概率高考试题 (一)

1.12345678910

（2004

辽宁）

已知随

机变量

的概

率分布

如下：

自

P222222222m

33233343536373s39

贝IJP(4=10)=

A.B.C.D.

（2006--2000年）

1.（2006四川理）设离散型随机变量€可能取的值为1,2,3,4.P（€=k）=ak+b（k=l,2,3,

4）,又€的数学期望Eg=3,则a+b=o

2.（2006福建理）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数

I,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是

3.（2005全国卷in理）设1为平面上过点（0,1）的直线,1的斜率等可能地取用€表示

坐标原点到1的距离，则随机变量€的数学期望E4=

4.（2005天津

理）某公司有5

万元资金用于

投资开发项目，

如果成功，一

年后可获利

12%,一旦失投资失败

败，一年后将

丧失全部资金

的50%,下表

是过去200例

类似项目开发

的实施结果：

投资成功

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是（元）

5.（2004湖南理.同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量€=1表示结果中有正面向上.€=0

表示结果中没有正面向上厕E€...........

6.（2004湖北理）设随机变量E的概率分布为P（E=）=,为常数，1,2,…，则

7.（2004全国II012

卷理）从装有3

个红球,2个白

球的袋中随机

取出2个球，设

其中有&个红

球,则随机变

量€的概率分

布为

P

8.（2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是一

9.（2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄

球.从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望........（用数字作

答）

10.012

(

20

00

江

西

、

天

津

理

)

某

r

生

产

电

子

元

件，

其

产

品

的

次

品

率

为

5%

现

从

批

产

品

中

任

意

地

连

续

取

出

2

3.（2006湖南理）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.

若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检

是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5.整改后安检合格的概

率是0.8,计算（结果精确到0.01）:

（I）恰好有两家煤矿必须整改的概率；

（II）平均有多少家煤矿必须整改；

（IH）至少关闭一家煤矿的概率.

4.（2006江西理）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱

子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2

个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令（表示甲,

乙摸球后获得的奖金总额。求：

（1）&的分布列（2）&的的数学期望

5.（2006山东理）袋中装着标有数学1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按

3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个

小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

⑵随机变量£的概率分布和数学期望；

（3）计分介于20分至40分之间的概率.

6.（2006辽宁理）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、

1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,

在每次调整中价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记

乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0、1.2时，一年后

用应利润是L3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投

资十万元一年后的利润.

（1）求。、J2的概率分布和数学期望E。、E乙;

（II）当E^<时，求p的取值范围.

7、（2006全国1卷理）A.B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试

验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若

在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类

组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

（I）求一个试验组为甲类组的概率；

（II）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学

期望。

8.（2006全国H卷理）某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先

取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验•设取出的第一、二、三箱中分别有0

件、1件、2件二等品，其余为一等品.

（I）用已表示抽检的6件产品中二等品的件数，求€的分布列及€的数学期望；

（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这

批产品级用户拒绝的概率.

9.（2006陕西理）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，,.

（I）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；

（II）用;表示乙投篮3次的进球数，求随机变量€的概率分布及数学期望E€.

10、（2006天津理）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射

击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中：至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；

（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；

（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求的分布列.

11.（2006重庆理.）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.

若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用

€表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

（I）随机变量g的分布列；

（II）随机变量1的期望.

（2005年）

1.（2005北京理科）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每

次击中目标的概率，

（I）记甲击中目标的次数为匚求g的概率分布及数学期望ES

（II）求乙至多击中目标2次的概率；

（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

2.（2005福建理科）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投

不中得。分.

（I）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和&的数学期望；

（II）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率;

3.（2005广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比

为st现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其

放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以;表示取球

结束时己取到白球的次数.

（I）求&的分布列；

（II）求&的数学期望.

4.（2005湖北理）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有

4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否

则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概

率依次为060.7,0.8,09求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,

并求李明在一年内领到驾照的概率.

5.（2005湖南理）

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,

0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设&表示客人离开该城市时游览的景

点数与没游览的景点数之差的绝对值。

（I）求g的分布及数学期望；

（II）记“函数f（x）=x2-3&x+l在区间［2,+8）上单调递增”为事件A,求事件A

的概率。

6.（2005辽宁）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而

成，两道T序的加T结果相互独立，每道T序的加工结果均有A.B两个等级.对每种产品,

两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（I）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结

果为A级的概率如表一所示，分别求生产

出的甲、乙产品为一等品的概率PP乙；

（II）已知一件产品的利润如表二所示，用W、

n分别表示一件甲、乙产品的利润，在

（D的条件下，求I、n的分布列及

E&、En；

（HI）已知生产一件产品需用的工人数和资金额

如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.

金60万元.设小），分别表示生产甲、乙产

品的数量，在（11）的条件下,x、y为何项目

工人（名）资金（万元）

值时，最大？最大值是多少？

产品

（解答时须给出图示）甲88

乙210

7.（20（）5全国卷I理）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为,若

一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这

个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用自表示补种费用，写

出&的分布列并求g的数学期望。（精确到）

8.（2005全国卷II理）甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙

队的概率为0.6,本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比

赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数.求的概率分布和数学期望.（精确到

0.0001）

9.（2005江西理）A.B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,

当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B嬴得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9

次时，或在此前某人己赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求J的取值范围；

（2）求J的数学期望EJ.

10.（2005山东理）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有

甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人

中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终

止时所需的取球次数.

（I）求袋中原有白球的个数；

（II）求随机变量4的概率分布；

（III）求甲取到白球的概率.

11.（2005浙江理）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红

球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为D.

（I）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.（i）求恰好摸5

次停止的概率；（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布率

及数学期望E.

（II）若A、B两个袋子中的球数之比为12,将A、B中的球装在一起后，从中摸出一

个红球的概率是，求p的值.

12.（2005重庆理）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价

值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客

从此10张券中任抽2张，求：

（I）该顾客中奖的概率；

（II）该顾客获得的奖品总价值J（元）的概率分布列和期望上《・

（2004—2000年）

1.（2004春招安徽理）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，需要从中取出

2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设g为取出的次数，

求《的分布列及Eg.

2.（2004福建理）甲、乙西人参加一次英语口语考试，己知在备选的10道试题中，甲能

答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行

测试，至少答对2题才算合格。

（I）求甲答对试题数&的概率分布及数学期望；

（II）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

3.（2004浙江理）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号

为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再

任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之

和为£o

（I）求随机变量£的分布列：

（II）求随机变量。的期望E。。

4.（2004重庆理）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿

灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的

地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）J的概率的分布列及期望EJ;

（2）停车时最多己通过3个路口的概率。

5.（2004天津理.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示

所选3人中女生的人数。

（1）求J的分布列；

（2）求4的数学期望；

（3）求“所选3人中女生人数1”的概率。

6.（2004湖北理）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦

发生，将造成40（）万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用

甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和3（）万元，采用相应预防措施后此突发事件不

发生的概率分别是0.9和085。若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用

或不采用，请确定预防方案使总费用最少。

（总•费♦用•二采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。）

7.（2004全国I卷理）一接待中心有A.B.C.D四部热线电话，已知某一时刻电话A.B占

线的概率均为0.5,电话C.D占线的概