,y)dy=—J^xydy=-x

f

对其它X,有，fxM=C(^y)dy=0

HI，0<x<1

从而，fx(x)=12-

0其它

23、设二维随机变量(X,y)的概率密度为

(X+??)，x22

/(x,y)=«80--^-y-t求E(X),E(y).

■21J

也(x+y"=ji+x)，0<x<2,

解：fx(x)=>

0,其它

.(),)=1*h21(x+y心=小1+四，f,

0,其它

,个x7

因此，E(X)=|_(l+x)dx=_,

同理，E(y)=[2(i+)”)，=2.

Jo46

24、设二维随机变量(X,y)的概率密度为/(x,)，)=『'I1

0,其'匕

求E(X),E(y).

A_[k/v=2x,0<x<1,

解：/x(x)=J-/

0,其它

[0,其它

因此E(X)=J；x2心=：,同理

E(y)=J：y(l—而办=0

1一一T，人>2

25、设连续型随机变量；的分布函数为FW=x3

0,x<2.

求4的期望和方差.

解：/。)=尸(用=尸:，言r>2，

0,具匕

E®=J：xf{x}dx=J；24/,公=-12/2|丁=3,

E©)=J：//(1)公=「'24人"公=-24x"'1r=12,

D(^)=E(^)-[E(^)]2=12-9=3.

\-e-\x>0

26、设随机变量X的分布函数为F(x)=<

0,x<0

(1)求*的概率密度函数f(x)；(2)求P[X<2},P{X>3}.

e：x>0

解：/(x)=F'(x)=・

0,x<0

P{X<2}=F(2)-F(0)=\-e'2

P{X>3]=\-P{X<3}=\-F(3)=\-e-3

27、设随机变量X的概率密度函数/(x)=求随机变量yXz的概

0,x<0

率密度4()，).

解：y=x2>o

当)，<o时，4()，)=p{y«)，}=o

2

当)，NO时，FY(y)=P[Y<y]=P{X<y}=<X<77)

人()，)=[耳(y)r==(a+"6),

y>0

24y

fY(y)=

0y<0

28、设随机变量X~U(0.1)，求y=-21nX的概率密度.

解：由题意知人(幻=匕甘…

0具匕

在区间(0,1)上，Inx<0,故y=-2Inx>0

y

6()，)=P[Y<)，}=P{-2lnX<y}=P[X>，八=心人.*)公,

，1-21

两端对y求导得f“y)=K(y)=-e2,

1T

,加)，)=丁-y>0n.

0其它

另外，书上习题上要求掌握的是：

习题九A类题5,8,15,21,23,27,28,29,30,37,38,39,

52,53,70,72o

线性代数练习题及解答

§10.1行列式

1.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:

(1)1234；(2)4132：

(3)3421；(4)2413；

⑸13…(2/1-1)24…(2/Z)；

(6)13…(2w—1)(2〃)(In-2)…2.

n(n—1)

解(1)0(2)4：(3)5：(4)3：(5)(6)n(n-l)

2.计算下列各行列式:

41242141

12023-121

(1)；(2)

105201232

01175062

2

-14

0

4-1-10

22x(—1)"3

1()3-14

4-1109910

C2+C3

12-200-2=o

G+“3

10314171714

242140

3-123-122

⑵

12321230

50625062

2142140

3-123-122

123230

214r0000

-abacae卜力

⑶bd-cddeb

bfcfh

11

=adfbce-11=4abcdef

1-1

a10001+aba0

-1b10ar2-1b10

(4)。+

0-1c10-1c1

00-1d00-1d

1+aba0l+abaad

=(-1)(-1)2+，-1c11+cd

0-1d-10

1+abad

=（T）（-I产=abcd+ab+cd+ad+1

-11+cd

000

64064o

364064

⑸23-123-i=110

223-11931

14919310

-1149

(6)12（范德蒙行列式公式）

3.计算下列各行列式（2为我阶行歹！j式）:

1

⑴D“=，其中对角线上元素都是未写出的元素都是o；

Xy0•••00

x0Xy♦♦・00

⑵=;(3)

00X•••00

X

000•••Xy

y00•••0X

1222

2222

(4)2232

解222n

a000

0a000

0000按最后一行展开

⑴&〃=

000a0

000

00001

400…00

(-1严0a0…00+(-1产•

♦・・••••・♦••••••a

(w-lKn-l)

000…。0(n-l)x(n-1)

（再按第一行展开）

=(T严・(T)〃+a=a

(/i-2)(n-2)

（2）将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得

Xaa•••a

a-xx—a0•••0

D〃=a-x0x-a•••0

•••♦••・•・♦♦♦♦••

a-x000x—a

再将各列都加到第一列上，得

x+(n—\)aaa•••a

0x-a0•••0

D〃=00x—a•••0

•••••••••••••••

0000•r—a

=[x+(n-

代叫(I广0

y000

0X...00

Xy00

X

(3)原式=+(-1严y0X00

00xy

000X

00Xy

（按第一列展开)

nw+,

=x+(-l)/

222

000

(4)原式。F1010

I00n-2

222

010

1x(—1严

00n-2(按第二行展开)

=-2(n-2)!

o

§10.2矩阵

23、

i.设4=B=-1-24

-11J5

求3AB-2A及不民

解

13、11、

3AB-2A=3ii-1-241-1

J-i1人051J-1

058、-21322、

0-56-2-1-2-1720

(291-1(429-2J

23)058、

11-1-i-240-56

JTL、o5129°,

2.计算下列乘积:

，2、

⑶1(―1,2)；

T21031、

01012-1

(6)八八

002100-23

、0003人000-3)

解

431Y7>4x7+3x24-1x1、勺5、

(1)1-2321x7+(-2)x2+3x16

、57、5x74-7x2+0x1,

(I

(2)(12312=(lx3+2x2+3xl)=(10)

lb

(2\’2x(-1)2x2、‘-24、

⑶1(-12)=1x(-1)1x2-12

.3x(-1)3x2,[36,

3

2140、0-126-78

(4，[1-1

34,-3、20-5-6

(40-V

111213

⑸(X1ana22。23

〃13a23°33,

=(为内+62X2+63X3“12再+。22*2+。23“3。13“1+。23“2+。33%)

孙

aXaXaXaXXaXX

X“2\\\+222+333+勿12*112+^1\3\3+^2323

巧

20、103252

0101012-1012-4

⑹

00200-2300-43

W00VW00、°00

3.求下列矩阵的逆矩阵:

i2-1

12cos。-sin。、

(1)⑵⑶34-2

、2、sin6cos6,

、5-41J

0321

(。1々2…*°)⑸3

032V

’21223、

6)7)P;8)

121-10

<2

2,2

2、3=J11

解(1)A—

(25,

A"=5,A2I=2x(―1),A|2=2x(-1),A22—1

A”A?15-2、

AA-1

4242-21

5—2、

故A

1-21J

(2)|A|=I^O故A-I存在

A=一A

A“=cos6A2I=sin^i2sin。22=cos。

cos。sin。

从而A-1=

、一sin。cos6

⑶|A|=2,故A-1存在

A[[=-4A21=2A3I=0

2

I一10

n*H

故A131

-一2

A-3

一5

一167-v

o

(4)A=

0

、

0

a

由对角矩阵的性质知A-1i

0

321100、321100、

(5)315000-14一110

132300302-1or

37?、

32003002

2一52一5

00-2001-2

11

22J

723

100

632

00-1-12

000

-22J

'723

632

故逆矩阵为-1-12

0

「52)

1-4-3

3、3-1、

6)7)8)1-5-3

~551-1

24-164

-13>

<5

4—2、1一3、

4.设4=22,B=22，求X使AX="；

(3113-1J

解

41-3、初等行变换〃00102

(A⑻=221220-15-3

33001124

2

・•・X=-15-3

J24,

200

5.设三阶方阵4、8满足A+A=且3=030

004

(1)求A；(2)证明A-E可逆。

2001002001002oo

证(1)A=B(B-E『=0300200300X()0%0

00400300400K00%

(2)v(A-E)B=A,-@M=|H=4,又冏=24

所以,_q=%4=%60=>4_石可逆.

301

6、设三阶方阵A、8满足A8=A+2B,A=110，求8。

012

-I

I013010I1301I22

解8=(A—2E)TA=I-10110001I10012

0100121-1-10122-2-1

033、

7.设A=110,AB=A+2B,求B.

23,

解由45=4+26可得(4-2E)8=4

-233、033、033、

故B=(A-2E)TA=1-10110-123

2V「12V0,

8.设4,B为〃阶矩阵，且A为对称矩阵，证明吕丁•吕也是对称矩阵.

证明已知：A，=A

则(BrAB)r=Br(BrA)r=BrArB=BrAB

从而AB也是对称矩阵.

9.设A,〃都是〃阶对称矩阵，证明A5是对称矩阵的充分必要条件是4笈=氏4.

证明由已知：V=ABT=B

充分性：AB=BA=>AB=BTAT=>AB=（AB）r

即是对称矩阵.

必要性：（AB）7=43=必不=A3=R4=A8

io.设〃阶矩阵4的伴随矩阵为A*,证明：

（1）若|A|=O,则|A[=O；

⑵,*=同"-[

证明（1）用反证法证明.假设|A1/0则有A*（4*）T=E

由此得A=AA'GT）一】=|4|£（A*）T=O.・・A*=0

这与矛盾，故当|A=0时

有4"=0

⑵由于A-1=A*,贝!AA*=\A\E

\A\

取行列式得到：|A|[A[=]4|〃

若网=0则W|=|A『T

若同=0由⑴知A*=0此时命题也成立

故有A*=|A|n-1.

11.设A"=0(左为正整数)，证明

(E-A)-'=£+A+T+・.・+4A-I.

证明一方面，E=(E—A)-1(E—A)

另一方面，由A”=。有

22kk

E=(E-A)4-(A-A)+A----+(A-'-A)

=(E+A+A2+---+屋一1)(石一A)

故(E-A)T(£-A)=(£+A+42+・..+AAT)(E-A)

两端同时右乘(£-A)T

就有(E-A)T=E+A+A2+・..+AAT.

12.设方阵A满足42—A-2E=0,证明A及A+2£都可逆，并求A-I及

(A+2E)T.

证明由A?一A-2£二。得A?—A=2£

两端同时取行列式：1A?一4=2

即同」一冏=2,故\A\#0

所以A可逆，而A+2£=A?

\A+2E\=\A2\=|A|2/0故A+2E也可逆.

由工一4-2E=0nA(A-E)=2E

,1,

=>A-A(A-JE)=2A^=>A=^(A-E)

2

又由42-A-2E=0=(A+2E)A-3(4+2E)=-4E

=(A+2E)(A-3E)=-4E

••.(A+2E)T(A+2E)(A-3£)=-4(A+2E)-1

••.(A+2£)T=1(3E-A).

4

§10.3向量

1.设匕=(1,1,0)\v2=(0,1,11，匕=(3,4,0)。

求匕及匕+

32V2-v3.

解匕一匕=(1，1，0),一(0,1,I)7

=(1-0,1-1,0-1/=(1,0,-1/

3匕+2匕-匕=3(1,1,0尸+2(0,1,1尸一(3,4,0)r

=(3x14-2x0-3,3x14-2x1-4,3x04-2x1-0/

=(0,1,2)'

2.设3(%—。)+2(。2+。)=5(。3+。)其中q=(2,5,1,3)。

。2=(10,1,5,10)7,4=(4,1厂1,1)7,求a

解由3(〃[-a)+2(a2+。)=5(4+〃)整理得

a=-(3a)+物-5%)=匕3(2,5,1,3)，+2(10,1,5,10)r-5(4,1-l,l)r]

66

=(123,4),

3.设向量组区,4线性无关，证明向量组

a

A二4+4,生=a2+4,=4+&，A=4+四,线性相关。

证令+k2fl2+k3fl3+k4fi4=0,即

（匕+k4）a[+g+卜）a2+（k2+ky）4+（k3+kja==0

因四,a2，4，/线性无关，所以

k,+k,=0

'1001

，:，二:系数行列式I仆"？卜。

230011

k3+k4=0

所以方程组有非零解，从而四,"2，"3"力线性相关.

4.设四，%,生线性无关，证明必，%十%,四+%+%也线性无关。

证明：设，有&乌+内（%+%）+%（/+%+%）=0,即

化+&2+&)%+⑸+勺)。2+K3a3=00由于四，“2,%线性无关，所以

伏I+&+&)=(k?+&)=43=0推出k、=k?=k=0故生%+c(2

/+%+%也线性无关.

5.设仇=al9b2=%+%，•••，〃=4+45----F。,,且向量组

%,%，…，外线性无关，证明向量组片,4，•••，4线性无关.

证明设自“+七必+・・+匕/=0则

(4[H-----F)〃[+(左？----F)。2+•，，+(々p+•,•+£)%+

…+krar=0

因向量组线性无关，故

011

因为.・=1二0故方程组只有零解

•..........••

0••01

则占=&=•••=《=0所以々，力2,…，"线性无关•

试讨论向量组,ct,

2%以及6，%的线

性相关性。

♦021(\02、

A一系列初等行变维、八I

解(%,4,4)=101

15V[000,

可见/?(%,4,4)=2，向量组四,%,出线性相关;

而砥%,见）=2,向量组ax,a2线性无关.

’12-314、

—2121—1

7.A=,「，「.，求矩阵.4的秩。

-13-123

【4-70-5-5J

q2-314、ri2-314、

05-43705-437

解A->->

05-43700000

<0-1512-9-21;0000,

/.R（A）=2

§10.4线性方程组

1.求解下列齐次线性方程组：

占+/+2与-x=0,

4占+2X2+x3—x4=0,

（1）'2x,+芍+£一孙=0，0,

⑵3xt+6X2—x3-3X4=

=0；5Xj+10x+x-5X=0;

2xx+2X2+七+234

2x,+=0,3a+4X-5X+7X=0,

3X2-x3+5X4234

XX

3Xj+x2+23-7X4=0,lx,-32+3X3-2X4=0,

(4)

4X[+llx-13X+16X=0,

4与+x2-3X3+6X4=0,234

XXX

Xj-2X2+43-74=0;7X1-2X2+x3+34=0.

解(1)对系数矩阵实施行变换：

4

3

-3

故方程组的解为4

3

对系数矩阵实施行变换:

X]=—2X2+*4

》2=工2

即得〈

Z=0

⑶对系数矩阵实施行变换:

2300

312-70100

即得＜

4-36000

-24-7)(000V

占=0

x2=0

故方程组的解为〈

“3=0

x4=0

对系数矩阵实施行变换:

313

347（）

-51717

2-33-21920

0

411-13161717

0000

-23J

1°000；

r于13

--

万17

20

19-1+--

故方程组的解为7

I171

0

1

I1

OJ

2.求齐次线性方程组）21-5%+3尤，+2乂=0,的基础解系和通解。

7%-7%2+3%+九/°

1-11’10-2/7•3/7、

解A=22~01-5/7-4/7，得同解方程组

J、000

0>

3.求下列齐次线性方程组的基础解系及通解:

a-8x,+10x3+2X4=02Xj-3X2-2X3+x4=0

(2)<

⑴，lx,+4X2+5X3-r4=03/+5X2+4X3-2X4=0

3x,+8X2+64-2X4=08x,+7x2+6X3—3X4=0

1-8102Afl040

初等行变换1q_1

解⑴A=245-1〜0

44

38000)

a=-4X3

所以原方程组等价于〈31

x2=-x3+-x4

取X3工4=—3得

=1,xx=-4,x2=0

取得