概率论与数理统计第一章总习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第一章总习题

1.填空题

(1)假设是两个随机事件，且则AU3=(_),AB=(J：

解：A3=入50AB=不■方即AB与4U8互为对立事件，又ABuAUB

所以。=/W(AB)=AB,0=/\B(AB)=AB.

⑵假设AB是任意两个事件，则B)(A8)(Ai酬Ml孙=(_).

解：

P「(.与(A3)(A万)卜o[.AABAB4)(A.ABAB

=P(丽)=P(0)=O.

(3).已知P(A)=P(B)=P(C)=一,P(3的=0,P(AC)=P(3C)=—.则事件A、B、

416

。全不发生的概率为

解：所求事件的概率即为P(而可，又ABCuAB,从而0«P(ABC)<P(AB)=0、则

P(八BC)=0,所以

P(4«C)=P[ABC)=\-P(ABC)

313

=l-P(A)-P(B)-P(C)+P(/lB)+P(4C)+P(BC)-P(4BC)=l-^+-=

8

2.选择题

(1)设尸(A)=0.8,P(B)=0.7,内4忸)=0.8,则下列结论正确的是().

<A)事件人与事件,相互独立；(B)事件人与事件〃互逆；

(C)(D)P(AlB)=P(A)+P(B).

解：因为PU/=P(5)A4劝=0.56,而P(A)P(B)=0.56,即=P(A)P(8),所

以事件A与事件8相互独立，选(A).

(2)设为两个互逆的事件，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是(J.

(A)P(B|A)>0;(B)尽4劝=尸(用：(C)P(4|fi)=0：(D)P(Afl)=P(A)P(B).

解：因为48为两个互逆的事件，所以当事件6发生时，事件4是不会发生的，故

44|6)=0.选(C).

(3)设O<P(A)<1,O<P(B)<1,劝+雨|司=1,则下列结论正确的是(J.

(A)事件4与事件B互不相容；(B)事件4与事件B互逆；

(C)事件4与事件B不互相独立；CD)事件4与事件8互相独立.

尸(AB)/(不可二P(4B)

解:因为P(A|B)+P(乖)=1。3+

丽P31-尸(8)

1—尸(Al8)尸(48)1-尸(A)—P(3)+尸(A8)。

P(B)l-P(B)P(B)l-P(B)

网人砚-M“)]+M砌-MA)-MM+MM]=M砚-M4)]o

P(AB)=P(A)P(B),所以事件八与事件“互相独立.选(D).

3.从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋『中至少有两只配成•双的概率.

解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.

议4表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则

力、..C^C\C\C\13

P(A)=l-PtA)=l-c4--

4.(找次品问题)盒中有4只次品晶体管，6只正晶晶体管，随机地抽取一只进行测

试，直到4只次晶晶体管都找到为止，求第4次晶晶体管在第五次测试中被发现的概

率.

解：设4表示“第i次找到次品晶体管"(i=l2345),则所求概率为：

•4•&•4,A+A•4•A：•A4•4+A,4,4,4,A+A•4,A；•A«•&)

=MA响副（弗•初园C）飒A仄仄.）

-屯）吆2团点;肉•4）响4•人仄厮M•4仄五）

+居■用双同%仄.A.,H司1.司•金.西）

-市X平阚A仄网闺无仄•豆阚A•2•可•4）

64321463214362143261

=-X—X-X—X—H-------X—X-X—X-+—X—X—X—X—4--X—X—X—X—

109876109876109876109876

2

UO987105

5.(讨论奖金分配的公平性问题)在•次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：

娃先胜三盘，城决得全部奖金.班甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜I1000

元应如何分配才算公平？

解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概

率即可.

比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜•盘即可获胜.

甲获胜的预期概率为：MA4+44)=M4)+P(X)MA)=；+：X；=].

44-r

于是，甲应分得1000元奖金中的3x1000=750元，乙分得250元.

4

6.(彩票问题)一种福利彩票称为幸福35选7,即从01,02,35中不重复地开

出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如卜表所示.

幸福35选7的中奖规则

中奖级别中奖规则

i等奖7个基本号码全中

二等奖中6个基本号码及特殊号码

三等奖中6个基本号码

四等奖中5个基本号码及特殊号码

王等奖中5个基本号码

六等奖中4个基本号码及特殊号码

中4个基本号码，或中3个基木号码及特殊号码

⑴试求各等奖的中奖概率2a=12,7)；

(2)试求中奖的概率.

解：(1)因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间C含有CM个样本点.

要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：

第一类号码：7个基本号码；

第二类号码：1个特殊号码；

第三类号码：27个无用号码。

在三类号码中抽取，若记p,为第i等奖的概率(，=1,2,,7);可得各等奖的中奖概

率如下：

1储C：_7

-61.04x10";

Pi=—―=--------=0.149xl0;p2

1G6724520q6724520

〃「等一心一W”一仁CG12285

-1.827x1O-3;

C；s6724520

仁《烧7+《。；。；7_204750

P?==3.0448x10-2.

46724520

(2)若记人为事件“中奖”，则A为期件“不中奖”则

P（A）=V=量W85.

/.甲从2,4,6,8,10中任取一个数，乙从135,7,9中任取一个数，求甲取得的数大于乙取

得的数的概率.

解:设A表示甲取得的数大于乙取得的数，4表示“甲取的数为小=2468,10)”，Bk

表示“乙取的数为太仅=1,357,9)”，则所求概率为：

P(A)=P(4/)+P[4伍+2)]+尸[4(4+员+&)]+「[4(4+与+纥+与)]

+P【Ao(B|+B\+ffs+"?+&)]

=2(44)十尸(A4)十产(44)十*44)十P(AA)十尸(4纥)十尸(A4)+?(公纭)

+p(46j+\4\)+“fJ+咽线)

P(A°BJ+P(AMJ+MAP(AU)B7)+

由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：MAH)=MA)M4)，旦

网4)=［，P®)=g，(/=2,4,6,8,10^=1,3,57,9).

尸(

4=255

8.从数字123,,…,9中可重复地任取〃次，每次取•个数，求〃次所取数的乘积能被10

整除的概率.

解：，，次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的〃个数中至少有一个是偶数，另

一个是5.

诋4表示''所取的数是5”，8表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为:

。（"）=1一/，（而）=1一/01外］一/>㈤—P⑻+/>倜倒=］等等+J

8"+5"-4"

9”

9.向正方形区域^=氏），刎41,廿41｝中随机地投一个点，如果（尤）。出所投点例的

坐标，试求：（1）丁+/期+夕=0有两个实根的概率：（2）方程%2+〃%+4=0有两个

正实根的概率.

（1）设4表不“丁+川+^=0有两个实根”,

?+px+q=0有两个实根的充要条件是

p2-4^>0,即/^｛（〃⑼/一句之。｝.

浒即+2

故P（A）=:—=得.

（2）设4表示''方程/+〃丫+4=0有两个正实根”，则方程/+/沈+，7=0有两个正

实根的条件是：p2-4^>0,-p>0,g>0,即8={(p,g)加2_4qN0,lv0,q>0}.

［0々2即］

故.)=丁磊

10.将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前

两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.

解：设A表水“前两个球放在小同的盒子中”，8表不“有一个盒子中怡好有两个球二

则所求概率为P（3|A）.样本空间含样本点总数为4jA含样本点总数为C；GC；C：

个，4?含样本点总数为个，故

P（8|A）-HA8）—C：C；q/4'J

11.设M件产品中有机件不合格品，从中任取两件.

（1）在所取的两件产品中有•件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概

率：

（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.

解：设凡表示“取出的两件产品中有i件合格品”，则p（A）=G""f,（i=oj,2）.

CM

（i）P（4|4LAb'<'。'，幻）=HA）q_=吁1

I।'P（kA）HAA）「匾

F

或曲|“C_P（4（4+A））.网4）一M4）

仪人“MA+A）-H&+A）-P（A）+MA）

2M-m-\

P(A(AUA))HA)2m

(2)P(A|AU4)=-

P(/\)+P(A)­P(/i,)+P(A2)M+/7z-l

12.口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不

放回，求第三次才取到红球的概率.

解：设4表示''第i次取得红球。=123）”，则所求概率为：

市仄.AJ=屯)飒不)气同仄)=/白X>=0.089

^201|9。18

13.12个兵乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放I可去.

(1)求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率：(2)问在第三次取到的三个球

都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？

解：设事件A，%C,分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球(i=0J23).

(1)由全概率公式，P(G)=£HB,)PO

/=0

其中：MB,)=令算。=0.123),P(C3|e,)=，=0,123).

故MG)上9)吹搞)=呼之.条皿46.

r=Of=OC|2

(2)由贝叶斯公式,

P(G|B°)P(幻_84./“me-P(G闯P⑻一⑸2.

(。⑸-p(G)-7056'⑼”一P©)"7056,

C幽粤虬胆厘曾二侬

V3137

\21“pg)7056P(G)7056

故在笫三次取到的三个球都是新球的条件F,第二次取到两个新球的概率最大.

14A,aC,总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对

失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、

保持不变或上升的概率来给出的，见下表.

失业率下降失业率不变失业率上升

A().10.10.8

B0.60.20.2

C0.20.60.2

用字母ARC分别表示顾问A,仇C的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾

问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，

分别为：P（4）=LP⑻=LP（C）=L假设总统采取了所提出的新政策，一年后,

632

失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？

解：设。表示“失业率上升”，则A8.C

P（D）=P（A）P（D|A）P+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）

=-xO.8+-xO.2+-xO.2=O.3.

632

由Bayes公式得：P（4|。）=空跳1=詈=；

「（5|。）二?⑷：（：。二超二,P（C|D）-9"9上一

\I7P（D）0.39v17P（D）0.39

即总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：

P（A|D）=p（B|D）=1,P（C|D）=|.

15.设一枚深水炸弹击沉一艘潜水般的概率为工，击伤的概率为?，击不中的概率为

32

并设击伤两次会导致潜水艇下沉.求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提

6

示：先求出击不沉的概率.）

解：设人表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，依题意击不沉一艘潜水艇只有以下两

种互斥情形：”4枚深水炸弹全击不中潜水艇”记为事件优“4枚深水炸弹中1枚击伤

潜水艇而另3枚击不中潜水艇”记为事件C,由于各枚深水炸弹能袭击潜水艇是独立.

的，故有P（3）=（£|,P（C）=C：T[\），乂氏C互斥，从而

产⑷=1-明=1-[P（B）+P（C）]=1-=>*

16.设有五个独立工作的元件123.4,5,它们的可嵬性均为p.将它们按本题图的方式连

接(称为桥式系统)，试求出该系统的可靠性.

解：

设A,表示“第i个元件可靠(i=12345)”，A表示“系统正常工作”

则所求概率为：

P(A)=2(A4+4A+AAA+AA4)=户(A4)+月(儿A)+)

-P(AM4)—P(44AA)-P(A&AH)-P(A&AA4)—P(AAAA)

-p(A44HA)-P(&AMA)+4P(A&AH4)-P(A&AH&).

=2p2+2p3-5p，+2p5

另解：按元件3处于正常工作与失效两种状态，用全概率公式

P(A)=P(A|AJP(AJ+P(A同P(Q

P(4M=P((AUA,)(&UA))，P(A|X)=P(A41A⑷.

「(AJA』)=P(A)+P(a)-P(AA)=2〃-〃2,

P(&JA)=P(4)+P(A)-P(4A)=2p-p2,

P(A|4)=P((AUAJ(AA4))=P(AUAJP(A2UA)=(2〃-PT

产(/1区)=2(44114人)=2(44)+尸(44)一月(3244)=2〃2-八

故P(A)=P(A|A)P(4)+尸(4同尸⑷=(2p—"2)2p+(2p2-p4)(l-p)

=2p2+2p3_5p$+2pS.

17.(下赌注问题)17世纪未，法国的DeMere爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷

四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少

出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？

解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十

四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.

设A“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B“两颗骰子连续掷二十四次

至少出现一次双六点”：再设从“第，次抛掷时出现六点(i=123,4)”，星“第左次抛

掷时出现双六点”，则

P（A）=PA,J4U4U4=i-P（Al&l,AUA）="P（m.4.Q

=1-点）屯）屯）雨；）=1-（£|=0.518.

此概率大于0.5,故嬴钱的可能性大.

P（5）=P（线J&U…u/）=i-p（瓦西m%）=1—P（瓦瓦.….瓦）

=1-南）啊）…瓯）=♦（•=0.491.

此概率小于0.5,故嬴钱的可能性小.

请注意，在“两颗骰广连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷

次数〃>25时，这时的概率大于0.5,且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为

liinI-

18.要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件

乐器的测试是相互独立的），如果30.95,而•件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的

概率为0.01,如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收

的概率是多少？

解：设〃，表示“随机取出的三件乐器中有i件音色不纯（i=0J23）"，4表示“这批乐

器被接收"，则网名）=导，*）=咨,网也）=警，A%）=导，

dooJoodood（»

MH〃O）=（O.99）\=（0.99）2x0.（）5,网.〃）=（）99x（0.05）2,P（^H,）=（0.05）\

于是，由全概率公式得：

P（A）=Z尸（耳）尸（川乩）=0.8574+0.0055+0+0=0.8629.

;=<）

19⑴若P（A⑻〉P（A|可,试证P（B|A）>P（丽）.

⑵设0<P（B）<1,试证4与8独立的充要条件是尸（4忸）=P（A|5）.

讦.明⑴因尸（A⑻〉外间即骋>粤驾」（若:弁）

v17v1fP（B）p（B）1-P（B）

展开?（AB）［l—P（B）］>P（g）［P（A）—P（zAB）］

P（AB）-P（B）P（AB）>P（A）P（B）-P（B）P（AB）

化简得P（AB）>P（A）P（B）

从而有P（AB）-P（A）P（AB）>P（A］P（B）-P（A）P（AB）

［1-P（A）［P（A8）>P（A）［P（3）-P（A3）］

P（A）P（AB）>P（A）P（Afi）

制〉需即P（M>P肉）

（2）证充分性：由P（4|8）=P（A网可得勺黑=以黑=雪与今段

V1711fP（B）p⑶1-P（B）

P（^）［1-P（B）］=P（B）［P（/1）-P（A5）］

P（AB）-P（B）P（AB）=P（A）P（B）-P（B）P（AB）

化简得尸（A8）=P（A）P（8）,所以A与8独立.

正必要性：因为从与8独立，所以人与否也独立，从而尸（A|3）=P（A）=P（A网.

第一章随机事件和概率

一、选择题

I.设A.B.C为任意二个事件，则与A一定互不相容的事件为

（A）（B）AB<JAC<C）~ABC（D）A（AUC）

2.对于任意二事件A和B,与Au4=4不等价的是

(A)AuZ?(B)BcA(C)AB=</>(D)AB=^

3.设A、B是任意两个事件，Au5,P(B)>0,则下列不等式中成立的是()

A.P(A)<P(A\B)B.P(A)<P(A\B)

C.P(A)>P(川8)D.P(A)>P(A\B)

4.设O<P(4)<1,()<P(«)<1,代川3)+户口忸)=1,则()

A事件人与8互不相容B.事件A与5相互独立

C.事件A与8相互对立D.事件A与8互不独立

5.设随机事件4与3互不相容，且P(A)=p.P(B)=4,则A与4中恰布•一个发生的概率

等于()

A.p+qB.〃+4-/的

C(1-〃)(1一/D.p(l-q)+g(l-p)

6.对于任意两事件A与8,P(A-B)=()

AP(A)-P(B)B.2(4)一夕(8)+尸(八3)

c.P(A)-P(AB)D.P(A)+/,(A)-/,(A^)

7.若人、8互斥，且?(八)>0.P(B)>0,则下列式子成立的是()

A.P(A\B)=P(A)8.P(B|A)>()

C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(网A)=0

8.设P(A)=0.6,P(8)=().8,P(3|A)=0.8,则下列结论中正确的是()

A.事件A、8互不相容B.事件A、B互逆

C.事件A、8相互独立D.AnB

9.设A、B互不相容，P(A)工0,尸(3)wO,则下列结论肯定正确的是()

A久与万互不相容B.P(即A)>0

C.P(AA)=P(A)P(B)D.P(A-I3)=P(A)

10.设A、B、C为三个事件，已知P(M4)=0.6,P(C|48)=0.4,则P(3C|A)=()

A.0.3B.0.24C.0.5D.

11.过A.R是两个髓机善件,且(RPiA)<1,P(R)>0,P(H\A)=P(B\A).则必有

<A)P(A\B)=P(A\B)(BiP(A\B)^P(A\B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)*P(A)P(B)

12.随机裂件A.8,满足p(A)=p(8)=_l和P(Au8)=l，则有

2

(A)=C(B)AB=@(C)P(Aufi)=l(D)P(A-B)=Q批注［clI：几何概型!

13.设随机事件A与B互不相容，P(A)>0,P(B)>0,则下面结论一定成立的是

(A)A,B为对立事件(B)彳.后互不相容(C〉A.B不独立(D)A.B独立

14.对于事件A和B,设A=>3,P(B)>0,则下列各式正确的是

<A)P(B\A)=P(B)(B)P(A\B)=P(A)<C)P(A+B)=P(B)(D)P(A+B)=P(A)

15.设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则

<A)P(C)<P(A)+P(B)-\<B)P(C)>P(A)+P(B)-\

(C)P(C)=P(AB)(D)P(C)=P(AKJB)

16.设A.B.C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<l。则在下列给定的四对事件中不相互

独立的是

(A)》拓与C(B)/与。(C)与。(D)而与。

17.设A.B.C三个事件两两独立，则A.B.C相互独立的充要条件是

(A)A与BC独立(B)AB与A+C独立(C)AB与AC独立(D)A+B与A+C独立

18.将一枚均匀的硬币独立地掷三次，记中件A="正、反面都出现“，8=“正面最多出现一

次"，C="反面最多出现一次“，则下面结论中不正确的是

(八)八与8独立(8)8与(？独立((：)人与。独立(D》8uC与A独立

19.进行一系列独立重笈试验，每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次

的概率为

<A)4p(\-p)3(B)C；p2(\-p)y(C)(1-p)'(D)4P

二、填空题

1.一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，

则第二个人取到红球的概率为

2.设A,B是任意两个随机里件，则

片(W+